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Einführung

1-1

GRUNDLAGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK

1. Einführung In der Elektrotechnik spielen Wechselspannungen und -ströme in fast allen Bereichen eine bedeutende Rolle. Wechselspannungen haben gegenüber Gleichspannungen einige entscheidende Vorteile:  einfache Erzeugung  einfache Übertragung über große Strecken  leichte Verteilung 1.1 Definition einer Wechselgröße

Gleichspannung

Wechselspannung

U

u

t

- zeitlicher Verlauf konstant

t

- zeitlicher Verlauf nicht konstant - positive und negative Werte - immer wiederkehrender Verlauf

Alle Wechselgrößen erfüllen die folgenden zwei Bedingungen: a) Wechselgrößen sind periodisch. b) Wechselgrößen haben einen linearen (arithmetischen) Mittelwert gleich Null.

13 Ge, Elektrotechnik

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Einführung

1-2

1.2 Liniendiagramm einer Wechselspannung In der Praxis werden Wechselspannungen durch Drehung einer Leiterschleife (Spule) in einem Magnetfeld erzeugt. Durch die Drehbewegung des Leiters (der Spule) erhält man sinusförmige Spannungen. Im Liniendiagramm werden Wechselspannungen entweder in Funktion der Zeit t oder des Drehwinkels D aufgetragen.

u

u

D

t

Kennwerte von Wechselspannungen: Drehwinkel:

Der Drehwinkel D (in DEG oder RAD) gibt die Lage der Leiterschleife (Spule) im Magnetfeld an.

Momentanwert:

auch Augenblickswert genannt Dies ist der Wert der Wechselspannung zu einem beliebigen Zeitpunkt (Augenblick).

Scheitelwert:

auch noch Amplitude genannt Dies ist der maximale Wert der Spannung im positiven bzw. negativen Bereich.

Periodendauer:

Die Periodendauer T ist die Zeit, die die Spannung zum Durchlaufen einer ganzen Schwingung, das heißt, einer positiven und einer negativen Halbwelle braucht.

Frequenz:

Die Frequenz f gibt die Anzahl der Perioden pro Sekunde an. f

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1 T

>f@

Hz ( Hertz )

1Hz

1 s

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Einführung

1-3

Kreisfrequenz:

Die Frequenz einer Wechselspannung wird durch die Drehzahl der Leiterschleife (Spule) im Magnetfeld bestimmt. Die Kreisfrequenz Z ist ein Maß für die Winkelgeschwindigkeit und ist als Rechengröße notwendig, um den Bezug zwischen der Zeit t und dem Drehwinkel D herzustellen.

Z

2S T

oder

Z

2Sf

>Z @

1 s

1.3 Mathematische Gleichung sinusförmiger Wechselspannungen Eine Wechselspannung lässt sich auch durch eine mathematische Gleichung eindeutig beschreiben. Für sinusförmige Spannungen gilt: u (D )

û  sin D

u (t )

û  sin(Z t )

mit D

Zt

u (t ) û  sin( 2Sf  t )

1.4 Zeigerdiagramm einer sinusförmigen Wechselspannung

u

D

Festlegungen: - Die Länge des Zeigers entspricht dem Scheitelwert û. - Der Zeiger dreht sich im Gegenuhrzeigersinn mit einer Umdrehung je Periode. - Der Momentanwert der Wechselspannung entspricht der Gegenkathete in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypotenuse durch den Zeiger und dessen Ankathete durch einen Abschnitt auf der Bezugslinie gebildet werden.

13 Ge, Elektrotechnik

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Einführung

1-4

Beispiel: f = 50Hz; t = 5ms

D D D

2Sf  t 1 2S 50  5 10  3 s s 0,5S



90q

u (5ms ) û  sin 90q û

1.5 Phasenverschiebung In ein Liniendiagramm bzw. ein Zeigerdiagramm können auch mehrere Spannungen eingezeichnet werden.

u

D

Wechselgrößen sind dann phasenverschoben, wenn sie ihren Nulldurchgang bzw. Scheitelwert zu unterschiedlichen Zeitpunkten haben. Die Größe der Phasenverschiebung wird durch den Phasenverschiebungswinkel M angegeben. Von einer Phasenverschiebung redet man nur bei Wechselgrößen gleicher Frequenz. Mit der Festlegung, dass der Gegenuhrzeigersinn der positiven Richtung von M entspricht, lauten die mathematischen Beschreibungen der beiden Wechselspannungen wie folgend: u1 (t )

û1  sin(Z t )

u 2 (t ) û 2  sin(Z t  M)

Man sagt: Die Spannung u2 ist um den Phasenverschiebungswinkel M voreilend auf die Spannung u1.

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Einführung

1-5

1.6 Arten von Wechselspannungen

u

u

t

t

Sinusspannung

Dreieckspannung

u

u

t

Rechteckspannung

t

Sägezahnspannung

Außer Gleichspannungen und Wechselspannungen kennt man auch noch Mischgrößen. Sie entstehen durch Überlagerung von Gleich- und Wechselanteilen. Der arithmetische Mittelwert einer Mischgröße ist nicht mehr Null. u UMisch UWechsel UGleich

t

Mischspannung

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Einführung

1-6

1.7 Effektivwert von Wechselgrößen Viele elektrische Verbraucher zeigen das gleiche Verhalten an Gleichspannung wie an Wechselspannung. Beispiele: Glühlampen, Kochplatten, elektrische Heizungen usw. Es stellt sich nun die Frage, wie eine sinusförmige Wechselspannung aussehen muss, damit sie in einem Verbraucher die gleiche Leistung umsetzt wie eine bestimmte Gleichspannung.

u

U

t

t

Definition des Effektivwertes einer Wechselspannung: Der Effektivwert (wirksamer Wert) einer Wechselspannung ist der Spannungswert, der in einem ohmschen Verbraucher (z. B. Glühlampe, Heizung) die gleiche Leistung umsetzt wie eine gleich große Gleichspannung. Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert einer Wechselspannung (siehe Buch Seite 226). Bei Sinusgrößen gilt: U eff

2

û 2

Scheitelfa ktor

bzw.

I eff

î 2

Scheitelwert Effektivwe rt

Beachte: Effektivwerte werden mit Großbuchstaben geschrieben. Ueff = U ;

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Ieff = I

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-1

2. Addition frequenzgleicher Wechselgrößen Genau wie in der Gleichspannungstechnik kann man auch Wechselgrößen addieren oder subtrahieren (z. B. Reihenschaltung von zwei Spannungsquellen). Damit Wechselgrößen in einem gemeinsamen Zeigerdiagramm dargestellt werden können, müssen sie frequenzgleich sein. 2.1 Nullphasenwinkel Da verschiedene Wechselspannungen normalerweise nicht phasengleich sind, muss bei der Addition von Wechselgrößen besonders auf die jeweilige Phasenlage geachtet werden. Der Nullphasenwinkel einer Wechselgröße entspricht dem Winkel im Zeigerdiagramm, den die Größe mit der Bezugslinie (0° - Linie) bildet. 2.2 Bildung der Addition im Linien- und Zeigerdiagramm Gegeben sind folgende Spannungen: u1 = û1  sinZt = 3V  sinZt u2 = û2  sin(Zt + M = 4V  sin(Zt + 90°) Ermittle im Linien- und Zeigerdiagramm: ug = u1 + u2

u

D

Liniendiagramm: Zum Beispiel alle 30° werden die Momentanwerte der beiden Spannungen addiert. Zeigerdiagramm: Die Zeiger der beiden Spannungen müssen phasenrichtig addiert werden. Dies entspricht einer geometrischen Addition der Zeiger. Merke: Die Gesamtspannung ug ist sinusförmig und hat die gleiche Frequenz wie u1 und u 2. 13 Ge, Elektrotechnik

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-2

Die Spannungen lassen sich selbstverständlich auch rechnerisch addieren. Dabei geht man gleichermaßen wie bei einer Vektoraddition vor. Beispiel:

u1 = 4V sin(Zt + 30°) und u2 = 4V  sin(Zt + 60°) Bestimme rechnerisch: ug = u1 + u2

Zerlegung in x-Komponenten und y-Komponenten

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-3

2.3 Subtraktion von Wechselgrößen Die Subtraktion von Wechselgrößen erfolgt auf die gleiche Weise wie eine Addition. Dabei muss man nur folgende Eigenschaft von Wechselgrößen beachten. - û  sinZt = + û  sin(Zt + 180°) Eine Subtraktion wird damit auf eine Addition mit spiegelverkehrtem Zeiger zurückgeführt. u 1 = û1  sin(Zt) u2 = û2  sin(Zt+90°)

Beispiel:

Bilde ug = u1 - u2

û2 û1

Wichtige Bemerkung: In den folgenden Kapiteln wird überwiegend mit Effektivwerten von Wechselspannungen und -strömen gearbeitet. Da alle Effektivwerte um den gleichen Faktor kleiner sind als die Scheitelwerte, dürfen grafische Additionen und Subtraktionen im Zeigerdiagramm auch mit Effektivwerten durchgeführt werden. In der Praxis sieht man deshalb oft Zeigerdiagramme die mit den Effektivwerten der Wechselgrößen gezeichnet sind. Aus einem solchen Zeigerdiagramm kann das Liniendiagramm natürlich nicht mehr ermittelt werden.

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-4

2.4 Übungen Übung 1 Gegeben sind folgende Spannungen:

u1 = 4 V  sin(Zt) u2 = 4 V  sin(Zt + 120°) u3 = 4 V  sin(Zt + 240°)

Bestimme mit Hilfe von Zeigerdiagrammen folgende Spannungen: a) u' = - u1 - u2 + u3 b) u'' = u2 - u3 c) u''' = u1 + u2 + u3 Zeichne jeweils das Liniendiagramm von u', u'' und u'''. Maßstäbe: 2V/1cm;

30°/0,5cm

a)

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-5

b)

c)

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Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

2-6

Übung 2 Addiere folgende Wechselspannungen im Linien- und Zeigerdiagramm: u1 = 8 V sin(Zt+30°)

Maßstäbe: 2V/cm ; 30°/cm

u2 = 6 V sin(Zt - 240°)

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Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

3-1

3. Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

3.1 Formeln im Wechselstromkreis I = Ieff

G ~

U = Ueff

R

Die Gesetze der Gleichstromtechnik gelten auch im Wechselstromkreis. I

U R U2 R

P U I

W

P t

I2 R

U  I t

Merke: Bei einem ohmschen Widerstand im Wechselstromkreis liegen Spannung und Strom in Phase, das heißt, die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist Null. 3.2 Zeitliche Verläufe von Spannung, Strom und Leistung u (t )

û  sin(Zt ) 

p (t )

u (t )  i (t )

i (t )

û  sin(Zt ) R

ûN  î  sin 2 (Zt )

î  sin(Zt )

mit

sin 2 (Zt )

mit

û î 2



p

1 (1  cos 2Z t ) 2

p (t )

û î 

p (t )

U  I  (1  cos 2 Zt )

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1 (1  cos 2Zt ) 2 û î 2 2

UI

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Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

3-2

Beispiel Ein ohmscher Widerstand R = 10: liegt an einer Wechselspannung U = 50V. Zeichne die zeitlichen Verläufe von Spannung, Strom und aufgenommener Wirkleistung.

û î

2  50V 70,7V û 70,7V 7,07 A R 10:

p (t )

u (t )  i(t )

D [°]

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

u [V]

0

35,4

61,2

70,7

61,2

35,4

0

-35,4

-61,2

-70,7

-61,2

-35,4

0

i [A]

0

3,54

6,12

7,07

6,12

3,54

0

-3,54

-6,12

-7,07

-6,12

-3,54

0

p [W]

0

125

375

500

375

125

0

125

375

500

375

125

0

p[W] i[A] u[V]

Zt

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Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

3-3

Die Leistung schwingt mit der doppelten Frequenz zwischen 0 und pˆ hin und her. Der Mittelwert beträgt P = Peff Peff  Peff

pˆ 2

û î 2

U eff  I eff

oder

P U I

Zeigerdiagramm: 90°

M 180°

î

û

0° 360°

: 2

I

0q

U

270°

Wirkwiderstand: Wirkwiderstände sind rein ohmsche Leiterwiderstände in denen die zugeführte Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Strom und Spannung sind über das ohmsche Gesetz u = iR miteinander verknüpft. Zwischen u und i gibt es keine zeitliche Verschiebung (Phasenverschiebung). Wirkwiderstände haben bei Gleichstrom und niederfrequentem Wechselstrom denselben OhmWert. Bei sehr hohen Frequenzen vergrößert sich allerdings der Wechselstromwiderstand gegenüber dem Gleichstromwiderstand. Infolge der dann auftretenden sogenannten Stromverdrängung fließt der Wechselstrom nicht mehr im vollen Leiterquerschnitt, sondern nur noch an der Oberfläche des Leiters. Der wirksame Leiterquerschnitt wird dadurch kleiner und der Wirkwiderstand größer.

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Idealer Kondensator im Wechselstromkreis

4-1

4. Idealer Kondensator im Wechselstromkreis 4.1 Einführung

Kondensatoren sind elektrische Bauteile, die in vielfältigen Schaltungen vorkommen. Sie werden z. B. in Gleichrichterschaltungen zur Glättung der Spannung, in Wechselstromkreisen zur Phasenverschiebung, in Schaltungen zur Funkentstörung oder in elektronischen Schaltungen zur Aufteilung der Mischströme in Wechsel- und Gleichströme eingesetzt. Der Kondensator ist aus der Gleichstromtechnik bekannt. Er besteht im einfachsten Fall aus zwei parallelen Metallplatten zwischen denen sich ein Dielektrikum befindet. Im folgenden Bild ist ein solcher Plattenkondensator dargestellt. Das Dielektrikum besteht in diesem Fall aus Luft. A

C d

C

H0 A d

H0 A d As ( Farad) V As 8,86  10 12 (elektrische Feldkonstante ) Vm Plattenfläche in m 2 Plattenabstand in m Kapazität in

Die Kapazität eines Plattenkondensators ergibt sich aus obengenannter Formel. Bei den meisten Kondensatoren besteht das Dielektrikum nicht aus Luft, sondern man verwendet spezielle Isoliermaterialien. Die Kapazität kann sich dann beträchtlich erhöhen. C

H0  H r  A d

Hr

Permittivi tätszahl ( Dielektriz itätszahl )

Merke: Die Permittivitätszahl Hr gibt an, um wie viel mal sich die Kapazität eines Kondensators durch ein bestimmtes Dielektrikum gegenüber Vakuum ( Luft ) erhöht.

Aus der Gleichstromtechnik ist folgendes Verhalten des Kondensators bekannt:

 Legt man einen Kondenstor an eine Gleichspannung, so fließt kurzzeitig ein Strom. Der Kondensator lädt sich auf.  Nach dem Aufladevorgang fließt kein Strom mehr. Der Kondensator hat sich bis auf die angelegte Gleichspannung aufgeladen. Diese Spannung bleibt auch noch am Kondensator bestehen, wenn man ihn von der Spannungsquelle trennt. Es gilt folgender Zusammenhang zwischen der Ladungsmenge Q und der angelegten Spannung U: Q

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C U

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Idealer Kondensator im Wechselstromkreis

4-2

 Man kann den aufgeladenen Kondensator über einen Widerstand oder Kurzschluss wieder entladen. Merke: Ein aufgeladener Kondensator sperrt den Gleichstrom.

In diesem Kapitel soll nun das Verhalten eines Kondensators an sinusförmigen Wechselspannungen untersucht werden. Das Verhalten an Wechselspannung unterscheidet sich ganz wesentlich vom Verhalten an Gleichspannung. Da ein Wechselstrom ständig seine Richtung ändert, die Elektronen sich also hin und her bewegen, ist ein Kondensator für Wechselströme nicht mehr sperrend, sondern besitzt einen bestimmten Wechselstromwiderstand. Der Kondensator wird im Wechselstromkreis also ständig aufgeladen und wieder entladen. Alle angestellten Überlegungen sollen für ideale Kondensatoren gelten. Man kann von einem idealen Kondensator reden, wenn sein Gleichstromwiderstand unendlich groß ist.

4.2 Phasenlage zwischen Strom und Spannung

i

G ~

u

C

Legt man einen Kondensator an eine Wechselspannung, so fließt auch ständig ein Wechselstrom durch den Kondensator. Dieser Strom lässt sich über die allgemeingültige Definition eines Stromes berechnen:

dQ 'Q I bzw. I dt 't  

Q I t  konstanter Strom

nicht konstanter Strom

dQ dt

i

d (C  u ) dt

d (sin Z t ) dt Z C  û  cos Zt   

i

C

du dt

mit u

û sin Zt

C  û

i

mit cos Zt

sin Zt  90q 

î

i

î  sin( Zt  90q)

 Mi,u

90q

13 Ge, Elektrotechnik

13ge_wechselstrom(1)

Idealer Kondensator im Wechselstromkreis

4-3

Merke: Bei einem idealen Kondensator eilt der Strom gegenüber der Spannung um 90° vor. 90°

u, i

i î u

180°

C

0° 360°

û

D 90°

180°

270°

360°

270°

4.3 Kapazitiver Blindwiderstand, ohmsches Gesetz

Der Strom durch den Kondensator wurde mit folgender Formel bestimmt: i (t ) Z  C  û  sin(Zt  90q) Darin gilt: î

Z C û

Das Produkt ZC wird als kapazitiver Blindleitwert BC bezeichnet:

BC

>BC @

Z C

1 As  s V

A V

S

Der Kehrwert von BC wird als kapazitiver Blindwiderstand XC bezeichnet: XC

1 Z C

Merke:

>X C @

1 S

:

Wenn f n  X C p Wenn C n  X C p

Ohmsches Gesetz:

13 Ge, Elektrotechnik

î

û XC

bzw.

I

U XC

13ge_wechselstrom(1)

Idealer Kondensator im Wechselstromkreis

4-4

4.4 Leistung und Energieumsetzung Beispiel

Ein idealer Kondensator liegt an einer Wechselspannung u(t) = 50V  sin(Zt). Er nimmt dabei einen Strom i(t) = 1,5A  sin(Zt + 90°) auf. Zeichne die zeitlichen Verläufe von Spannung, Strom und aufgenommener Wirkleistung. p( t) u( t)  i( t) p (t ) û  sin Zt  î  sin( Zt  90q)  p (t ) û sin Zt î cos Zt

mit

sin( Zt  90 q)

mit 2 sin Zt cos Zt

cos Zt sin 2Zt

û î sin 2Zt 2 p (t ) U  I ...