Ćwiczenia 4 - związki zachodzące pomiędzy dwoma zdaniami, prawa logiczne klz PDF

Preview

Summary

zadania na logike prawniczą. zrobione przez ćwiczeniowca....

Description

Związki równoważności zachodzące pomiędzy dwoma zdaniami Def 1: Zdanie Z1 jest równoważne ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy ze zdania Z1 wynika zdanie Z2 i jednocześnie ze zdania Z2 wynika zdanie Z1. Tak jak przy wynikaniu, są też, oczywiście, różne podstawy równoważności: związek budowy logicznej zdań (wyznacza on równoważność logiczną), związek pomiędzy znaczeniami wyrażeń (wyznacza równoważność analityczną), związek dotyczący rozmieszczenia przedmiotów i zdarzeń w czasie i przestrzeni (równoważność strukturalna) itd. Zad 1 Czy zdanie Z1 jest równoważne ze zdaniem Z2? Jeśli tak, to jaki to rodzaj równoważności? Swoje odpowiedzi uzasadnij. a) Z1: Są malwersacje o których nie ma pojęcia nikt poza ich sprawcami. Z2: Istnieją przestępstwa, które nie są wykryte b) Z1: Paweł jest stryjem Krzyśka. Z2: Krzysiek jest bratankiem Pawła. c) Z1: Jeśli Bóg chce coś uczynić, to czyni to. Z2: Bóg jest istotą wszechmocną. d) Z1: Nikt nie zdoła polubić każdego. Z2: Nikomu nie uda się polubić byle kogo.

Zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy zdania te są równoważne na podstawie ich budowy logicznej (schematów) Def 2: Zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy gdy zarazem ze zdania Z1 wynika logicznie zdanie Z2 i ze zdania Z2 wynika logicznie zdanie Z1. Twierdzenie : Zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy gdy prawem logicznym jest wyrażenie: schZ1  SchZ2. Zad 2 Czy zdania Z i Z’ tworzą parę zdań równoważnych logicznie, gdy: a)Z: Sąd rejestrowy nie dokonał wpisu spółki akcyjnej do rejestru wtedy i tylko wtedy, gdy spółka akcyjna nie posiada osobowości prawnej

Z’: Zarówno jest tak, że jeśli sąd rejestrowy dokonał wpisu spółki akcyjnej do rejestru, to spółka akcyjna posiada osobowość prawną jak i, że jeśli spółka akcyjna posiada osobowość prawną, to sąd rejestrowy dokonał wpisu spółki akcyjnej do rejestru.

Podział związków międzyzdaniowych ze względu na dopuszczalne i niedopuszczalne układy wartości logicznych (wynikanie, równoważność, sprzeczność, przeciwieństwo podprzeciwieństwo, niezależność) Def 3: Ze zdania Z1 wynika zdanie Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe (nawet teoretycznie) aby zdanie Z1 było prawdziwe i jednocześnie Z2- fałszywe. Z1 1, 0, 0, 1,

Z2 1 0 1 0

Def 4: Zdanie Z1 jest równoważne ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe (nawet teoretycznie) aby zdania te miały różne wartości logiczne. Z1 1, 0, 0, 1,

Z2 1 0 1 0

Def 4’: Zdanie Z1 jest równoważne ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy zdania te muszą mieć takie same wartości logiczne.

Definicja 5 :Zdanie Z1 jest sprzeczne ze zdaniem Z2 (inaczej: zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań sprzecznych) wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe (nawet teoretycznie), aby Z1 miało taką samą wartość logiczną jak zdanie Z2 Z1 1, 0, 1, 0,

Z2 0 1 1 0

Definicja 5’ :Zdanie Z1 jest sprzeczne ze zdaniem Z2 (inaczej: zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań sprzecznych) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie Z1 musi mieć inną wartość logiczną niż zdanie Z2 Definicja 6: Zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań przeciwnych (wzajemnie się wykluczających) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania te nie mogą być jednocześnie prawdziwe. Z1 1, 0, 0, 1,

Z2 0 1 0 1

Definicja 7: Zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań podprzeciwnych (wzajemnie się dopełniających) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania te nie mogą być jednocześnie fałszywe. Z1 1, 0, 1, 0,

Z2 0 1 1 0

Z1: Paweł jest teraz w domu Z2: Paweł jest teraz w sklepie Z3: Pawła nie ma teraz w domu (Z1) Z4: Pawła nie ma teraz w sklepie (Z2) Z1

Z2

Z1

Z3

Z3

Z4

p

p

0

1

1,

0

1

0

1

0

0,

1

0

1

1

1

0,

0

0

0

1,

1

Przeciwne

sprzeczne

podprzeciwne

Z1

Z2

Z1

Z2

1,

0

0

1

0,

1

1

0

0,

0

1

1

1,

1

0

0

Zad 3 Wśród zdań Z1-Z6 wskaż pary zdań równoważnych logicznie, gdy: Z1: Jeżeli Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, to w III tysiącleciu p.n.e nie znano pisma alfabetycznego. Z2: Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne i w III tysiącleciu p.n.e. znano pismo alfabetyczne. Z3: Nieprawdą jest to, że albo Fenicjanie nie wynaleźli pisma alfabetycznego albo w III tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma alfabetycznego. Z4: Nieprawda, że jeżeli Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, to w III tysiącleciu p.n.e. znano pismo alfabetyczne. Z5: W III tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma alfabetycznego lub Fenicjanie nie wynaleźli pisma alfabetycznego. Z6: Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, a w III tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma alfabetycznego. Zad 4. W jakich związkach logicznych względem zdania Z są zdania Z1-Z6? Uzasadnij. a) Z: Jeśli Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, to dostał dużo pieniędzy za nadgodziny. Z1: Jeśli Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, to nie dostał dużo pieniędzy za nadgodziny. Z2: Jeśli nieprawdą jest, że Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, to dostał dużo pieniędzy za nadgodziny. Z3: Paweł dostał dużo pieniędzy za nadgodziny mimo, że nieprawdą jest, że w zeszłym miesiącu zostawał często w pracy po godzinach.

Z4: Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, ale nie dostał dużo pieniędzy za nadgodziny. Z5: Paweł dostał dużo pieniędzy za nadgodziny lub nieprawda, że Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach. Z6: Nieprawda, że Paweł dostał dużo pieniędzy za nadgodziny lub nieprawda, że Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach. b) Z: Lubię chodzić do teatru i lubię chodzić do opery. Z1: Nie lubię chodzić do teatru i nie lubię chodzić do opery Z2: Lubię chodzić do teatru, ale nie lubię chodzić do opery Z3: Nie lubię chodzić do teatru lub nie lubię chodzić do opery Z4: Lubię chodzić do teatru Z5: Lubię chodzić do kina i do teatru i do opery Z6: Nieprawda, że jeśli lubię chodzić do teatru, to nie lubię chodzić do opery.

Prawa logiczne dotyczące międzyzdaniowych związków logicznych Twierdzenie 1: Ze zdania Z1 wynika logicznie zdanie Z2 wtedy i tylko wtedy gdy prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: jeśli Z1, to Z2. Twierdzenie 2:: Zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 (inaczej: zdania: Z1 i Z2, tworzą parę zdań równoważnych logicznie) wtedy i tylko wtedy gdy prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z 1 wtedy i tylko wtedy, gdy Z2. Twierdzenie 3: Zdanie Z1 jest sprzeczne ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy gdy Z1 jest równoważne logicznie z negacją zdania Z2 Twierdzenie 4: Zdanie Z1 jest sprzeczne ze zdaniem Z2 wtedy i tylko wtedy gdy prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z1  Z2 . (Z2 Z1) Twierdzenie 5: (przeciwieństwo na gruncie logicznym): Zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań przeciwnych wtedy i tylko wtedy, gdy prawem logicznym jest schemat implikacji o postaci: Z1  Z2. Twierdzenie 6: (podprzeciwieństwo na gruncie logicznym) : Zdania Z1 i Z2 tworzą parę zdań podprzeciwnych wtedy i tylko wtedy, gdy prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z1 Z2.

I. Prawa logiczne z jedną zmienną zdaniową: Zasada tożsamości: p  p Prawo zwrotności równoważności: p  p Zasada niesprzeczności:  ( p p ) Prawo wyłączonego środka: p  p Prawo podwójnej negacji: p    (  p) II. Prawa logiczne z dwoma zmiennymi zdaniowymi: Prawa pochłaniania dla koniunkcji: (p  q)  p; (p q) q Prawa pochłaniania dla alternatywy: p  (p  q); q  (p q) Prawo transpozycji: (p q)  ( q   p) Wzmocnienie prawa transpozycji: (p  q)  ( q   p) Modus ponendo ponens: [(p  q)  p]  q Modus tollendo tollens: [(p  q)   q]   p Modus tollendo ponens: [(p  q)   p]  q Prawo Dunsa Szkota: (p  p)  q

Prawa wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (p  q)  ( p q) (p  q)   (p  q) (p  q)  (  p q) (p  q)  ( q p) (p  q)  (  p  q) (p  q)   (p  q) (p  q)   (q  p) (p  q)    (  p  q) (p  q)  [(p q)  (q  p)]

Prawa dotyczące mocy spójników logicznych: (p  q)  (p q) (p  q)  (p q) (p  q)  (p  q) (p  q)  (p q) I Prawo De Morgana:  (p  q)  ( p   q) II Prawo De Morgana:  (p  q)  ( p   q) Prawo negacji implikacji  (p q)  (p  q) III. Prawa logiczne z trzema zmiennymi zdaniowymi: Prawo sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego: [(p  q)  (q r)]  (p r) Prawo sylogizmu hipotetycznego bezkoniunkcyjnego: (p q)  [(q r)  (p r)] Prawo eksportacji: [(p  q)  r]  [p  (q r)] Prawo importacji: [p (qr)]  [(p q)  r] Prawo eksportacji i importacji: [(p  q)  r]  [p  (q r)] Przydatne prawa bez nazwy:  (p  q)  (p   q)  (p  q)  ( p  q)

 Reguły, które poza znajomością praw logicznych, przydają się do wymyślania własnych zdań spełniających dane warunki: I) Jeśli zdanie Z’ jest równoważne logicznie ze zdaniem Z, to Z’ jest równoważne logicznie ze zdaniem: Z. II) Jeśli zdanie Z’ spełnia warunki zadania (dotyczące międzyzdaniowych związków logicznych), a zdanie Z’’ jest równoważne logicznie ze zdaniem Z’, to Z” również spełnia warunki zadania

Zadanie 5. a)Podaj 3 zdania, które są równoważne logicznie ze zdaniem Z Z: Jeśli pada deszcz, to na dworze jest mokro. b) Zaprzecz na trzy sposoby zdaniu Z, gdy: Z: Paweł dopuścił się czynu przestępczego, ale nie udowodnią mu winy. c) Zaprzecz na trzy sposoby zdaniu Z, gdy: Z: Nieprawda, że pójdę do kina lub do teatru. d) Podaj 2 zdania, które wynikają logicznie ze zdania Z, ale nie są równoważne logicznie ze zdaniem Z. Z: Norma prawna jest zakazująca wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest dozwalająca. e) Podaj 3 zdania,z których wynika logicznie zdanie Z i nie jest z nimi równoważne logicznie. Z: Nieprawda, że pojęcie normy prawnej jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego. Poprawność wyboru zdań w każdym z podpunktów a)-e) należy uzasadnić.

Rozwiązania i odpowiedzi: Zad 1 a) Ze zdania Z1 wynika zdanie Z2, ponieważ jeśli prawdą jest, że istnieją malwersacje o których nie ma pojęcia nikt poza ich sprawcami, to prawdą musi być również to, że nie wszystkie przestępstwa są wykryte. Zatem prawdą jest też to, że tylko część przestępstw jest wykryta (tylko niektóre przestępstwa są wykryte). Z kolei ze zdania Z2 nie wynika zdanie Z1, ponieważ może się (teoretycznie) zdarzyć, że tylko część przestępstw bywa wykryta i jednocześnie nieprawdą jest, że o niektórych z nich wiedzą jedynie sprawcy. Wobec powyższego zdanie Z1 nie jest równoważne ze zdaniem Z2. b) Ze zdania Z1 wynika zdanie Z2, bo jeśli prawdą jest, że Paweł jest stryjem Krzyśka, to prawdą musi być to, że Krzysiek jest bratankiem Pawła. Zdanie Z1 również wynika ze zdania Z2, ponieważ jeśli prawdą jest, że Krzysiek jest brataniem Pawła, to musi być prawdą, że Paweł jest stryjem Krzyśka. Zdanie Z1 jest więc równoważne ze zdaniem Z2. Jest to równoważność analityczna, bo obustronne wynikanie jest otrzymane na podstawie związku pomiędzy pojęciami (chodzi o związek pomiędzy pojęciami: stryj oraz bratanek. c) Odp: Z1 jest równoważne analitycznie ze zdaniem Z2. d) Odp: Z1 nie jest równoważne ze zdaniem Z2.

Zad 2 p – sąd rejestrowy dokonała wpisu spółki akcyjnej do rejestru q- spółka akcyjna posiada osobowość prawną sch Z: p  q sch Z': (pq)  (q p) Należy sprawdzić schemat zdania postaci: Z  Z', czyli wyrażenie: (p  q ) pqqp Sprawdzenia dokonam w tabelce: Sch Z p

q

p

q

pq

Sch Z’ pq

qp

pqqppqpqqp  1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

Sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym (tautologią logiczną), więc zdania Z oraz Z' tworzą parę zdań równoważnych logicznie.

b) Z: Jeżeli Kasia ujawniła sekret Basi i Basia się o tym dowiedziała, to Basia obraziła się na Kasię i Kasia straciła przyjaciółkę. Z’: Jeżeli Kasia ujawniła sekret Basi, ale Basia się o tym nie dowiedziała, to Basia nie obraziła się na Kasię i Kasia nie straciła przyjaciółki. Rozwiązanie: p – Kasia ujawniła sekret Basi q- Basia się o tym dowiedziała r- Basia obraziła się na Kasię s- Kasia straciła przyjaciółkę

Sch Z: (pq)  (rs)

Sch Z': (p  q)  (r  s)

Należy sprawdzić, czy prawem logicznym jest funkcja zdaniowa: [(pq)  (rs)]  [(p  q)  (r  s)] Sprawdzam metodą nie-wprost, wobec czego sprawdzaną równoważność trzeba rozbić na dwie implikacje: 1) [(pq)  (rs)]  [(p  q)  (r  s)] 2) [(p  q)  (r  s)] [(pq)  (rs)] Jeśli obydwie implikacje są prawami logicznymi (czyli tautologiami logicznymi), to wyjściowa równoważność też jest prawem logicznym, a jeśli chociaż jedna implikacja nie jest prawem logicznym, to wyjściowa równoważność też nie jest prawem logicznym.

(ad 1) [(pq)  (rs)]  [(p  q)  (r  s)] 1

0

1

1 1

1

0 0

0 Z założenia, że (p  q) – 1 otrzymujemy wartości: p-1, q-0. Z kolei z założenia, że (r  s)- 0 otrzymujemy trzy przypadki dla zmiennych r oraz s. Są to: 1) r -1, s-0, 2) r0, s-1, 3) r-1, s-1 (ponieważ: r-0 i s-0). Mamy zatem do sprawdzenia trzy przypadki. Przypadek 1: p-1, q-0, r-1, s-0 [(10)  (10)]  Pierwszy sprawdzany przypadek jest przypadkiem fałszywości całej implikacji, a więc pozostałych przypadków sprawdzać nie trzeba, ponieważ już wiadomo, że implikacja ta nie jest prawem logicznym. Co więcej, nie trzeba też sprawdzać implikacji w drugą stronę ponieważ już wiadomo, że wyjściowe wyrażenie równoważnościowe nie jest prawem logicznym. Wobec powyższego zdanie Z nie jest równoważne logicznie ze zdaniem Z'.

Zad 3 p- Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne q- w III tysiącleciu przed naszą erą znano pismo alfabetyczne Sch Z1: pq ;

Sch Z2: pq ;

Sch Z4: (pq) ;

Sch Z3: (pq) ; Sch Z5: pq ;

Sch Z6:

pq

Wystarczy policzyć wartości logiczne zdań otrzymanych ze schematów schZ1- sch Z6, dla wszystkich możliwych przypadków. Liczę w tabelce:

p

q

p

SchZ1 SchZ2 SchZ5 Sch Z3 q pq pq pq pq) pq

Sch Z4 (pq)

Sch Z6 pq

 1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

Na podstawie wyników otrzymanych w tabelce wiadomo, że zdanie Z1 jest równoważne logicznie z Z5 (ponieważ w każdej możliwej sytuacji otrzymujemy z ich schematów te same wartości), a nie jest równoważne logicznie ani z Z2 ani z Z3 ani z Z4 ani z Z6 (ponieważ istnieją przypadki w których ze schematu Z1 otrzymamy inną wartość logiczną niż dla schematu Z2, czy Z3, czy Z4, czy Z6). Podobnie jest dla zdania Z5- jest równoważne logicznie tylko z Z1 (spośród podanych zdań). Z kolei Z2 jest równoważne logicznie z Z3 (ponieważ z ich schematów nie możemy otrzymać ani układu a) Z2- 1, Z3- 0 , ani układu b) Z2-0, Z3-1. Z żadnym innym zdaniem (spośród podanych) Z2 nie jest równoważne logicznie (z powodów analogicznych jak dla Z1). W końcu Z4 jest równoważne logicznie z Z6 (ponieważ z ich schematów nie możemy otrzymać innych wartości logicznych). Z żadnym innym zdaniem (spośród podanych) Z4 nie jest równoważne logicznie (z powodów analogicznych jak dla Z1)

Zad 4 p - lubię chodzić do teatru q- lubię chodzić do opery Sch Z: p  q

Sch Z1: p  q

p, 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

Sch Z pq 0 0 0 1

Sch Z1 pq 1 0 0 0

Zdania Z, Z1, nie mogą być (tylko) jednocześnie oba prawdziwe, więc są one w związku przeciwieństwa

Sch Z: p  q

p, 0 0 1 1

q 0 1 0 1

q 1 0 1 0

Sch Z2: p  q Sch Z Sch Z2 pq pq 0 0 0 0 0 1 1 0

Zdania Z, Z2, nie mogą być (tylko) jednocześnie oba prawdziwe, więc są one w związku przeciwieństwa

Sch Z: p  q p, 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p 1 1 0 0

Sch Z3: p  q Sch Z Sch Z3 q pq pq 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

Zdania Z, Z3, przyjmują w każdej możliwej sytuacji różne wartości logiczne, więc są to zdania sprzeczne Sch Z: p  q Sch Z4: p Sch Z4 p, 0 0 1 1

q 0 1 0 1

Sch Z pq 0 0 0 1

SchZ Sch Z4 (pq)  p 1 1 1 1

SchZ4 Sch Z 1 1 0 1

Jedyny układ, który nie może być (nawet teoretycznie) przyjęty to w(Z)= 1 i jednocześnie w(Z4)= 0, czyli nie może być tak, aby zdanie Z było prawdziwe i jednocześnie Z4 – fałszywe, a to oznacza, że ze zdania Z wynika (logicznie) zdanie Z4

Sch Z: p  q

Sch Z5: p  q  r

SchZ5  schZ (p  q  r )  (p  q) 1

1 1

1 1

0 0

(1  1  1 )  (1  1) = 11 = 1 Sprawdzana funkcja logiczna jest tautologią logiczn (p  q)  (p  q  r ) 1

1

1

1

1 1

0 1

0 Jedyny układ podejrzany o fałszywość całości to układ: p-1, q-1, r-0 (1  1)  (1  1  0 ) = 1 0 = 0 Istnieje przypadek fałszywości całości, więc sprawdzana funkcja logiczna nie jest prawem logicznym. Odp: Ze zdania Z5 wynika logicznie zdanie Z ( a ze zdania Z nie wynika logicznie zdanie Z5)

Sch Z: p  q

p, 0 0 1 1

q 0 1 0 1

q 1 0 1 0

Sch Z6:  (p  q) Sch Z pq pq 0 1 0 1 0 1 1 0

Sch Z6  (p  q) 0 0 0 1

Zdania Z, Z6, nie mogą mieć jednocześnie innych wartości logicznych, więc są one w równoważności (logicznej)

Odpowiedzi: a) Z1 jest podprzeciwne względem Z Z2 jest podprzeciwne względem Z, Ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z Z3 jest sprzeczne względem Z, Z5 jest równoważne logicznie z Z Z6 jest sprzeczne ze zdaniem Z

Zad 5 a) p- pada deszcz, q- na dworze jest mokro Sch Z: p q p- pada deszcz, q- na dworze jest mokro Sch Z: p q Prawem logicznym klz ma być: Sch Z  Sch Z1 (p q)  ….  Sch Z1: q  p Z1: Jeśli na dworze nie jest mokro, to nie pada deszcz. Uzasadnienie: Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z  Z1. Należy zatem uzasadnić to, że prawem logicznym jest wyrażenie: (p q) (q  p). Wykazuję to w tabelce:

p q p q pq q  p (p q) (q  p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Sprawdzane wyrażenie jest prawem logicznym, zatem z...