Wisselstromen practicum PDF

Preview

Summary

Download Wisselstromen practicum PDF

Description

WISSELSTROMEN

LABO FYSICA: ELEKTROMAGNETISME

De Smet Kaat Leemans Hanne 2de Bachelor Bio-Ingenieurswetenschappen

Inhoudstafel 1

2

3

4

Inleiding

3

1.1

AC karakteristieken 1.1.1 De faseverschuiving  1.1.2 De absolute impedantie |Z|

3 3 3

1.2 1.3 1.4

De condensator De spoel Resonantie

4 4 5

Methoden en materialen 2.1 RL schakeling

5 5

2.2 2.3

6 6

RC schakeling RLC schakeling

Resultaten 3.1 RL schakeling : impedantie van de spoel 3.2 RC schakeling: impedantie van de condensator

7 7 8

3.3

9

RLC schakeling: serieresonantie van de RLC keten

Besluit

11

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 2 / 11

1

Inleiding

Een wisselstroom, in het Engels Alternating Currents (AC), is een stroom die in functie van de tijd varieert. In dit practicum concentreren we ons op sinusoïdale wisselstromen. We onderzoeken de karakteristieken van de passieve elementen in het AC-domein. In het labo werden er 3 verschillende kringen gemaakt: RL schakeling, RC schakeling en een RLC schakeling. Bij de RL schakeling berekenden we de impedantie van de spoel en plotten deze in functie van de frequentie. Bij de RC schakeling berekenden we de impedantie van de condensator en plotten deze in functie van de frequentie. Bij de RLC schakeling bestudeerden we de resonantie. De zelfinductie en capaciteit van de spoel en condensator werden opnieuw uitgerekend.

1.1

AC karakteristieken

1.1.1

De faseverschuiving 

De spanning over en de stroom door klemmen van een sinusoïdale AC-bron kunnen geschreven worden als: 𝑉(𝑡) = V0 cos(ωt) (1) I(t) = I0 cos(ωt + ) (2) Bij vergelijking (1) en (2) is de faseverschuiving van I(t) t.o.v. V(t)  radialen. Even goed is de faseverschuiving van V(t) t.o.v. I(t) - radialen. Welke definitie men ook hanteert, het teken en grootte hangt niet af van de frequentie. Het teken hangt wel af van het soort element.

1.1.2

De absolute impedantie |Z|

De absolute impedantie van een element is de verhouding tussen de amplitudes van de spanning over, en de stroom door dat element, in een circuit gevoed door een sinusoïdale spanning. |Z| =

V0 𝐼0

met eenheid Ohm Ω (3)

De impedantie is wel afhankelijk van de frequentie. Bij een bepaalde frequentie heeft de impedantie van elke individuele component een vaste waarde, onafhankelijk van de schakeling waarin het wordt gebruikt.

Volgens de wet van Ohm is V = RI. Sluit men een weerstand aan op een wisselspanningsbron, geldt: V(t) = RI(t) (4) Als V(t) = V0 cos(ωt)

(5)

Dan is I(t) =

(6)

V0 cos(ωt) R

Het faseverschil tussen stroom en spanning is gelijk aan nul. Hieruit volgt dat V0 |ZR| = = R (7) 𝐼0 De absolute impedantie van een weerstand is R.

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 3 / 11

1.2

De condensator

Bij het aanbrengen van lading op de platen van een condensator, ontstaat er een potentiaalverschil VAB , evenredig aan deze lading, over de condensator: VAB=

𝑞 𝐶

(8), met C een evenredigheids-constante = de capaciteit (in Farad (F))

Wanneer door de draad een stroom I(t) loopt, zal de lading variëren doorheen de tijd: I(t)=

𝑑𝑞

=C

𝑑𝑡

𝑑𝑉 𝑑𝑡

(9)

Gaan we uit van een sinusoïdale wisselspanning: V(t) = V0 cos(ωt) (10) Uit (9) en (10) volgt dat: I(t) = - CωV0sin(ωt) of I(t)= CωV0cos(ωt + We zeggen dat de stroom

𝛱

2

𝛱 2

) (11)

radialen voorloopt op de wisselspanning en dat de spanning

de stroom. We herschrijven (11) als: I(t) = I0 cos(ωt +

𝛱 2

)

met I0 = CωV0

𝛱 2

na-ijlt op

(12)

Hieruit bepalen we de absolute impedantie van een condensator:

|Z|=

1

{Ω} (13)

ωC

1.3

De spoel

Wanneer er een spanning over een spoel wordt aangelegd, zorgt de stroom die doorheen de spoel loopt voor een magnetisch veld binnen de windingen. Elke verandering van het magnetisch veld zal een elektromotorische tegenkracht opwekken: VAB = L

𝑑𝐼

𝑑𝑡

(14), met L een evenredigheids-constante = de zelfinductiecoëfficiënt ( in Henry (H))

Uit (14) volgt: I(t) =

1 𝐿

𝑡

∫0 𝑉𝐴𝐵 𝑑𝑡 + 𝐼(𝑡 = 0) (15), met I(t=0) = 0

Als er een sinusoïdale spanning VAB= V0cos(ωt) (16) aangelegd wordt, dan is de stroomsterkte: I(t) =

1 𝐿

𝑡

∫0 𝑉𝐴𝐵 𝑑𝑡 =

𝑉0 𝑡 ∫ cos ( 𝐿 0

ωt) dt =

𝑉0

ωL

sin ωt =

𝑉0

ωL

Uit (16) en (17) wordt bepaalt dat de spanning eveneens dat I0=

𝑉0

𝛱

𝛱

cos( ωt - 2 ) = I0 cos (ωt - 2 ) (17) 𝛱

2

radialen voorloopt op de stroom. Uit (17) blijkt

, waardoor de absolute impedantie van de spoel overeenkomt met: ωL

|ZL|= ωL (18)

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 4 / 11

1.4

Resonantie

Wanneer de stroom en spanning in AC-circuits in fase zijn, ontstaat er resonantie. Hierbij kunnen we stellen dat |Z| = R. In praktijk blijkt echter dat |Z| > R, als resultaat van de interne weerstand van de spoelen. De totale impedantie is dan ook minimaal bij resonantie en de admitantie Y=

1

𝑍

2

(in Ω-1)

is maximaal.

Methoden en materialen

Er werden drie verschillende schakelingen gemaakt. Bij onderstaande schakelingen werd gebruik gemaakt van volgende apparatuur: 2 multimeters (een voor de stroom te meten en een voor de spanning) 1 frequentie generator met frequentiebereik van 40Hz tot 20 kHz 1 rasterplaat met 1 spoel, 1 condensator, 1 weerstand (99,6 Ohm) en 1 BNC connector voor de functie generator Nodige kabels voor de schakelingen te maken

2.1

RL schakeling

Figuur 1: Schematische voorstelling RL-schakeling

Bovenstaande schakeling werd begrenzingsweerstand van 99,6 Ω.

op

het

gegeven

rasterbord

nagemaakt.

Ru

is

een

Daarna werd de impedantie van de spoel uitgerekend en werd deze in functie van de frequentie m.b.v. Excell geplot. Er werden een aantal frequentiewaarden gekozen binnen het bereik van de frequentiegenerator. Deze waarden werden telkens ingesteld, waarna de stroomsterkte en spanning afgelezen werden op de multimeters. Om de grafiek te plotten werd de LINEST functie in Excell gebruikt.

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 5 / 11

2.2

RC schakeling

Figuur 2: Schematische voorstelling RC schakeling Bovenstaande schakeling werd op het gegeven rasterbord nagemaakt, met gebruik van dezelfde weerstand Ru als in experiment 1. De impedantie van de condensator werd uitgerekend uit volgens de formule: ZC=

𝑉 𝐼

=

𝑉𝐶

𝑉𝑅 𝑅

De VC - en VR- waarden werden gevonden via metingen met de spanningsmeter bij een aantal frequentiewaarden binnen het bereik van de frequentiegenerator. Hierna werd de impedantie van de condensator ZC geplot in functie van de periode T (=

2.3

1

𝑓

).

RLC schakeling

Figuur 3: Schematische voorstelling RLC schakeling Bovenstaande schakeling werd op het gegeven rasterbord nagemaakt, met gebruik van dezelfde weerstand RU uit experimenten 1 en 2. Het doel van dit laatste deel was om de resonantie van de RCL-schakeling te bekijken. Het frequentiebereik, waarin de resonantieverschijnselen werden onderzocht, werd vastgesteld door de resonantiefrequentie te bepalen. Dit werd gedaan door de frequentie te laten variëren tussen 200Hz en 8kHz. De frequentie bij maximale stroom werd gezocht als grofregeling en vervolgens werd de frequentie bij minimale spanning VRCL bepaalt als fijnregeling. Deze laatste is de resonantiefrequentie f0. De admittantie YRLC werd berekent door de stroom (I) te delen door de spanning (V) bij elke frequentie. De stroom en spanning werden telkens gemeten bij elke gekozen frequentie. De admittantie is gelijk aan het omgekeerde van de impedantie. Y=

1 𝑍

Na de metingen werd er een grafiek gemaakt van de admittantie in functie van de frequentie. Deze grafiek werd daarna geplot in Gnuplot en maak een curve fit in Gnuplot van de bekomen grafiek. In Gnuplot zag dat er als volgt uit: y= 1/sqrt(a*a + (2*pi*b*x – 1/(2*pi*c*x))**2

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 6 / 11

3

Resultaten

3.1

RL schakeling : impedantie van de spoel

Tabel 1: Resultaten experiment RL schakeling

f [Hz] 40 3040 6040 9040 12040 15040 18040 20000

VL [V] 0,0201 0,09503 1,3875 1,5664 1,6477 1,6897 1,7138 1,7244

I [A] 0,01163 0,0098 0,00716 0,00534 0,00414 0,00331 0,00272 0,00242

ZL [Ω] 1,728289 9,696939 193,7849 293,3333 397,9952 510,4834 630,0735 712,562

Impedantie Z [Ohm]

Impedantie ifv frequentie 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

5000

10000

15000

20000

25000

Frequentie [Hz]

Figuur 4 Impedantie spoel in functie van frequentie Om de grafiek te plotten wordt de LINEST functie in Excell gebruikt. Dit geeft ons de volgende gegevens voor a en b: a = 0,0372861 +/- 0,001656 b = -44,4411 +/- 20,49 Met behulp van de a kunnen we L berekenen. L is de zelfinductie van de spoel. L=

𝑎

2ℼ

= 0,0059 H (Henry)

δL = δa *

1

2ℼ

=0,0003 H

L = (0,0059 ± 0,0003 ) H

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 7 / 11

3.2

RC schakeling: impedantie van de condensator

RU= 99,6 Ω ZC=

𝑉𝐶

𝑉𝑅 𝑅

Tabel 2: Resultaten experiment RC schakeling

f [Hz] 40 100 2040 4040 6040 8040 1040 12040 14040 16040 18040 20000

T [s] 0,025 0,01 0,00049 0,000248 0,000166 0,000124 0,000962 8,31E-05 7,12E-05 6,23E-05 5,54E-05 0,00005

Vr [V] 0,0217 0,0523 0,7776 1,0165 1,094 1,1269 1,1442 1,1533 1,1589 1,1627 1,1653 1,1673

I [A] 0,000218 0,000525 0,007807 0,010206 0,010984 0,011314 0,011488 0,011579 0,011636 0,011674 0,0117 0,01172

Vc [V] 1,7679 1,7683 1,3218 0,8756 0,6318 0,49 0,3993 0,3366 0,2914 0,2575 0,2314 0,2111

Zc [V/A] 8114,417 3367,546 169,3046 85,79416 57,52037 43,30819 34,75815 29,06907 25,04396 22,05814 19,77812 18,01213

Impedantie Z [Ohm]

impedantie ifv periode T 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

periode T [s]

Figuur 5 Impedantie condensator in functie van de periode T Om de grafiek te plotten wordt de LINEST functie in Excell gebruikt. Dit geeft ons de volgende gegevens voor a en b: a = 326 778,7 ± 3790,492 b = -17,1596 ± 29,48901 Met behulp van a kunnen we C berekenen. C is de capaciteit van de condensator. C=

1

2ℼ𝑎

= 0,000 000 487 F (Farad)

δC = δa * (

1

𝑎2

∗

1 ) = 5,65 . 10-9 F 2ℼ

C = ( 0, 000 000 487 ± 5,65 . 10-9) F

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 8 / 11

3.3 •

RLC schakeling: serieresonantie van de RLC keten Experimentele resonantiefrequentie: Imax = 11,56 mA bij f0,exp = 3,3 kHz en V = 1,1697 V

•

Hoekpunten: O.8 * Imax = 9,248 mA bij f1 = 1,940 kHz en f2 = 5,5 kHz

•

Metingen voor f1 < f < f0,exp : Tabel 3: Resultaten experiment RLC schakeling (a)

f [Hz] 2000 2150 2300 2450 2600 2750 2900 3050 •

I [A] 0,00943 0,00992 0,01034 0,0107 0,011 0,01123 0,01139 0,0115

VRLC [V] 1,3999 1,3548 1,3121 1,2734 1,2397 1,2123 1,1915 1,1777

YRLC [A/V] 0,006736 0,007322 0,00788 0,008403 0,008873 0,009263 0,009559 0,009765

Metingen voor f0,exp < f < f2 : Tabel 4: Resultaten experiment RLC schakeling (b)

I [A] 0,01151 0,01136 0,01115 0,01089 0,0106 0,01026 0,00993 0,0096

VRLC [V] 1,1749 1,1928 1,2193 1,2505 1,2839 1,3174 1,3498 1,3804

YRLC [A/V] 0,009797 0,009524 0,009145 0,008709 0,008256 0,007788 0,007357 0,006955

Admittantie YRLC [1/Ohm]

f [Hz] 3500 3750 4000 4250 4500 4750 5000 5250

Frequentie f [Hz]

Figuur 6 Admittantie Y ifv frequentie f Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 9 / 11

Na de curve fit in Gnuplot worden volgende waarden verkregen: a = (101,198 ± 0,03176) b = (0,005080 ± 4,766.10-6 ) c = (4,61478.10-7 ± 4,404.10-10) De gevonden waarden voor de zelfinductie van de spoel en de capaciteit van de condensator komen ongeveer overeen met de waarden uit experimenten 1 en 2. Deze zijn natuurlijk niet exact gelijk, aangezien we rekening moeten houden met de fout op deze waarden. Theoretische resonantiefrequentie uitgaande van experimenten 1 en 2: F0,th= √

1

𝐶∗𝐿∗4∗𝛱2

δ F0,th= ((

1

3

2∗𝐶2

= 2969,132954 Hz 1

√ 𝐿∗4∗𝛱 2) δC) +((

1

3

2∗𝐿 2

1

√ 𝐶∗4∗𝛱 2 ) δL)= 92,270983994 Hz

F0,th= (2,97 ±0,09 ) kHz De experimenteel gevonden resonantiefrequentie bedroeg 3,3kHz en de theoretisch berekende resonantiefrequentie bedroeg (afgerond) 3kHz. Rekening houdend met de fout op de metingen en berekeningen liggen deze waarden dicht bij elkaar. VL, VC, VLC bij resonantie: VL= 1,2162 V VC= 1,2079 V VLC= 0,0233 V De spoel en de condensator staan in serie, waardoor de spanning door deze twee dezelfde zou moeten zijn volgens de tweede wet van Kirchhoff. Deze waarden liggen dan ook zeer dicht bij elkaar, met een klein verschil door de fout op de metingen. In een LC-kring zal de impedantie ZLC minimaal (zie verder) zijn bij resonantie. Dit komt omdat de spoel en condensator elkaar opheffen, aangezien deze elkaars elektrische tegenhangers zijn (condensator  geleider). Uit de vergelijking: Z=

𝑉 𝐼

kunnen we dan concluderen dat de stroom ILC naar een maximum, oftewel de spanning VLC naar een minimum, zal neigen bij resonantie. Deze resultaten strookten dus met onze verwachting. Minimale impedantie: De impedantie is minimaal bij een maximale admitantie Y. Dus: Zmin=

1

𝑌𝑚𝑎𝑥

Met Ymax =

1

√𝐿𝐶

Dus Zmin = √𝐿𝐶 = 0,000053603 Ω In een LC-kring zal de totale impedantie minimaal zijn bij resonantie. We zouden als resultaat dus Zmin = 0 verwachten. Aangezien er in praktijk echter interne weerstand van de spoelen optreedt, ligt onze waarde hier een beetje hoger.

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 10 / 11

4

Besluit

Door het uitvoeren van bovenstaande 3 experimenten kunnen we de karakteristieken van de passieve elementen van het AC-domein onderzoeken. We vinden een waarde voor de zelfinductie L = (0,0059 ± 0,0003 ) H van de spoel en voor de capaciteit C=( 4,87.10-7 ± 5,65.10-9) F van de condensator. In experiment 3 konden we uit een curve fit en een plot met behulp van Gnuplot de juistheid van deze resultaten bevestigen. Deze waarden werden nadien gebruikt om de theoretische resonantiefrequentie F0,th= (2,97 ±0,09 ) kHz te berekenen, die ook dicht bij de experimentele resonantiefrequentie f0,exp = 3,3 kHz ligt. Ten slotte berekende we een minimale impedantie Zmin = 0,000053603 Ω, die in praktijk door aanwezigheid van interne weerstand van de spoelen niet gelijk is aan 0.

Wisselstromen - labo Fysica: Elektromagnetisme 11 / 11...