Zusammenfassung-Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und Co. PDF

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Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und Co....

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Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis und Co. Allgemein gilt: Linearkombination: Um zu zeigen, dass sich ein Vektor aus den anderen linear kombinieren lässt, stellt man diesen Vektor als Linearkombination der anderen dar und löst die entsprechende Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Also zum Beispiel: 1   5  als Linearkombination der Vektoren Stelle nun den Vektor    3   3   2 1  1  ,  2 ,   1   2   3  2  dar.  1        2  1 Es muss also ℚ gelöst werden. 1 2 3 mit , ,

1  5     3  

3  1     1  

 2  2    2  

1  2       1

Dies kann mit Hilfe einer Überführung in eine Matrix und mit Hilfe des Gauß-Algorithmus gelöst werden:  3 2   1 2  1 2 

1 1   2 5  1 3

3  0 0 

2 4 8

  5 14 2 8 

1 1

3  0 0 

2 4 0

  5 14 12 36

1 1

36 3 . Damit ergeben sich Die letzte Zeile liefert 12 1 1 1 4 5 3 14 und 3 2 ( ) 3 1 . 4 4 2 Also kann der Vektor w wie folgt als Linearkombination der drei anderen Vektoren dargestellt werden:

1 2

1

1 4

2

3

3

3   2 1   1   1 2 2   4    1  2

1    3 2     1

Lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn man den Nullvektor mit Hilfe dieser Vektoren nur mit Hilfe der trivialen Lösung erzeugen kann, sprich:

∑

Zu zeigen ist also, dass aus

0 folgt, dass

0

{1,..., } .

1

Vektoren sind immer linear abhängig, wenn wir uns in einem Vektorraum der Dimension n bewegen und wir n+1 Vektoren auf lineare Abhängigkeit untersuchen sollen. Beispiel: Untersuche zunächst, ob das System von Vektoren linear unabhängig ist. Zu 3

zeigen ist also, dass aus

∑

0 folgt, dass

0

1, 2, 3 .

1

1

1   1  

2

1   2  

3

 1 3   

0

Überführe das homogene lineare Gleichungssystem in eine Matrix und wende den Gauß-Algorithmus an: 1 1  1 2 

1 3 

1 1 0 3 

1 (*) 2 

Es folgt also aus der letzten Zeile 3 2 2 2 0 . Ich zeige nun, dass man jeden Vektor aus den beiden anderen linear kombinieren kann. Wenn das der Fall ist, dann bedeutet das, dass die Vektoren linear abhängig sind. 1   1  1   1  2   1  2 3  1 11   1 11       2 3 1  0 5 3 3 3 2 und auch 1 1 . Man hat damit 1 5 5 5 gezeigt, dass sich der Vektor aus den anderen linear erzeugen lässt.

Also gilt 5

2

3

2

Diese Untersuchung brauchen wir dann nicht durchzuführen, sondern können wie folgt argumentieren: Wir bewegen uns im ℝ ² , also gilt dim ℝ ² 2 und drei Vektoren in einem Vektorraum der Dimension 2 sind immer linear abhängig, da die Basis aus 2 Vektoren besteht und da eine Basis unverlängerbar linear abhängig ist. Weiterhin sind Vektoren immer linear abhängig, wenn sich einer aus den anderen linear kombinieren (erzeugen) lässt. Der Satz „Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig“ ist falsch, denn lineare Abhängigkeit bedeutet unter anderem, dass

sich ein bestimmter Vektor aus den anderen linear kombinieren lässt, und nicht, dass sich alle paarweise von einander linear erzeugen lassen. Es kann also in einem System von linear abhängigen Vektoren durchaus zwei (o.ä.) geben, die linear unabhängig sind. Erzeugnis Das Erzeugnis ist die Menge aller Linearkombinationen. Also : {∑ | , }. 1 , 2 , ..., Zum Beispiel ist die Menge aller skalaren Vielfachen des Vektors v. Ein weiteres Beispiel ist das folgende: Das Erzeugnis der Vektoren (1, 0, 0) und (1, 1, 1) { (1, 0, 0) (1,1,1) | , ℝ } {( , , ) | , ℝ} . von ℝ ³ ist (1, 0, 0), (1,1,1) Erzeugendensystem Ein Erzeugendensystem ist die Menge aller Linearkombinationen, das den gesamten .Um zu zeigen, dass Vektoren ein Vektorraum aufspannt. Es gilt also 1, 2,..., Erzeugendensystem bilden, muss man einen beliebigen Vektor aus den anderen Vektoren linear kombinieren können. Mit anderen Worten: Ist V ein Erzeugendensystem eines Vektorraums, so ist jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination der Vektoren aus V darstellbar. 1. Beispiel: Dazu wähle ich mir den beliebigen Vektor ( , , ) ℚ ³ und überprüfe, ob sich dieser durch die drei Vektoren 1 (0, 2,1), 2 (1, 2, 0), 3 (2, 0,1) linear kombinieren lässt. Dazu muss folgendes lineare Gleichungssystem, genauer folgende Matrix mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden: ( , , )

1

(0, 2,1)

0 1 2    2 2 0  1 0 1   

2

(1, 2, 0)

1 0 1    2 2 0  0 1 2   

3

(2, 0,1)

1 0  0 2 0 1 

1 2 2 2

    

1 0  0 2 0 0 

Die letzte Zeile liefert 4 3 2 2 . Also lassen sich Vektor ( , , ) ℚ ³ eindeutig angeben. Es liegt also ein Erzeugendensystem vor.

1

,

1 2 2 4 2 2

,

3

   2 

für jeden beliebigen

Es gibt aber oftmals Vereinfachungen, sodass man diese Untersuchung nicht extra durchzuführen braucht: Bei unserem obigen Beispiel können wir z.B. schreiben: Da wir uns im ℚ ³ bewegen und dim ℚ³ 3 gilt, erzeugen drei linear unabhängige Vektoren schon einen Vektorraum. Wir brauchen also nicht extra zu untersuchen, ob ein Erzeugendensystem vorliegt.

2. Beispiel: Auch ein Gegenbeispiel kann angegeben werden: Prüfe nun, ob sich ein beliebiger Vektor aus den anderen linear erzeugen lässt. Ist das der Fall, liegt ein Erzeugendensystem vor. Wenn das nicht der Fall ist, reicht es, ein Gegenbeispiel anzugeben und man hat gezeigt, dass sich eben nicht jeder beliebige Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt, und folglich würde kein Erzeugendensystem vor liegen. Wähle dazu den Vektor (1, 1, 1, 1): 1  1  0   2  1 0  1  1   2  1            Überführung in Matrix und Lösen mit 1  0  2 0  3 1  4 1  1           0  1   1  0  1 

Gauß-Vefahren: 1  0 0  0

1 1 1 0

0 1 1 1

2 1  2 1 0 1  1 1

1  0 0  0

1 1 0 0

0 1 2 1

2 1  2 1 2 0  1 1 

1  0 0  0

1 1 0 0

0 1 2 0

2 1  2 1 2 0  0 2 

Es entsteht die falsche Aussage 0=2. Damit liegt kein Erzeugendensystem vor, da ich ℚ4 gefunden habe, der sich nicht aus den einen beliebigen Vektor des Vektorraus anderen Vektoren linear erzeugen lässt. Hier geht auch folgendes: Wenn die Vektoren schon linear abhängig sind, und wir uns in einem Vektorraum der Dimension n bewegen, und dann überprüfen sollen, ob die n Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, kann man gleich sagen, dass dies nicht der Fall ist. Basis Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Wenn wir also überprüfen wollen, ob eine Basis vorliegt, müssen wir erstens zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind und zweitens, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden. Wichtig hierbei sind die Sätze, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis besitzt und dass verschiedene Basis die gleiche Anzahl an Elementen besitzt. Weiterhin: Ist B eine Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraums V, so ist jeder Vektor durch genau eine Linearkombination der Vektoren aus B darstellbar (wichtig hierbei ist also die eindeutige Darstellung) Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in der Basis.

Fassen wir die wichtigsten Sätze nochmals zusammen: Bewegen wir uns in einem Vektorraum der Dimension n und sind n+1 Vektoren gegeben, die wir auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit untersuchen sollen, so sind diese immer linear abhängig. Sind Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n linear abhängig und wollen wir überprüfen, ob n Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, dann ist die Antwort immer „nein“. Sind die gegebenen Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n linear unabhängig, so bilden gegebene n Vektoren immer ein Erzeugendensystem, da n linear unabhängige Vektoren im Vektorraum der Dimension n V immer erzeugen (oder anders ausgedruckt: da n linear unabhängige Vektoren den gesamten Vektorraum der Dimension n aufspannen.)...