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Distancia(entre(dos(puntos( Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

Para determinar una expresión que te ayude a calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, toma los siguientes dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). A l situarlos en el plano cartesiano quedan como se muestran en la figura 1:

Figura 1. Distancia entre dos puntos.

En esa figura se puede apreciar que la distancia entre los puntos P1 y P2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos ( x2 − x1 ) y ( y2 − y1 ). De esta forma, si se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo formado, encontrarás la distancia entre los puntos P1 y P2.

(Teorema de Pitágoras)

La hipotenusa representa la distancia entre los puntos P1 y P2, por lo tanto, se representará con la letra d.

Si despejas d obtienes finalmente la fórmula de la distancia entre dos puntos, es decir:

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Debido a que en geometría analítica la solución de problemas requiere la aplicación de fórmulas, es conveniente que construyas un formulario para que favorezcas la memorización de las fórmulas que utilizarás.

A continuación se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo(1(:( Observa la figura 2 e inicia el cálculo de la distancia entre dos puntos retomando B (-6, -3) y E (2, -1).

Figura 2. Gráfica del rectángulo formado a partir de los puntos B (-6, -3) y E (2, -1).

Para aplicar la fórmula de la distancia es necesario decidir qué punto (B o E) será P1 y P2; toma a B como P1 y a E como P2. De esta manera:

d=

( y2 − y1 )2 + ( x2 − x1 )2

d= d=

(− 1− (− 3))2 + (2 − (−6))2 (− 1 + 3)2 + (2 + 6 )2

d=

(2)2 + (8)2

= 4 + 64 = 68 ≈ 8.24 2

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La distancia buscada es d = 68 unidades de longitud. Si no es necesaria demasiada precisión, se puede utilizar su valor aproximado d = 8.24.

¿Cuál sería la distancia entre B y E si se hubiera elegido B como P2 y E como P1? ¡Acertaste!, es la misma distancia.

Ejemplo(2(:( Calcula la distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5). Toma P1 (2, 3) y P2 (4, 5). Solución(

d=

(y 2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2

d=

(5 − 3 )2 + (4 − 2 )2

d=

(2 )2 + (2 )2

d = 4 + 4 = 8 ≈ 2.82

La distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5) es d = 8 unidades de longitud.

Ejemplo(3(:( Calcula la distancia entre los puntos (-1, 4) y (3, 6). Toma P1 (-1, 4) y P2 (3, 6). Solución)

d= d= d=

(y 2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2 (6 − 4)2 + (3 − ( −1))2 (2)2 + (3 + 1)2

d = 4 + (4)2 = 4 + 16 = 20 ≈ 4.47 La distancia entre los puntos (-1, 4) y (3, 6) es d = 20 unidades de longitud.

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Al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, debes tener precaución de usar de manera correcta las leyes de los signos.

Ejemplo(4(:( Determina si los puntos A (1, 4), B (4, 4) y C (4, -5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Solución) Una forma de determinar si se trata o no de un triángulo rectángulo es ver si sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. Para ello es necesario conocer primero la longitud de sus tres lados, esto es, la distancia entre los tres puntos. Para facilitar la organización de la información, te propongo vaciar las distancias calculadas como se hace en la tabla 1. Lado

AB

(distancia entre los puntos A y B)

Cálculos

Conclusión

d=

( y2

− y1 ) + (x 2 − x1 )

d=

(4 − 4 ) + (4 −1)

d=

(0 )2 + (3 )2

2

2

2

2

d = 0+9 = 9 =3

BC (distancia entre los puntos B y C)

CA (distancia entre los puntos C y A) Nota: de la geometría plana, la tilde que aparece sobre las parejas de letras significa segmento de recta. Por lo que

CA es el segmento de recta que va del punto C al punto A.

d=

(y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2

d=

(( −5) − 4 )2 + (4 − 4 )2

d=

(− 5 − 4 )2 + (0)2

d= d=

(− 9 )2 + 0 = 81 = 9 (y 2 − y 1 )2 + (x 2 − x1 )2

d=

(4 − ( −5) ) 2 + (1 − 4 ) 2

d=

(4 + 5)2 + (− 3)2 (9)2 + 9 = 81 + 9 =

d=

Ahora que has calculado las tres distancias (longitudes de los lados del triángulo) puedes probar, aplicando el teorema de Pitágoras si se trata o no de un triángulo rectángulo. ¿Cuál de los tres lados crees que pueda ser la hipotenusa? ¡Correcto!, el lado de mayor longitud en este caso CA . Aplicando el teorema de Pitágoras tienes:

( 90 ) = (9) + (3) 2

2

2

90 = 81 + 9 90 = 90 90 ≈ 9.48

Al comprobarse la igualdad, se verifica que los puntos dados corresponden con los vértices de un triángulo rectángulo.

Tabla 1. Ejemplo para vaciar las distancias.

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Punto(medio( En ocasiones es necesario conocer las coordenadas del punto que divide un segmento de recta exactamente a la mitad. A este punto se le conoce como punto medio. Las fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuando se conocen las coordenadas de los extremos del segmento son:

En los siguientes ejemplos, se muestra cómo aplicar esta fórmula.

Ejemplo(1(:( Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (2, 3) y (5, 6). Solución( Aplicando las fórmulas para el punto medio tienes:

x1 + x2 2 + 5 7 = = = 3.5 2 2 2 y + y2 3 + 6 9 = = = 4.5 ym = 1 2 2 2

xm =

Así, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (2, 3) y (5, 6) es: (3.5, 4.5)

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En la figura 3 se muestra una gráfica donde están los tres puntos del segmento de recta.

Figura 3. Gráfica de la recta con extremos (2, 3) y (5, 6) y punto medio (3.5, 4.5).

Ejemplo(2(:( Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (-3, 3) y (-5, 5). Solución( Aplicando las fórmulas para el punto medio tienes:

x1 + x2 − 3 + (− 5) − 3 − 5 − 8 = = = = −4 2 2 2 2 y + y2 3 + 5 8 = = =4 ym = 1 2 2 2

xm =

Así, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (-3, 3) y (-5, 5) es (-4, 4).

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!Bibliografía! Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, trads.). México: Pearson Educación. Kindle, J.H. (1999). Geometría analítica (L. Gutiérrez y Á. Gutiérrez, trads.). México: McGraw-Hill. Martínez, M. A. (1996). Geometría analítica. México: McGraw-Hill. Ruiz, J. (2008). Geometría analítica. México: Grupo Editorial Patria.

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