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Distancia entre dos rectas Si 𝕃 y 𝕃′ son dos rectas, la distancia entre 𝕃 y 𝕃′ es la mínima distancia entre un punto de 𝕃 y un punto de 𝕃′, es decir: 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 𝑚í𝑛{𝑑(𝐴, 𝐵)/𝐴 ∈ 𝕃; 𝐵 ∈ 𝕃′}

Caso 1: 𝕃 y 𝕃′ son dos rectas transversales

Obviamente si 𝕃 y 𝕃′ son dos rectas transversales, entonces 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 0, pues si 𝕃 ∩ 𝕃′ = {𝐴}, 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 𝑑(𝐴, 𝐴) = 0

Caso 2: 𝕃 y 𝕃′ son dos rectas paralelas

Si 𝕃 // 𝕃′ la distancia entre 𝕃 y 𝕃′ es la distancia de cualquier punto de 𝕃 a 𝕃′ (todos los puntos de 𝕃 están a la misma distancia de 𝕃′) es decir la distancia de cualquier punto de 𝕃 a su proyección ortogonal sobre 𝕃′. Ejemplo 1: Sean 𝕃: (𝑥, 𝑦) = 𝜆(4, −3) + (5, −2) Calcular 𝑑(𝕃, 𝕃′)

𝕃′: (𝑥, 𝑦) = 𝜆(4, −3) + (0,8)

Resolución En este caso 𝕃 // 𝕃′

Tomamos el punto (5, −2) ∈ 𝕃 y calculamos su proyección ortogonal sobre 𝕃′. Vamos a calcular la proyección ortogonal sin usar la fórmula del apunte “Álgebra vectorial bis” La recta ortogonal a 𝕃′ que pasa por (5, −2) tiene ecuación paramétrica 𝕃0 : (𝑥, 𝑦) = 𝜆(3,4) + (5, −2) 1

Buscamos 𝕃0 ∩ 𝕃′

𝛼(4, −3) + (0,8) = 𝛽(3,4) + (5, −2) 4𝛼 = 3𝛽 + 5 { −3𝛼 + 8 = 4𝛽 − 2

Sumando las dos ecuaciones obtenemos 𝛼 = 7𝛽 − 5 y reemplazando este resultado en la primera ecuación: 4(7𝛽 − 5) = 3𝛽 + 5 28𝛽 − 20 = 3𝛽 + 5 25𝛽 = 25 𝛽=1 𝛼=2 Así: 𝕃0 ∩ 𝕃′ = {(8,2)} y 𝑝𝑟𝑜𝑦𝕃′ (5, −2) = (8,2)

Así 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 𝑑((5, −2), 𝕃′) = 𝑑((5, −2), (8,2)) = ‖(8,2) − (5, −2)‖ = ‖(3,4)‖ = 5 Nota: usando la fórmula del apunte “Álgebra vectorial bis” [(5, −2) − (0,8)]. (4, −3) (4, −3) + (0,8) ‖(4, −3)‖2 = (8,2)

𝑝𝑟𝑜𝑦𝕃′ (5, −2) =

No soy partidario de que intenten aprender de memoria todas las fórmulas y menos aún sin saber como deducirlas. En mi opinión, la que más vale la pena saber es la de “distancia de un punto a un plano”, cuya deducción pueden encontrar en el apunte “Distancia y Proyección Ortogonal”.

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Recuerden que si usan las fórmulas no dejan la traza de los razonamientos que usan y un error al reemplazar los valores en la fórmula hace que todo este mal. Ejemplo 2 Sean 𝕃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆(2,1,1) + (1,0,1)

𝕃′: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆(2,1,1) + (3,3,0) Resolución Nuevamente 𝕃 // 𝕃′

Tomamos el punto (1,0,1) ∈ 𝕃 y calculamos su proyección ortogonal sobre 𝕃′. Nuevamente lo haremos sin usar las fórmulas del apunte “Álgebra Vectorial bis” Primero buscamos el plano Π ortogonal a 𝕃′ que pasa por (1,0,1) Π: 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

Luego buscamos Π ∩ 𝕃′

Si (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝕃′ entonces existe 𝜆 ∈ ℝ tal que

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 3, 𝜆 + 3, 𝜆)

Reemplazando en la ecuación de Π

2(2𝜆 + 3) + 𝜆 + 3 + 𝜆 = 3 6𝜆 + 9 = 3 𝜆 = −1

Π ∩ 𝕃′ = {(1,2, −1)}

𝑝𝑟𝑜𝑦𝕃′(1,0,1) = (1,2, −1) Así: 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 𝑑((1,0,1), 𝕃′) = 𝑑((1,0,1), (1,2, −1)) = ‖(1,2, −1) − (1,0,1)‖ = ‖(0,2, −2)‖ = √8 = 2√2 3

Nota: Si se calcula la proyección ortogonal de (1,0,1) sobre 𝕃′ con la fórmula del apunte “Álgebra vectorial bis” se tiene: [(1,0,1) − (3,3,0)]. (2,1,1) (2,1,1) + (3,3,0) ‖(2,1,1)‖2 = (1,2, −.1)

𝑝𝑟𝑜𝑦𝕃′ (1,0,1) =

Caso 3: 𝕃 y 𝕃′ son dos rectas alabeadas en ℝ3

La distancia entre dos rectas alabeadas 𝕃 y 𝕃′ en ℝ3 es la distancia de un punto cualquiera de 𝕃 al plano Π que contiene a 𝕃′ y tal que 𝕃//Π Ejemplo 3 Sean 𝕃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆(2,4, −5) + (−1,5,15)

𝕃′: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆(4, −1, −1) + (−3,0,2)

Hallar la distancia de 𝕃 a 𝕃′ Resolución

Vamos a buscar el plano Π que contiene a 𝕃′ y tal que 𝕃//Π (4, −1, −1) × (2,4, −5) = (9, 18,18)

Puedo tomar como normal de Π a (9, 18,18) o a cualquier 1

múltiplo no nulo de ese vector. Tomo el (1, 2,2) = (9,18,18) 9

Π: (1,2,2)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,2)(−3,0,2) Π: 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1

Ahora buscamos 𝑑((−1, −5,15), Π). Para ello vamos a usar la fórmula de distancia de un punto a un plano:

4

𝑑((−1, −5,15), Π) =

|−1 + 2(−5) + 2.15 − 1|

‖(1,2,2)‖ Luego 𝑑(𝕃, 𝕃′) = 𝑑((−1, −5,15), Π) = 6

5

|18| = 6 = 3...