Guia de distancia entre puntos PDF

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material de matematica de distancia entre puntos, material de apoyo para reforzar materia, PPT inacap chile...

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Distancia entre dos puntos en el plano

Cuando queremos encontrar la distancia entre dos puntos que se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Punto Medio:

Se define así: Sean P1 x y  el



y P2

x

y



dos puntos ubicado en el plano cartesiano, luego

punto medio entre ellos PM , se encuentra geométricamente en medio de la recta que los une y está dado por:  x  x y  y2  PM  1 2 ; 1  2   2 Ejemplo: 1.- Determinar el punto medio entre los puntos P1  3;5 y P2  7;1 Solución: Aplicando la fórmula nos queda:  3  7 5  1   10 6  PM  ;   ;   5;3 2   2 2  2  3 1  2 2

 

2.- Determinar el punto medio entre los puntos P1  ;  y P2  

5 7 ;  2 2

Solución: Aplicando la fórmula nos queda: PM

 3  5 1 7  2 8          2  2 2 2   2 ; 2    1 ; 4    1 ;2   ;        2 2  2 2   2 2  2         

Ejercicios: I.- Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar la distancia entre ellos: a) b) c) d)

P1 P1 P1 P1

(2; 3) y P2 (2; -1) (4; -1) y P2 (-2; -3) (-3; 0) y P2 (1; 2) (-4; 3) y P2 (2; -4)

II.- Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar el punto medio entre ellos: a) A (-4; 3) y B (8; -3) b) A (7; -2) y B (-4; 2) c) A (-7; 5) y B (3; -1) d) A (-5; -3) y B (6; 1)

Aplicaciones: 1) Determinar el perímetro de la figura determinada por los puntos:

D (-1; 0); B (2; 4) y C (2; 6) Solución: Nota: El perímetro de cualquier figura plana, se obtiene sumando la longitud de sus lados. En este caso corresponde al cálculo de las distancias DB ; BC y DC , las que se suman a continuación

Distancia entre los puntos D y B. 2 2 2 2 d1   2    1    4  0   3  4  9 16  25 5

Distancia entre los puntos B y C d 2  2  2

2

 6  4   0  4 2 2

Distancia entre los puntos D y C d3 

2    1 2  6  0 2

2 2  3  6  9  36  45 6,71

Luego el perímetro de la figura es: 5+2+6,71=13,71

2.- Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos: A(-4 ; -3) , B( 4 ; -3) , C( 4 ; 2) y D( -4 ; 4)

Distancia entre los puntos A y B d1   4    4     3    3   8 2  0 2  64 8 2

2

Distancia entre los puntos B y C d2 

4  4 2   2   3  2

 0  5 2  25 5

Distancia entre los puntos C y D 2 2 d 3  4    4    2  4   8 2   2   64  4  68 8,25 2

Distancia entre los puntos D y A d4 



4    4     4    3   0  7 2  49 7 2

2

Luego el perímetro de la figura es P 8  5  8,25  7 28,25

3.- Un triángulo tiene por vértices los puntos A (-2, 2); B (3, -3) y C (6, 6). Calcular: a) Las coordenadas del punto medio de cada lado. b) El perímetro del triángulo.

a) Cálculo de la distancia y del punto medio de cada segmento. 2 2 2 2 d1  3    2      3  2   5  5  25  25  50 7,07

d2   6  3 2   6    3  2  3 2 9 2  9 81  90 9,49 d3   6    2     6  2   10 2  4 2  100 16  116 10,77 2

2

  2  3 2   3   1 1  ; M1    ;   2  2  2 2 3 6 3 6        9 ; 3   4,5;1,5   ; M2     2  2 2  2    2  6 6  2  4 8  M3  ;   ;   2;4 2   2 2 2  b) Perímetro del triángulo: P 7,07  9,49 10,77 27,33

Ejercicios: I.- Determinar punto faltante: Dados los puntos, determinar el componente faltante de modo que coincida con el punto medio. 1) Sea P1 (6; 3) y P2 (x; 5). ¿Cuánto vale x para que tengan como punto medio a PM (4; 4)? 2) Sea P1 (10; -1) y P2 (x; 1) ¿Cuánto debe valer x para que tengan como punto

medio a PM (5; 0)? 3) Sea P1 (4; y) y P2 (6; -2) ¿Cuánto debe valer y para que tengan como punto medio a PM (5; 8)?...