3) Angulo Entre Dos Rectas PDF

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dos rectas (angulo)...

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Cálculo B DFM-UASLP

Ángulo entre dos rectas dirigidas en el espacio Ángulos directores de una recta en el espacio

Vamos a determinar el ángulo 𝜽 formado por dos rectas cualesquiera dirigidas 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 , en el espacio. Sean 𝒍′𝟏 𝒚 𝒍′𝟐 dos rectas trazadas por el origen y paralelas, y del mismo sentido a 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 , respectivamente. Por definición, el ángulo formado por las rectas dirigidas 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 es el ángulo 𝜽.

M.E.M. Claudia Alicia Méndez Hernández

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Cálculo B DFM-UASLP Sea 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) un punto cualquiera, distinto del origen sobre 𝒍′𝟏 y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) otro punto cualquiera, distinto del origen sobre 𝒍′𝟐 . También se cumple que: 1 | = 𝑑1 |𝑂𝑃

2 | = 𝑑2 |𝑂𝑃  𝑃1 𝑃2 = 𝑑

Por la ley de los cosenos: 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 Tenemos para el triángulo 𝑂𝑃1 𝑃2 :

𝑑1 2 + 𝑑2 2 − 𝑑 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑑1 𝑑2

Por la fórmula de la distancia:

𝑑1 2 = 𝑥1 2 + 𝑦1 2 + 𝑧1 2

𝑑2 2 = 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝑧2 2

𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 Sustituimos en la fórmula para obtener el ángulo (no es necesario sustituir las distancias del denominador): 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑥1 2 + 𝑦1 2 + 𝑧1 2 + 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝑧2 2 − (𝑥2 − 𝑥1 )2 − (𝑦2 − 𝑦1 )2 − (𝑧2 − 𝑧1 )2 2𝑑1 𝑑2

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Cálculo B DFM-UASLP 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑥1 2 + 𝑦1 2 + 𝑧1 2 + 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝑧2 2 − 𝑥2 2 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 2 − 𝑧2 2 + 2𝑧1 𝑧2 − 𝑧1 2 2𝑑1 𝑑2

𝑐𝑜𝑠𝜃 = Obtenemos factor común:

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

2𝑥1 𝑥2 + 2𝑦1 𝑦2 + 2𝑧1 𝑧2 2𝑑1 𝑑2

2(𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 ) 2𝑑1 𝑑2

Fórmula del ángulo entre dos rectas dadas si conocemos un punto perteneciente a cada recta:

𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑1 𝑑2

También sabemos que: 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑑1 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝑑2

Entonces: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑑1 𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝛽2 𝑑2

𝑧1 = 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑑1 𝑧2 = 𝑐𝑜𝑠𝛾2 𝑑2

𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑑1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝑑2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑑1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 𝑑2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑑1 𝑐𝑜𝑠𝛾2 𝑑2 𝑑1 𝑑2

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Cálculo B DFM-UASLP Obtenemos factor común:

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑑1 𝑑2 (𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2 ) 𝑑1 𝑑2

Por lo tanto:

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2

Teorema El ángulo 𝜃 formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el espacio, cuyos ángulos directores 𝛼1 , 𝛽1 , 𝛾1 𝑦 𝛼2 , 𝛽2 , 𝛾2 respectivamente se determina por la relación: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2

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Cálculo B DFM-UASLP Entonces sabemos que: 𝑘1 = ±√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2

𝑘2 = ±√𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2

𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑘1 𝑘2

Por lo tanto, si conocemos los números directores:

Corolario 1. Para que dos rectas sean paralelas y del mismo sentido es condición necesaria y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean iguales; para que sean paralelas y de sentidos opuestos es necesario y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean suplementarios. Corolario 2. Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente que la suma de los productos de sus cosenos directores correspondientes sea igual a cero. M.E.M. Claudia Alicia Méndez Hernández

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𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2 = 0

Si

𝑙1 ⊥ 𝑙2

Entonces:

Vamos a obtener los resultados del Teorema y sus dos corolarios en función de los números directores de las dos rectas: Sean [𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ] 𝑦 [𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ] los números directores de las dos rectas 𝒍𝟏 𝒚 𝒍𝟐 , respectivamente. 𝑐𝑜𝑠𝛼1 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛽1 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛾1 = ±

𝑎1

√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 𝑏1

√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 𝑐1

√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2

𝑐𝑜𝑠𝛼2 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛽2 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛾2 = ±

𝑎2

√𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 𝑏2

√𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 𝑐2

√𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2

Sustituyendo en el Teorema:

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Teorema

El ángulo 𝜃 formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el espacio, cuyos números directores [𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ] 𝑦 [𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ] , respectivamente, está determinado por la relación: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±

𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2

√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 √𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2

Ejemplo Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos:

𝑃1 (1, −1,2)

𝑃2 (4,5, −7) 𝑃3 (−1,2,1)

Trazamos los puntos en un espacio tridimensional

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Sea el ángulo 𝜃 = 𝑃2 𝑃1 𝑃3 Entonces podemos definir las distancias:  𝑃1 𝑃2 = 𝑑1  𝑃1 𝑃3 = 𝑑2 El área del Triángulo viene dada por: 1 𝐴 = 𝑑1 𝑑2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2

  Obtenemos los números directores de las rectas de 𝑃 1 𝑃2 𝑦 𝑃1 𝑃3  𝑃 1 𝑃2 = [(4 − 1), (5 + 1), (−7 − 2)]

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Cálculo B DFM-UASLP  𝑃1 𝑃2 = [3,6, −9]

Los reducimos:

 𝑃1 𝑃2 = [1,2, −3]

 𝑃 1 𝑃3 = [(−1 − 1), (2 + 1), (1 − 2)]  𝑃 1 𝑃3 = [−2,3, −1]

Empleamos el Teorema: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ± 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±

𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2

√𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 √𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 (1)(−2) + (2)(3) + (−3)(−1)

√(1)2 + (2)2 + (−3)2 √(2)2 + (−3)2 + (1)2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±

−2 + 6 + 3

√ 1 + 4 + 9√ 4 + 9 + 1

𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±

7

√14√14

𝑐𝑜𝑠𝜃 = ±

Como 𝜃 𝑒𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜:

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𝑐𝑜𝑠𝜃 =

7

14

1 2

𝑠𝑒𝑛𝜃 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 Página 9

Cálculo B DFM-UASLP 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √1 − ( ) 2 4 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √ − 4 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

3 4

√3 2

Obtenemos las distancias: 𝑑1 = √(4 − 1)2 + (5 + 1)2 + (−7 − 2)2 𝑑1 = √(3)2 + (6)2 + (−9)2 𝑑1 = √9 + 36 + 81 𝑑1 = √126

𝑑1 = √9 ∙ 14 𝑑1 = 3√14

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Cálculo B DFM-UASLP 𝑑2 = √(−1 − 1)2 + (2 + 1)2 + (1 − 2)2 𝑑2 = √(−2)2 + (3)2 + (−1)2 𝑑2 = √4 + 9 + 1 𝑑2 = √14

Por lo tanto: 𝐴=

1 √3 (3√14)(√14) ( ) 2 2 𝐴=

3(14)√3 2 𝑢 4

𝐴=

21√3 2 𝑢 2

Encuentra los números directores de una recta perpendicular a dos ya conocidas.

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Cálculo B DFM-UASLP Si 𝑙 ⊥ 𝑙1 → 𝑎1 𝑎 + 𝑏1 𝑏 + 𝑐1 𝑐 = 0 Si 𝑙 ⊥ 𝑙2 → 𝑎2 𝑎 + 𝑏2 𝑏 + 𝑐2 𝑐 = 0 Tenemos el sistema de ecuaciones: ❶ 𝑎1 𝑎 + 𝑏1 𝑏 = −𝑐1 𝑐 ❷ 𝑎2 𝑎 + 𝑏2 𝑏 = −𝑐2 𝑐

𝑎1 ∆= | 𝑎2

𝑏1 |≠0 𝑏2

Por la Regla de Cramer, obtenemos el determinante:

Donde:

Por lo tanto:

𝑏1 𝑎=| 𝑏2

𝑐1 | 𝑐2

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𝑐1 𝑏 = |𝑐 2

𝑎1 𝑎2 |

𝑎1 𝑐=| 𝑎2

𝑏1 | 𝑏2

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Ejemplo Encontrar los números directores de una recta perpendicular a otras dos cuyos números directores son:

𝑙1 [3,4,1]

𝑙2 [6,2, −1]

4 1 𝑎=| | 2 −1

𝑏=|

1 3 | −1 6

3 4 | 𝑐=| 6 2

4 1 | = (4)(−1) − (1)(2) = −4 − 2 = −6 𝑎=| 2 −1 1 3 𝑏=| | = (1)(6) − (3)(−1) = 6 + 3 = 9 −1 6 3 4 𝑐=| | = (3)(2) − (4)(6) = 6 − 24 = −18 6 2 [−6,9, −18]

Reducimos:

[−2,3, −6]

Ejemplo

Encontrar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos:

𝐴(−1, −3, −4) 𝐵(4, −2, −7) 𝐶 (2,3, −8)

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Vamos a encontrar los cosenos directores de los lados  𝐵𝐴 𝑦  𝐵𝐶 para determinar el ángulo 𝜃1 , para facilitar el procedimiento, primero obtenemos sus distancias:  = √(−1 − 4)2 + (−3 + 2)2 + (−4 + 7)2 𝐵𝐴  𝐵𝐴 = √(−5)2 + (−1)2 + (3)2  𝐵𝐴 = √25 + 1 + 9  𝐵𝐴 = √35

 𝐵𝐶 = √(2 − 4)2 + (3 + 2)2 + (−8 + 7)2  𝐵𝐶 = √(−2)2 + (5)2 + (−1)2  𝐵𝐶 = √4 + 25 + 1  𝐵𝐶 = √30

 𝐵𝐴

−5 𝑥1 − 𝑥2 −1 − 4 = = 𝑑 √35 √35 𝑦1 − 𝑦2 −3 + 2 −1 𝑐𝑜𝑠𝛽1 = = = 𝑑 √35 √35 𝑧1 − 𝑧2 −4 + 7 3 𝑐𝑜𝑠𝛾1 = = = 𝑑 √35 √35

𝑐𝑜𝑠𝛼1 =

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 𝐵𝐶

𝑥3 − 𝑥2 2 − 4 −2 = = 𝑑 √30 √30 5 3 + 2 𝑦3 − 𝑦2 = = 𝑐𝑜𝑠𝛽2 = 𝑑 √30 √30 𝑧3 − 𝑧2 −8 + 7 −1 𝑐𝑜𝑠𝛾2 = = = 𝑑 √30 √30 𝑐𝑜𝑠𝛼2 =

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Cálculo B DFM-UASLP Entonces:

cos 𝜃1 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2 cos 𝜃1 = (

−5

−1 ) 3 −1 5 −2 ) ( √30 )+( )+( )( )( √35 √30 √35 √35 √30 cos 𝜃1 =

10 − 5 − 3

cos 𝜃1 =

√35√30 2

√35√30

𝜃1 = 86.46°  para Vamos a encontrar los cosenos directores de los lados  𝐴𝐵 𝑦  𝐴𝐶 determinar el ángulo 𝜃2 , para facilitar el procedimiento, primero obtenemos sus distancias:   = √35 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴  𝐴𝐶 = √(2 + 1)2 + (3 + 3)2 + (−8 + 4)2  𝐴𝐶 = √(3)2 + (6)2 + (−4)2 𝐴𝐶  = √9 + 36 + 16  = √61 𝐴𝐶

 𝐴𝐵

𝑥2 − 𝑥1 4 + 1 5 = = 𝑑 √35 √35 𝑦2 − 𝑦1 −2 + 3 1 𝑐𝑜𝑠𝛽1 = = = 𝑑 √35 √35 𝑧2 − 𝑧1 −7 + 4 −3 𝑐𝑜𝑠𝛾1 = = = 𝑑 √35 √35 𝑐𝑜𝑠𝛼1 =

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 𝐴𝐶

𝑥3 − 𝑥1 2 + 1 3 = = 𝑑 √61 √61 𝑦3 − 𝑦1 3 + 3 6 𝑐𝑜𝑠𝛽2 = = = 𝑑 √61 √61 𝑧3 − 𝑧1 −8 + 4 −4 𝑐𝑜𝑠𝛾2 = = = 𝑑 √61 √61 𝑐𝑜𝑠𝛼2 =

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Cálculo B DFM-UASLP Entonces:

cos 𝜃2 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2 cos 𝜃2 = (

5

−4 ) −3 1 6 3 ) ( √61 )+( )+( )( )( √35 √61 √35 √61 √35 cos 𝜃2 =

15 + 6 + 12

cos 𝜃2 =

√35√61 33

√35√61

𝜃2 = 44.42°

Y por último encontramos el valor del tercer ángulo interior: 𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 = 180°

𝜃3 = 180° − 86.46° − 44.42° 𝜃3 = 49.12°

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Tarea 1. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de la siguiente esfera: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6𝑦 + 4𝑧 + 14 − 2𝑥 = 0 2. Encontrar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia del plano 𝑦𝑧 sea el doble que al correspondiente al punto (4, −2,1) 3. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidisten de los puntos fijos 𝑃1 (1, −2,3) 𝑦 𝑃2 (−3,4,2) 4. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia del punto fijo que es (−2,3,4) sea el doble de la correspondiente al punto (3, −1, −2) 5. Encontrar la ecuación de la esfera de radio 5 y centro (−2,3,5) 6. Las componentes de dos rectas son [2, −1,4] 𝑦 [−3,2,2]. Demostrar que son perpendiculares. 7. Encontrar los números directores de una recta perpendicular a las 2 rectas determinadas por los puntos: 𝐴(2,3, −4) 𝐶 (−1,4,2) 𝑙1 → 𝑙2 → 𝐵(−3,3, −2) 𝐷(3,5,1)

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