05 - Teoremas de la Función Inversa y de la Función Implícita PDF

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Tema de CDI

Apuntes usados por Antonio Jimenez y, en general, el contenido de la asignatura independientemente del profesor....

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TEMA 5: TEOREMAS DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

Í NDICE 1. 2. 3. 4.

Difeomorfismos Teorema de diferenciación de la función inversa Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita

1 2 4 6

Dedicamos este tema a dos de los resultados más importantes del Cálculo Diferencial: el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita. Ambos teoremas responden al principio según el cual toda función derivable hereda localmente las propiedades de su derivada. Además, cada uno de ellos puede probarse a partir del otro. 1.

D IFEOMORFISMOS

Definición 1.1. Sean A y B subconjuntos abiertos no vacíos de RN . Se dice que una aplicación f : A → B es un difeomorfismo, aplicación regular o cambio de variable si f es biyectiva y tanto f como su inversa f −1 son diferenciables. Observación 1.2. Si f : A → B es un difeomorfismo, entonces f −1 ◦ f = IA y f ◦ f −1 = IB por ser f biyectiva. Usando la regla de la cadena, para cada x ∈ A se cumple: Df −1 (f (x)) ◦ Df (x) = D(f −1 ◦ f )(x) = DIA (x) = IRN ,

Df (x) ◦ Df −1 (f (x)) = D(f ◦ f −1 )(f (x)) = DIB (f (x)) = IRN .

Por tanto la aplicación lineal Df(x) : RN → RN es inversible (equivalentemente, Jf (x) 6= 0) y Df −1 (f (x)) = Df (x)−1 . Usando las matrices jacobianas, esta igualdad de aplicaciones lineales puede expresarse en la forma 

′  −1 . f −1 (f (x)) = f ′ (x)

Ejemplo 1.3. Sea A = R+ ×] − π, π[⊂ R2 y sea g : A → R2 la función dada por g(ρ, θ ) = (ρ cos θ, ρ sen θ),

∀(ρ, θ ) ∈ A.

Entonces g es un difeomorfismo de A en B = R2 \{(x, 0) : x ≤ 0}. Por tanto, dado (x, y) ∈ B existe un único punto (ρ, θ) ∈ A tal que (x, y) = g (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ). Se dice que (ρ, θ) son las coordenadas polares de (x, y). 1

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2.

T EOREMA DE DIFERENCIACIÓN

DE LA FUNCIÓN INVERSA

Este teorema nos informa de la relación existente entre la diferenciabilidad de una función en un punto y la diferenciabilidad de su inversa, supuesto que exista, en la imagen de dicho punto.

Teorema 2.1. (Teorema de diferenciación de la función inversa). Sean A y B subconjuntos abiertos de RN , a ∈ A y f : A → B una aplicación biyectiva y diferenciable en a. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f −1 es continua en f (a) y Jf (a) 6= 0. (2) f −1 es diferenciable en f (a). En caso afirmativo, Df −1 (f (a)) = Df (a)−1 .

Demostración: Supongamos que se cumple (1). Como Jf(a) 6= 0, entonces Df(a) es inversible,  −1  −1  Df(a) 6= 0. Como f es diferenciable en a, existe δ > 0 tal que si x ∈ A y luego existe Df(a) y kx − ak < δ, entonces kf (x) − f (a) − Df(a)(x − a)k ≤

kx − ak , 2 kDf(a)−1 k

y por tanto

kf (x) − f (a)k = kf (x) − f (a) − Df(a)(x − a) + Df(a)(x − a)k

≥ kDf(a)(x − a)k − kf (x) − f (a) − Df(a)(x − a)k kx − ak 2 kDf(a)−1 k kx − ak kx − ak − ≥ kDf(a)−1 k 2 kDf(a)−1 k kx − ak , = 2 kDf(a)−1 k

≥ kDf(a)(x − a)k −

donde hemos usado que

    kx − ak = Df (a)−1 (Df (a)(x − a))  ≤ Df(a)−1  kDf (a)(x − a)k . Para probar que f −1 es diferenciable en b = f (a) y Df −1 (b)= Df (a)−1 , sea {yn } una sucesión de puntos de B, distintos de b, convergente a b. Entonces {xn } = f −1 (yn ) es una sucesión de puntos de A, distintos de a, convergente al punto a ya que f −1 es continua en b. Podemos suponer, sin pérdida de

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generalidad, que kxn − ak < δ para todo n ya que {xn } → a. Entonces   −1 f (yn ) − f −1 (b) − Df (a)−1 (yn − b) 

kyn − bk   xn − a − Df(a)−1 (f (xn ) − f (a))  = kyn − bk   xn − a − Df(a)−1 (f (xn ) − f (a) − Df(a)(xn − a) + Df(a)(xn − a))  = kyn − bk   xn − a − Df(a)−1 (f (xn ) − f (a) − Df(a)(xn − a)) − (xn − a)  = kyn − bk   −1 Df (a) (f (xn ) − f (a) − Df (a)(xn − a))  = kyn − bk   kf (x ) n − f (a) − Df(a)(xn − a)k kxn − ak ≤ Df(a)−1  kxn − ak kyn − bk   kf (x ) − f (a) − Df(a)(x − a)k 2 n n ≤ 2 Df(a)−1  . kxn − ak Como f es diferenciable en a, tenemos   kf (xn ) − f (a) − Df(a)(xn − a)k →0 kxn − ak y por tanto ( ) f −1 (yn ) − f −1 (b) − Df(a)−1 (yn − b) → 0. kyn − bk

Esto prueba que f −1 es diferenciable en b = f (a) y Df −1 (b) = Df (a)−1 . Recíprocamente, supongamos que f −1 es diferenciable en b = f (a). Entonces f −1 es continua en b. Además, usando la regla de la cadena, de las igualdades f −1 ◦ f = IA y f ◦ f −1 = IB , se deduce que Df −1 (b) ◦ Df (a) = DIA (a) = IRN y Df (a) ◦ D−1 f (b) = DIB (b) = IRN . Por tanto Df (a) es inversible, luego Jf(a) 6= 0, y Df −1 (b) = Df (a)−1 .  Observación 2.2. La condición Jf (a) 6= 0 es necesaria para que f −1 sea diferenciable en f (a), pero no lo es para que f posea inversa. Por ejemplo, la función dada por f (x) = x3 para todo x ∈ R es diferenciable en R con f ′ (x) = 3x2 para√todo x ∈ R. En particular, J f (0) = f ′ (0) = 0 y, sin embargo, f posee inversa, la función f −1 (x) = 3 x para todo x ∈ R. Observe que f −1 no es diferenciable en f (0) = 0. Como consecuencia del teorema anterior tenemos: Corolario 2.3. Sean A y B subconjuntos abiertos de RN y f una aplicación de A en B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f es un difeomorfismo. (2) f es un homeomorfismo diferenciable en A con Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Demostración: Si f es un difeomorfismo, entonces f es biyectiva y diferenciable y su inversa f −1 es diferenciable. Entonces Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A por el teorema 2.1. Observe que f y f −1 son continuas. Por tanto f es un homeomorfismo diferenciable.

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Recíprocamente, si f satisface las condiciones de (2), entonces f es biyectiva y diferenciable, su inversa f −1 es continua y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Se sigue por el teorema 2.1 que f −1 es diferenciable, luego f es un difeomorfismo. 

3.

T EOREMA DE LA FUNCIÓN

INVERSA

Sea una función f = (f1 , . . . , fN ) : R → R . Si f es inyectiva, su función inversa f −1 puede determinarse explícitamente si se sabe resolver el sistema  y1 = f1 (x1 , . . . , xN )  ... ... ...  yN = fN (x1 , . . . , xN ) N

N

y despejar las xi en función de las yj . Pero esto suele ser difícil. Sería deseable encontrar un criterio que permitiera asegurar, por una parte, que f −1 existe (al menos localmente) y por otra, que hereda las buenas propiedades de la función f (continuidad, diferenciabilidad, etc.). Este criterio es aportado por el siguiente resultado.

Teorema 3.1. (Teorema de la función inversa). Sea A un subconjunto abierto de RN , a ∈ A, n ∈ N∪{∞} y f : A → RN una función de clase C n en A. Supongamos que Jf (a) 6= 0. Entonces existen un entorno abierto U de a en A y un entorno abierto V de f (a) en RN tales que V = f (U ) y la función f |U : U → V tiene una inversa (f |U )−1 : V → U de clase C n en V y se verifica que Df −1 (f (x)) = Df (x)−1 para todo x ∈ U . Observaciones 3.2. (1) Sea A un subconjunto abierto de RN , a ∈ A y f : A → RN una aplicación. Se dice que f es localmente inversible en el punto a si existe un r > 0 tal que f es inyectiva en B(a, r). Teorema de la inyectividad local: Si f ∈ C 1 (A, RN ) y Jf (a) 6= 0, entonces f es localmente inversible en a por el teorema de la función inversa. (2) La igualdad que se cumple en el teorema de la función inversa: Df −1 (f (x)) = Df (x)−1 ,

∀x ∈ U,

se puede escribir, usando matrices jacobianas, en la forma: (f −1 )′ (f (x)) = (f ′ (x))−1 ,

∀x ∈ U.

(3) El teorema de la función inversa es esencialmente local. Por ejemplo, la función f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (ex cos y, ex sen y) tiene una función inversa local de clase C ∞ en un entorno de cada punto de R2 (observe que f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) y Jf (x, y) = e2x 6= 0 para todo (x, y) ∈ R2 ); pero no tiene una función inversa global en R2 ya que no es inyectiva (note que f (x, y) = f (x, y + 2kπ) para todo número entero no nulo k ). (4) La función f : R3 → R3 definida por f (x, y, z) = (ex , sen(x + y), ez ) tiene función inversa de clase C ∞ en un entorno del punto (0, 0, 0). Basta comprobar que f ∈ C ∞ (R3 , R3 ) y Jf (x, y, z) = ex+z cos(x+y) para todo (x, y, z) ∈ R3 lo que, en particular, nos da J f (0, 0, 0) = 1 6= 0. Sin embargo, existen puntos de R3 donde no se cumplen las hipótesis del teorema de la función. Concretamente, en cada punto (x, y) ∈ R2 que cumpla que x + y = π/2 + kπ para algún k ∈ Z.

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(5) Las condiciones que impone el teorema de la función inversa para que una función sea localmente inversible en un punto son suficientes, pero no son necesarias. Por ejemplo, la función f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (x3 , y 5 ) no verifica las hipótesis del teorema de la función inversa en el punto (0, 0) ya que Jf (x, y) = 15x2 y4 para todo (x, y) ∈ R2 lo que nos da Jf (0, 0) = 0. En cambio, es localmente inversible en (0, 0). De hecho, f 2 2 2 es (globalmente) √ √inversible en R . Basta comprobar que la función g : R → R definida por g(x, y) = ( 3 x, 5 y) es la inversa de f . Ejemplo 3.3. Sea g : R3 → R3 definida por g(x, y, z) = (e2y + e2z , e2x − e2z , x − y). (1) Pruebe que g es de clase C 1 en R3 y posee función inversa de clase C 1 en un entorno de cada punto de R3 . (2) Pruebe que g es inyectiva, justifique que g no es sobreyectiva y determine la imagen de g . Ejemplo 3.4. Estudie si la función h : R3 → R3 definida por h(x, y, z) = (y − z 2 , z − x2 , x − y2 ) tiene inversa de clase C ∞ en un entorno de (1, 0, −1) y en caso afirmativo determine la diferencial de dicha inversa en h(1, 0, −1). Definición 3.5. Sean A y B subconjuntos abiertos de RN . Se dice que una aplicación f : A → B es abierta si la imagen de cualquier subconjunto abierto de A es un subconjunto abierto de B . Es fácil probar que si f : A → B es una aplicación biyectiva, entonces f : A → B es abierta si, y sólo si, f −1 : B → A es continua. Como consecuencia del teorema de la aplicación inversa, obtenemos el siguiente resultado. Corolario 3.6. (Teorema de la aplicación abierta). Sea A un subconjunto abierto de RN y f ∈ C 1 (A, RN ) con Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Entonces f es abierta. Demostración: Sea G un subconjunto abierto de A. Como A es abierto en RN , entonces claramente G es abierto en RN . Queremos probar que f (G) es abierto en RN , es decir, que para cada a ∈ G existe un ra > 0 tal que B(f (a), ra) ⊂ f (G). Para ello, aplicamos el teorema de la función inversa a la función f |G y al punto a. Es posible porque J f|G (a) = J f (a) 6= 0. Por tanto existen un entorno abierto U de a en G y un entorno abierto V de f (a) en RN tal que V = f (U ). Luego existe un ra > 0 tal que B(f (a), ra) ⊂ V y por tanto B(f (a), ra) ⊂ f (G), como queríamos probar.  Si f es inyectiva (globalmente), entonces f es un difeomorfismo (global) sobre su imagen. Más concretamente, Corolario 3.7. Sea A un subconjunto abierto de RN y f ∈ C 1 (A, RN ). Supongamos que f es inyectiva. Entonces f es un difeomorfismo de A sobre su imagen si, y sólo si, Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Demostración: Para probar la condición necesaria, lea la observación 1.2. Probemos la condición suficiente. Supongamos entonces que Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Por el corolario 3.6, f : A → RN es abierta. Es fácil comprobar que f : A → f (A) también lo es (en este caso se suele decir que f es abierta sobre su imagen). Como f es inyectiva, entonces f : A → f (A) es biyectiva y abierta.

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Luego f −1 : f (A) → A es continua. Además, f : A → f (A) es diferenciable (en particular, continua) y Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Por el corolario 2.3, f : A → f (A) es un difeomorfismo.  Finalmente, si f es biyectiva, tenemos: Corolario 3.8. Sean A y B subconjuntos abiertos de RN y sea f : A → B una aplicación biyectiva de clase C 1 . Entonces f es un difeomorfismo si, y sólo si, Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ A. 4.

T EOREMA DE LA FUNCIÓN

IMPLÍCITA

Definición 4.1. Sean A ⊂ RN , B ⊂ RM y f : A × B → RM . Se dice que la ecuación f (x, y) = 0 define a y como función implícita de x en A × B si para cada punto x ∈ A, existe un único punto y ∈ B tal que f (x, y) = 0. Con otras palabras, existe una aplicación ϕ : A → B tal que f (x, ϕ(x)) = 0 para todo x ∈ A. Ejemplos 4.2. (1) Sea f : R2 → R la función definida por f (x, y) = x + y − 1. Para cada x ∈ R, el número real y = −x + 1 satisface la ecuación f (x, y) = 0. Además, este y es el único número real que lo hace. Por tanto la ecuación f (x, y) = 0 define a y como función implícita de x en R2 . De hecho, esta función es y = ϕ(x) donde ϕ : R → R viene dada por ϕ(x) = −x + 1. (2) Sea f : R2 → R la función definida por f (x, y) = x2 + y2 − 1. La ecuación f (x, y) = 0 no define a y como función implícita de x en R2 ya que dado x ∈ R, se tiene: a) Si |x| > 1, no existe ningún número real y que satisfaga la ecuación f (x, y) = 0. b) Si |x| = 1, y = 0 es el único número real que cumple 0. √ que f (x, y) = √ c) Si |x| < 1, existen dos números reales, y = 1 − x2 e y = − 1 − x2 , para los que f (x, y) = 0. Sin embargo, la ecuación f (x, y) = 0 define a y como función implícita de x en el conjunto [−1, 1]×[0, +∞). Concretamente, y = ϕ(x) donde ϕ : [−1, 1] → [0, +∞) es la función definida √ por ϕ(x) = 1 − x2 para todo x ∈ [−1, 1]. También lo hace √ en el conjunto [−1, 1] × (−∞, 0] tomando ahora ϕ : [−1, 1] → (−∞, 0] definida por ϕ(x) = − 1 − x2 . El ejemplo anterior pone de manifiesto que a veces si restringimos el dominio de f es posible abordar con éxito el problema de existencia y unicidad de una función definida implícitamente por una ecuación. El teorema de la función implícita da condiciones suficientes para que esto ocurra. Teorema 4.3. (Teorema de la función implícita). Sea A un subconjunto abierto de RN × RM , (a, b) ∈ A, n ∈ N ∪ {∞} y f : A → RM una función de clase C n en A. Supongamos que f (a, b) = 0 y ∂f1 ∂y1 (a, b)

···

.. . ∂fM (a, b) · · · ∂y1

∂f1 ∂yM

(a, b) .. .

∂fM ∂yM (a, b)

6= 0.

Entonces existen un entorno abierto V de b en RM tales que U × V ⊂   U de a en RN y un entorno abierto   A y una única función ϕ : U → V tal que f (x, ϕ(x)) = 0 para todo  x ∈ U . De hecho,     {(x, y) ∈ U × V  : f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ U × V : y = ϕ(x)} .  

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En particular, ϕ(a) = b. Además, ϕ es de clase C n en U . Ejemplo 4.4. (1) Pruebe que la ecuación x+y +z +cos(xyz) = 0 define a z como función implícita de clase C ∞ de x e y en un entorno abierto del punto (0, 0, −1) en R3 . ∂ϕ (2) Sea ϕ dicha función implícita definida en un entorno abierto U de (0, 0) en R2 . Calcule ∂x (0, 0) ∂ϕ y ∂y (0, 0). Ejemplo 4.5.

(1) Demuestre que el sistema de ecuaciones 

x+y+z+u =2 x + 2y + z 3 + u4 = 2

define a z y a u como funciones implícitas de x e y de clase C ∞ en un entorno abierto del punto (0, 0, 1, 1) en R4 . (2) Sean z = ϕ1 (x, y) y u = ϕ2 (x, y) dichas funciones implícitas definidas en un entorno abierto U de (0, 0) en R2 . Pruebe que ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : U → R2 es localmente inversible en (0, 0).

Ejemplo 4.6. (1) Justifique la existencia de una función ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) de clase C ∞ de un abierto U 2 de R en R2 verificando que ϕ(1, −1) = (1, 1) y x2 + y2 − 2ϕ1 (x, y)ϕ2 (x, y ) = 0, x + y3 + ϕ1 (x, y)3 − ϕ2 (x, y )3 = 0 3

para todo (x, y) ∈ U . (2) Calcule Dϕ(1, −1) y

∂ 2 ϕ1 (1, −1). ∂x2

Ejemplo 4.7. (1) Justifique la existencia de una función ϕ de clase C ∞ definida en un entorno abierto U ⊂ R de 0 con valores en R tal que 1 − ϕ(x)ex + xeϕ(x) = 0,

∀x ∈ U.

(2) Obtenga el polinomio de Taylor de segundo orden de ϕ en x = 0. Ejemplo 4.8. Pruebe que la ecuación y3 + x2 y = 10 define implícitamente a y como función de clase C ∞ de x en un entorno abierto del punto (3, 1) y calcule el límite ϕ(x) − 1 + x−3 2 . x→3 (x − 3)2 l´ım

Ejemplo 4.9. Determine la derivada direccional de la función z = ϕ(x, y) definida implícitamente por la ecuación x tg y − zez = 0 en el punto (0, π/4, 0) en la dirección del vector (2, 1).

Ejemplo 4.10. (1) Pruebe que la ecuación xyz + ey−z − e−1 = 0 define a z como función implícita ∞ de clase C de (x, y) en un entorno abierto del punto (−e−1 , 0, 1). (2) Sea ϕ dicha función implícita definida en un entorno abierto U del punto (−e−1 , 0) en R2 . Estudie si ϕ alcanza algún tipo de extremo relativo en dicho punto....