Teoremas de Gauss y de Stokes PDF

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Resumen de teoremas de Gauss y Stokes...

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Análisis Matemático II FRBA - UTN Z2041 – 1° C 2018 Prof. Silvia Seminara

Operadores vectoriales: Al estudiar campos escalares diferenciables utilizamos por primera vez el operador “nabla”: ∇(. ) = (

𝜕(. ) 𝜕(. ) 𝜕(. ) , , ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Al aplicarlo a un campo escalar 𝐶 1 , 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), obtenemos su gradiente, que nos permite calcular la derivada direccional en cada dirección 𝑣: ∇𝑓 = (

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 , , ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑓 ′ (𝑥0 ; 𝑣) = ∇𝑓(𝑥0 ). 𝑣

Esta derivada representa la rapidez con que cambia el campo escalar en cada dirección del espacio.

Observemos que, dado el campo escalar diferenciable 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), su gradiente es un nuevo campo, esta vez vectorial, con dominio e imagen contenidos en 𝑅 3 : 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∇𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧)) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

También se lo suele indicar 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓).

El operador nabla también puede aplicarse a campos vectoriales 𝐶 1 de dos maneras diferentes. Consideremos 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 3 → 𝑅 3 un campo vectorial 𝐶 1 en su dominio 𝐷, que consideraremos abierto.

Sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓3 (𝑥, 𝑦, 𝑧)), donde hemos puesto en evidencia las componentes. I) Se define la divergencia del campo vectorial del siguiente modo: ∇. 𝑓 =

𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Se trata esta vez de un campo escalar, definido a partir del campo vectorial 𝑓.

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También se lo suele indicar 𝑑𝑖𝑣(𝑓) y veremos que tiene relación con el flujo del campo vectorial, y con la existencia de fuentes y sumideros de las líneas de campo (esto es, puntos donde se originan y puntos donde terminan estas líneas). Notemos que la divergencia de un campo vectorial coincide con la traza de su matriz jacobiana, es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal. Un campo con divergencia nula se denomina solenoidal.

II) También se define el rotor del campo vectorial del siguiente modo:

𝑖 𝑗 𝑘 𝜕𝑓3 𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 𝜕𝑓3 𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 𝜕(. ) 𝜕(. ) 𝜕(. ) ∇ × 𝑓 = | | = ( 𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 , 𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 , 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑓3 𝑓 𝑓1 2

Se trata esta vez de un nuevo campo vectorial, definido a partir de 𝑓.

Se lo suele indicar también 𝑟𝑜𝑡(𝑓) y tiene relación con los posibles remolinos, vórtices o torbellinos que presenten las líneas de campo de 𝑓.

Notemos que en el rotor del campo aparecen los elementos de la matriz jacobiana que están fuera de la diagonal. En el caso de un campo conservativo - que tiene matriz jacobiana simétrica - el rotor resultará nulo. Un campo con rotor nulo se dice irrotacional. Todo campo conservativo es, entonces, irrotacional.

Teoremas integrales Enunciaremos ahora dos teoremas que involucran los operadores vectoriales recién definidos y relacionan distintos tipos de integrales.

Teorema de Gauss (o de la divergencia)

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 3 → 𝑅 3 un campo vectorial 𝐶 1 en su dominio y sea 𝑉 ⊂ 𝐷 un sólido simple y acotado, contenido en el dominio del campo, al igual que su frontera 𝜕𝑉, suave o suave a trozos y orientada con normal exterior al sólido. Entonces:

∬ 𝑓. 𝑑𝜎 𝑓

𝜕𝑉

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𝑉 ∇. 𝑓𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =∭

el sólido 𝑉 con el flujo saliente del campo a través de la frontera del sólido.

Como vemos, el teorema relaciona la integral triple de la divergencia del campo en que el balance entre el líquido que entra y el que sale a través de la frontera de 𝑉 coincide con lo que se ha originado en las fuentes y/o se ha perdido en los sumideros (Si pensamos en el campo de velocidades de un fluido, el teorema dice básicamente

que se encuentran en el interior del sólido).

Teorema de Stokes (o del rotor)

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 3 → 𝑅 3 un campo vectorial 𝐶 1 en su dominio y sea 𝑆 ⊂ 𝐷 una superficie orientable suave (o suave a trozos) cuyo borde es una curva cerrada simple y suave (o suave a trozos) 𝐶, orientada positivamente(*) con respecto a la normal a la superficie. Entonces, ∮ 𝑓. 𝑑𝑠 = ∬ ∇ × 𝑓. 𝑑𝜎 𝐶

𝑆

* La curva estará orientada positivamente con respecto a la normal si un observador que camine sobre

( )

la curva en ese sentido, deja la superficie a su izquierda, y su cabeza está apuntando en el mismo sentido que la normal elegida para la superficie.

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Como vemos, el teorema relaciona la circulación del campo a lo largo del borde de 𝑆 con el flujo del rotor a través de esa superficie.

Observemos que la superficie 𝑆 podría ser cualquier superficie suave que tenga borde 𝐶. Se verá que esto puede simplificar los cálculos.

Si fuera 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓1 (𝑥, 𝑦), 𝑓2 (𝑥, 𝑦 ), 0), y la superficie 𝑆 fuera una superficie en el plano 𝑧 = 0, el Teorema de Stokes se reduce al de Green. En efecto: en ese caso sería 𝑖 𝜕(. ) ∇ × 𝑓 = | 𝜕𝑥 𝑓1 (𝑥, 𝑦)

𝑗 𝑘 𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 𝜕(. ) 𝜕(. ) | = (0,0, 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ) 𝜕𝑦 𝜕𝑧 0 𝑓2 (𝑥, 𝑦)

y la normal a la superficie sería la normal al plano 𝑥𝑦 por lo que resultaría ∮ 𝑓. 𝑑𝑠 = ∬ ( 𝐶

𝑆

𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 − ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

donde 𝐶 sería una curva en el plano, borde de 𝑆, recorrida de modo que deje 𝑆 a izquierda del observador. 󰇍 𝑆 =(0,0,1) 𝑁

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Ejemplos de aplicación:

1.- Hallar el flujo del campo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑦𝑧), 𝑒 𝑥𝑧 − 𝑦, 3𝑧2 + ln(1 + 𝑥 2 𝑦 2 )) a través de la superficie esférica de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2 = 9, orientada con la normal hacia el interior de la esfera. Obtener “a mano” el flujo que solicita el enunciado supondría un trabajo de cálculo considerable: evaluar el campo sobre la superficie, efectuar el producto escalar con la normal, y calcular la integral o integrales dobles resultantes, según la representación elegida para la superficie. Sin embargo, recurriendo al Teorema de Gauss, los cálculos se simplifican notablemente. El campo es 𝐶 1 (𝑅 3 ) y la superficie esférica (que es suave) encierra un sólido acotado simple, de modo que se está en condiciones de aplicar el teorema si se considera la normal orientada hacia el exterior. Luego bastará con cambiar el signo del resultado pues se solicita el flujo hacia el interior de la esfera. La divergencia del campo es 𝜕(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧)) 𝜕(𝑒 𝑥𝑧 − 𝑦) 𝜕(𝑧3 + ln(1 + 𝑥 2 𝑦 2 ))  = 3𝑧 2 + + ∇. 𝑓 = 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Entonces ∬ 𝑓. 𝑑𝜎 = ∭ 6z𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝜕𝑉𝑒𝑥𝑡

=

𝑉

√9−𝑥 2 −𝑦2 ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦[𝑧 3 ]| −√9−𝑥 2 −𝑦 2 𝑃𝑥𝑦

𝑃𝑥𝑦

2𝜋

3

√9−𝑥 2 −𝑦 2

∫

−√9−𝑥 2 −𝑦 2

3𝑧2 𝑑𝑧 = 3

= ∫ 𝑑𝜃 ∫ 2𝜌 (√9 − 𝜌2 ) 𝑑𝜌 = 0

5

0

3

2(√9 − 𝜌2 ) 972 = 2𝜋 [− ]| = 𝜋 5 5 0

Por lo tanto el flujo solicitado, con normal entrante, es −

972 5

𝜋.

2.- Calcular la circulación del campo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒 𝑥 + 𝑧, cos(𝑦) + 𝑥, 𝑥 − 𝑦 + 𝑒 cos(𝑧)) a lo largo del borde de la superficie 𝑆: 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 con 𝑧 ≤ 2. Indique en un gráfico el sentido que consideró para recorrer la curva.

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La superficie es un trozo de paraboloide cóncavo hacia arriba, con vértice en el 2 𝑦2 = 2 origen, y altura 2. El borde en cuestión es la circunferencia 𝐶: {𝑥 + 𝑧=2

Calcular la circulación parametrizando la curva, evaluando el campo sobre ella y realizando el producto escalar con el vector tangente, para luego integrar, requiere un considerable esfuerzo de cálculo. Sin embargo, como el campo es 𝐶 1 (𝑅 3 ) y la superficie es orientable y suave, y con borde suave, podremos emplear el Teorema de Stokes. El rotor es 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕(. ) 𝜕(. ) 𝜕(. ) ∇ × 𝑓 = | |= 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑒 𝑥 + 𝑧 cos(𝑦) + 𝑥 𝑥 − 𝑦 + 𝑒 cos(𝑧) =(

𝜕(𝑥 − 𝑦 + 𝑒 cos(𝑧) ) 𝜕 (cos(𝑦) + 𝑥) 𝜕(𝑒 𝑥 + 𝑧) 𝜕(𝑥 − 𝑦 + 𝑒 cos(𝑧) ) 𝜕(cos(𝑦) + 𝑥) 𝜕(𝑒 𝑥 + 𝑧) − , − )= − , 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥

= (−1,0,1)

que, en este caso particular, resulta un vector constante. La circulación a lo largo de 𝐶 se puede evaluar, entonces, calculando el flujo del rotor a través de la superficie cuyo borde es 𝐶. Pero observemos que 𝐶 no sólo es borde del trozo 𝑆 de paraboloide que aparece en el enunciado , sino también del trozo 𝑇 de plano 𝑧 = 2 interior al paraboloide, cuya normal es (0,0,1). La orientación positiva de la curva es la que se ve en el gráfico:

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T: C

S

𝑃𝑥𝑦

√2

El Teorema de Stokes permite escribir ∮ 𝑓. 𝑑𝑠 = ∬ ∇ × 𝑓. 𝑑𝜎 = ∬ ∇ × 𝑓. 𝑑𝜎 = ∬ (−1,0,1). (0,0,1)𝑑𝑥𝑑𝑦= ∬ 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐶

𝑆

en el dibujo, es 2𝜋.

𝑇

𝑃𝑥𝑦

= Á𝑟𝑒𝑎(𝑃𝑥𝑦) = 𝜋(√2)2 = 2𝜋

𝑃𝑥𝑦

por lo que la circulación pedida, con la curva orientada en el sentido que se muestra...