Docsity foro eliminacion de gauss y gauss jordan PDF

Preview

Summary

Docsity foro eliminacion de gauss y gauss jordan...

Description

Foro Eliminacion de Gauss y Gauss Jordan Álgebra Lineal Universidad Iberoamericana (UIA) 8 pag.

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes ([email protected])

DOS INQUIETUDES Y DOS APORTES (COMENTARIO) SOBRE GAUSS JORDÁN. Importante: Antes de intentar resolver un sistema de ecuaciones debemos tener en cuenta que el sistema debe estar ordenado de la forma: X ± Y ± Z = (termino independiente) En caso de no estar ordenado, se debe ordenar. APORTES: El método Gauss – Jordán, recibe este nombre en honor al matemático, astrónomo, y físico alemán Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick, Alemania - 23 de febrero de 1855, Gotinga, Alemania) y al matemático geodesista alemán Wilhelm Jordán (1 de marzo de 1842, Ellwangen, Alemania - 17 de abril de 1899, Hannover, Alemania). Carl Friedrich Gauss contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Wilhelm Jordán realizo trabajos de topografía en Alemania y África. Entre los matemáticos es recordado por el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán, mejorando la estabilidad del algoritmo para que pudiera aplicarse para minimizar el error al cuadrado en la suma de una serie de observaciones topográficas. No debemos confundir a Wilhelm Jordán con el matemático francés Camille Jordán (teorema de la curva de Jordán), ni con el físico alemán Pascual Jordán (álgebras de Jordán) Wilhelm Jordán (geodesista) - https://es.qaz.wiki/wiki/Wilhelm_Jordan_(geodesist). El método Gauss – Jordán es una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss - Jordán se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada. Este método nos permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal, así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. Entonces, no es necesario utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss - Jordán, lo primero que se debe hacer es anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial. También se conoce como matriz aumentada.

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

Como siguiente paso, se procede a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

Para obtener el resultado deseado se debe aplicar a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Se debe tener en cuenta que las operaciones a realizar se les debe aplicar a todos los elementos de la fila. Se puede apreciar que en dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la siguiente forma:   

d1 = x d2 = y d3 = z

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones

Lo anotamos en forma matricial

Teniendo en cuenta la forma del sistema.

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

Podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en la matriz identidad. Procedemos a transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de la matriz identidad.

que

Podemos observar número de ecuaciones al número incógnitas que existirá solución.

el

es igual de por lo única

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

Finalizado el proceso, encontraremos en la cuarta columna los valores de las variables. La solución del sistema es: 

x=3



y = -1



z=0

PRUEBA: Se toman las 3 ecuaciones y se reemplazan los valores de la solución. 2X+3Y=3

X-2Y=5

3X+2Y=7

2(3)+3(-1) =3

3-2(-1)=5

3(3) +2(-1)=7

6-3=3

3+2=5

9-2=7

3=3

5=5

7=7

No da como resultado una igualdad verdadera (3=3, 5=5, 7=7). Lo que significa que la solución del sistema es correcta. INQUIETUDES: ¿Existe alguna manera de que no se presenten los errores de redondeo que se van propagando a medida que se van reemplazando las variables en las ecuaciones superiores cuando utilizamos el método Gauss – Jordán? ¿Qué es un sistema mal condicionado? Un sistema de ecuaciones se dice mal condicionado cuando pequeñas perturbaciones en los coeficientes del sistema producen grandes cambios en la solución exacta B. DOS INQUIETUDES Y DOS ELIMINACIÓN DE GAUSSIANA.

APORTES

(COMENTARIO)

SOBRE

APORTES El método de eliminación Gaussiana o método de eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado (Sistema en los que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior). Con el fin de facilitar el cálculo, se debe convertir el sistema en una matriz, en dicha matriz se colocan los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta vertical). Se puede obtener sistemas de ecuaciones equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes, si se cumple los siguiente:  Todos los coeficientes sean ceros.

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

 Dos filas sean iguales.  Una fila es proporcional a otra.  Una fila es combinación lineal de otras. CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al inicial. Ejemplo: 3x + 2y + z = -2

Se multiplica por 2

2x + 4y + 2z = -1

Se multiplica por 3

x + 3y + 2z = 3

Se multiplica 1

6x + 4y + 2z = -4 6x + 12y + 6z = -3 x + 3y + 2z = 3

2. Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación de este, el sistema resultante es equivalente al inicial. Ejemplo: A la segunda ecuación le restamos la primera. 3x + 6y + 4z = -2

3x + 6y + 4z = -2

2x + 4y + 2z = -1

-x + -2y + -2z = 1

x + 3y + 2z = 3

x + 3y + 2z = 3

3. (Este criterio es una fusión de los anteriores). Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación de este, multiplicada por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al inicial. Ejemplo: A la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por 3 y a la tercera le restamos la primera multiplicada por 2. x – y + 2z = -2 3x – 4y + 2z = 3 2x + 2y + 3z = 2

x – y + 2z = -2 - y – 4z = 9 4y – z = 6

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

4. Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema resultante es equivalente al inicial. Por consiguiente, antes de intentar resolver un sistema de ecuaciones lineales, es preciso suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar con facilidad (Ecuaciones proporcionales, ecuaciones nulas y ecuaciones que sean combinación lineal de otras). Ejemplo: 

La tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada por 3.

2x + y – 3z = -2

2x + y – 3z = -2

2x -4y + 2z = 3

2x -4y + 2z = 3

6x + 3y – 9z = -6

4x + 2y – 3z = 2

4x + 2y – 3z = 2 

Se suprime la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos.

2x + y – 3z = -2

2x + y – 3z = -2

0x + 0y + 0z = 0

6x + 3y – 9z = -6

6x + 3y – 9z = -6

4x + 2y – 3z = 2

4x + 2y – 3z = 2 

Se suprime la cuarta ecuación, que era la suma de las ecuaciones primera y segunda.

2x + y – 3z = -2

2x + y – 3z = -2

-x + 2y – 5z = 0

-x + 2y – 5z = 0

x + 5y – 9z = -6

x + 5y – 9z = -6

x + 3y – 8z = -2 Además, se debe tener muy presente, que, si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el sistema resultante es equivalente al inicial.

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

Si permutamos el orden de las incógnitas en todas las ecuaciones, el sistema tampoco cambia. Ejemplo: 

Se permuta el orden de la primera y tercera ecuación.

5x + 2y +3z = 6

2x + y + 2z = 2

4x – 4y + 3z = 1

4x – 4y + 3z = 1

2x + y + 2z = 2 

5x + 2y +3z = 6

Se permuta el orden de las incógnitas (x) y (y).

5x + 2y +3z = 6

2y + 5x +3z = 6

4x – 4y + 3z = 1

– 4y + 4x + 3z = 1

2x + y + 2z = 2

y + 2x + 2z = 2

Es importante saber aplicar los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, ya que esto facilitara la obtención de otro sistema equivalente al inicial, que sea más fácil de resolver. INQUIETUDES ¿En qué consiste la estrategia de pivoteo que se ha desarrollado para evitar la posibilidad de que ocurra una división entre cero durante el proceso en las fases de eliminación y sustitución? BIBLIOGRAFIA Victoria Pérez. 7 de julio de 2010. Método de Gauss-Jordán. https://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan

Recuperado

de:

Marta 4 junio 2019. Método de Gauss para resolver matrices. https://www.superprof.es/apuntes/ escolar/matematicas/algebralineal/sistemas/metodo-de-gauss.html Alfredo Pena Iglesias. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: CRITERIOS DE EQUIVALENCIA. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/equivalencia_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.htm Wikipedia.com. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss Wikipedia.com. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: leidy-johanna-paredes (asis adterrestre@coltrans com co)...