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Teoremas de Limites

Teorema 1. Limite de una funcion lineal. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces lim ( mx + b ) =ma+b x→ a

Teorema 2. Limite de una funcion constante. lim c=c x→ a

Teorema 3. Limite de la funcion identidad. lim x=a x→ a

Teorema 4. Limite de la suma y diferencia de dos funciones. f ( x ) =L y lim g( x)=M , entonces Si lim x→ a x→ a lim [ f ( x) ± g ( x ) ]=lim f ( x ) ± lim g ( x ) =L± M x→ a

x →a

x→a

Teorema 5. Limite de la suma y diferencia de n funciones. f 1 ( x ) =L1 , lim f 2 ( x ) =L2 , … , lim f n ( x )=Ln , entonces Si lim x→ a x→a x→ a lim [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± … ± f n (x )] =lim f 1 (x ) ± lim f 2 ( x ) ±… ± f n ( x )=L1 ± L2 ± …± Ln x→ a

x→ a

x→a

Teroma 6. Limite del producto de dos funciones. f ( x ) =L y lim g( x)=M , entonces Si lim x→ a x→ a lim [ f ( x ) ∙ g ( x )] =lim f ( x ) ∙ lim g ( x ) =L∙ M x→ a

Teorema 7. Limite del producto de n funciones.

x→a

x →a

f 1 ( x ) =L1 , lim f 2 ( x ) =L2 , … , lim f n ( x )=Ln , entonces Si lim x→ a x→a x→ a lim [ f 1 ( x ) ∙ f 2 ( x) ∙ … ∙ f n (x) ]=lim f 1 ( x ) ∙ lim f 2 ( x ) ∙ … ∙ f n ( x )=L1 ∙ L2 ∙ … ∙ L n x→ a

x→ a

x →a

Teorema 8. Limite de la n-ésima potencia de una funcion. Si

lim f ( x ) =L y n es cualquier numero entero positivo, entonces x→ a n

lim [ f ( x )] =L

n

x→ a

Teorema 9. Limite del cociente de dos funciones. f ( x ) =L Si lim x→ a lim x→ a

lim g( x)=M , entonces x→ a

y

lim f (x ) f ( x ) x→ a L = = si M ≠ 0 g(x ) lim g (x) M x →a

Teorema 10. Limite de la raiz n-ésima de una funcion. f ( x ) =L , entonces Si n es un numero entero positivo y lim x→ a

√ f (x )=¿ √ L n

n

lim ¿ x→ a

con la restriccion de que si n es par, L > 0. Casos especiales para los teoremas 9 y 10. Si a es cualquier numero real diferente de cero, entonces lim x→ a

1 1 = x a

Si a > 0 y n es un numero entero positivo, o si a ≤ y n es un numero entero impar, entonces

√ x=¿ √n a n

lim ¿

x→ a...