Capt-1-Limites - Explicación de limites de calculo diferencial PDF

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11 LÍMITE EN UN PUNTO1 LÍMITES LATERALES1 TEOREMAS SOBRE LÍMITES1 CÁLCULO DE LÍMITES1 LÍMITES AL INFINITO1 LÍMITES INFINITOS1 OTROS LÍMITES####### OBJETIVOS: Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites. 211 4.1 4.1 4.2 5.2 5.2 5....

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Moisés Villena Muñoz

Cap. 1 Límites de Funciones

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

LÍMITE EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS OTROS LÍMITES

OBJETIVOS: • • • •

Definir Límites. Realizar demostraciones formal es de límites. Describir gráficament amentee los límites. Calcular límites.

1

Moisés Villena Muñoz

Cap. 1 Límites de Funciones

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites. Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ej Ejemplo emplo 1 Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 .

f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x +1 en

Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

x y = 2x + 1 1.90 4.80 1.95 4.90 1.99 4.98 " 2.01 2.05 2.10

" 5.02 5.10 5.20

En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5

x →2

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:

Fig. 1.1

2

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Ej Ejemplo emplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia f ( x) =

2 x + 5x− 6 , en la cercanía de x = 1. x −1

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x

y =

0.90 0.95 0.99 " 1.01 1.05 1.10

x2 + 5 x − 6 x −1 6.90 6.95 6.99 " 7.01 7.05 7.10

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x 2

se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím

x →1

x + 5 x −6 = 7. x− 1

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por

otro

lado,

la

regla

de

correspondencia

f (x ) =

x 2 + 5x − 6 x− 1

es

equivalente

a

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?). Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:

Fig. 1.2

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

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Una función f tiene límite L en un punto x 0, si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable x se aproxima a tomar el valor x0 . Esto se denota como: lím f ( x) = L x→ x0

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que x→2

x + 5x − 6 = 7. x−1 2

lím x→1

Para

esto,

debemos

garantizar

formalmente

el

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un punto x 0 (que x está en torno a x 0 ), bastará con considerarla perteneciente a un intervalo o vecindad, centrado en cual denotaremos con la letra griega

x0,

de semiamplitud muy pequeña, la

∂ (delta). Es decir:

x 0− ∂ < x < x 0+ ∂ Transformando la expresión anterior tenemos: x0 − ∂ < x < x0 + ∂ x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0 − δ < x − x0 < δ x − x0 < δ

4

Restando "

x0 "

Empleando la definición de valor absoluto

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Y, para que

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x

no sea

x 0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂

¿POR

QUÉ?.

SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir:

L − ε < f (x ) < L + ε Transformando la expresión anterior tenemos: L −ε < f (x ) < L +ε − ε < f ( x) − L < +ε

Restando " L "

f ( x)− L < ε

Aplicando la definición de valor absoluto

Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera:

Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a x0 , denotado como lím f ( x ) = L , esto x→ x0

significa que para toda proximidad que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a x0 en el cual tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos garantice el acercamiento. Es decir:

( lím f ( x) = L) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x x →x0

0

< δ ⇒ f ( x) − L < ε

La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:

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Fig. 1.3

Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales.

Ejempl Ejemplo o1 Demostrar formalmente que lím( 2x + 1) = 5 . x→2

SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en 2 x+ 1con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2x + 1, tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ

⇒

(2 x + 1) − 5 < ε

En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:

(0 < x − 2 0, ∃δ > 0 tal que

0 < x −1 < δ

⇒

Ahora transformamos el antecedente:

( 0 < x − 1 < δ ) ⇒ 0 < x −1 + 7 − 7

Sumamos y restamos 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente)

0, ∃δ > 0 tal que 0 < x− 4 < δ

⇒

x− 2 0,∃∂ > 0 tal que x →3

0 < x − 3 < ∂ ⇒ 2x − 6 < ε

Ahora trabajando el antecedente:

(0 < x −3

< ∂)

⇒ 0 0 tal que

0 < 3 − x < ∂ ⇒ ( 3x − 3) − 6 0 tal que x →2 +

0 < x −2 < ∂ ⇒ ( x −1 ) −1 0, ∃∂ >0 tal que x →2 −

0 < 2 − x < ∂ ⇒ ( x +1) −3 0, ∃∂ >0 tal que x →2 +

0 < x −2 < ∂ ⇒ ( 2 x −a xb) −2 0 ∃δ > 0, ∀x [0 <

∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x ) − 2 < ε

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x 0 < x + 3 < δ ⇒ f ( x) < ε

]

x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε

]

]

f (− 3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5

Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: • Dom f = R • • • • • •

f es creciente en ( −∞, 0) ∪( 0, 3) f decreciente en (3, ∞) ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀ x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε

[ [ ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x [0 <

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀x 0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε

]

]

x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε

]

f (−3 ) = f (3) = f (6) = 0 y f ( 0) = 2

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1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y

g funciones con límite en x0 ; lím f ( x) = L

es decir, suponga que

x →x0

y

lím g ( x) = M . Entonces: x→ x0

k = k , ∀k ∈ R 1. lím x x →

0

2. lím x = x0 x→ x 0

kf ( x) = k lím f ( x) = kL, ∀k ∈ R 3. lím x→ x x→ x 0

0

4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M x→ x x→ x x→ x 0

0

0

f ( x) − lím g ( x) = L − M 5. lím [ f ( x) − g ( x)] = xlím x→ x x→ x →x 0

0

0

6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM x→ x x→ x x→ x 0

0

0

f (x ) L ⎡ f (x ) ⎤ lím x→ x0 7. lím = = x→ x0 ⎢ g ( x) ⎥ g ( x) M ⎣ ⎦ xlím →x

;siempre que lím g (x ) ≠ 0 x→ x0

0

n

8. lím [ f ( x)] = ⎡ lím f ( x)⎤ = Ln , ⎢⎣ x→ x ⎥⎦ x→ x n

0

∀n ∈ N

0

n f ( x) = n lím f ( x) = n L 9. xlím x→ x →x 0

0

siempre que

lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par. x → x0

Demostraciones 1.

( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x −x x →x0

< ∂ ⇒ k −k 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x x →x0

0

Si ∂ = ε la proposición es verdadera.

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0

< ∂ ⇒ x − x0 < ε

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3.

( lím kf ( x) = kL) ≡ ∀ ε > 0,∃∂ > 0 / 0 < x − x

< ∂ ⇒ kf ( x ) − kL < ε

0

x→ x0

Observe

el

consecuente,

la

kf ( x ) − kL < ε

expresión

es

equivalente

a

k ( f (x ) − L ) < ε . Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:

∀ ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) − L 0,∃∂ 1 > 0 tal que 0< x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f (x )− L < ε Y asegurar que

1

lím g ( x) = M significa que:

x→ x 0

∀ε Tomemos ε 1 = ε 2 =

ε 2

2

> 0,∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g (x )− M < ε

2

, entonces , si trabajamos con ∂ = min {∂1 ,∂ 2 } se cumple que:

ε ⎧ ⎪⎪ f ( x) − L < 2 0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪ g ( x) − M < ε ⎪⎩ 2 Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g( x) − M <

ε 2

+

Y por la desigualdad triangular ( f ( x ) − L ) + (g ( x ) − M ) ≤ f (x ) − L + g ( x ) − M Por lo tanto

2

( f (x )+ g (x)) − ( L + M ) < ε

Finalmente, se observar que:

∀ε > 0,∃∂ > 0 / 0< x − x 0 < ∂ ⇒ lo que nos asegura que

5.

ε

( f (x )+ g (x )) − ( L+ M ) < ε

lím [ f (x ) +g (x )] = L + M

x →x 0

Debemos demostrar que si lím g( x) = M entonces lím f( x) = L x → x0

x→x 0

lím [ f ( x ) g ( x )] = LM x →x0

Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:

H 1 : lím f (x )= L ≡ ∀ ε1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f (x ) − L < ε 1 → x

x0

H 2 : lím g (x ) = M ≡ ∀ ε 2 > 0,∃∂ 2 > 0 tal que0 < x− x0 < ∂ 2 ⇒ g( x)− M < ε 2 x → x0

En la segunda hipótesis, asumamos que ε 2 = 1 , entonces

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g (x ) − M < 1 −1 < g ( x ) − M < 1 M − 1 < g ( x) < M + 1 Por la desigualdad triangular: 1 − ( M + 1 ) < M +1 < M + 1 +M 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) g ( x) − LM < ε Es decir:

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lím [ f ( x) g( x) ] = LM L.Q.Q.D. x → x0

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El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo ⎧1 ; x > 0 Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨ ⎩0 ; x ≤ 0

y

⎧0 ; x ≥ 0 g ( x ) =⎨ ⎩1 ; x < 0

⎧1 ; x ≠ 0 entonces ( f + g )(x ) = ⎨ ⎩0 ; x = 0 Observe que: lím f (x ) no existe y que lím g (x ) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x ) = 1 x→ 0

(existe). Es decir, “ Si asegurar que

f

y

g

(f

+ g)

x→0

x→0

es una función con límite en un punto, entonces no podemos

también tienen límite en ese punto”

El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ej Ejemplo emplo

(

)

2 Calcular lim x + 3x − 2 x→ 2

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

(

)

2 2 lim x + 3x − 2 = lim x + lim 3x− lim 2 (inciso 4 y 5)

x→2

x →2

x→ 2

x→ 2

2

= ⎛⎜ lim x⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→ 2 ⎝ x→ 2 ⎠ = 2 2 + 3(2) − 2 =8

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea

una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) f

x →x 0

siempre que f ( x0 ) esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.

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De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ej Ejemplo emplo

(

)

2 Calcular lim x + 3x − 2 x→ 2

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8

x→ 2

Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.

1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO

Sean f , g y h funciones tales que g ( x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) para toda x próxima a " x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si lím g ( x ) = L

lím h (x ) = L

y

x→ x0

x→ x0

entonces

lím f ( x) = L . x→ x0

DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis: H1 : H2: H3 :

( lím g (x ) = L ) ≡ ∀ε > 0,∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g (x ) − L < ε ( lím h(x) = L) ≡ ∀ε > 0,∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h(x) − L 0 / 0 < x − x0 < ∂3 ⇒ g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)

Ahora, suponiendo que ε1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1 , ∂2 , ∂3 } , tenemos: ∀ε >0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x0

Que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0

28

⎧ g ( x) − L < ε ⎪⎪ < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε ⎪ ⎩⎪ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)

⎧ L − ε < g (x) < L + ε ⎪ < ∂ ⇒ ⎨L − ε < h ( x ) < L + ε ⎪ ⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)

1

2

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Lo cual significa que: L − ε < g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) < L + ε , Y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f (x ) < L + ε Por lo tanto∀ ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε , Que no es otra cosa que

L.Q.Q.D.

lím f ( x) = L

x→ x0

Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado

Ej Ejemplo emplo 1 Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda

x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f (x ) . x →0

SOLUCIÓN: 2 Llamemos g ( x) = 1 − x y h( x) = x 2 + 1 . Calculando límites tenemos: lím g (x ) = lím( 1− x x →0

2

x →0

)=1

y

2 lím h( x ) = lím ( x + 1) = 1.

x→ 0

x→ 0

Y como g ( x) ≤ f ( x) ≤ h ( x ) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que: lím f ( x) = 1 x→0

(

O más simplemente: lím 1− x x→0

2

) ≤ lím f (x ) ≤ lím( x x→0

x→0

2

+ 1)

1≤ lím f x( )≤ 1 x→ 0

por lo tanto lím f (x )= 1 x→ 0

Ej Ejemplo emplo 2 ⎛1⎞ ⎝ x⎠

Use el teorema del emparedado para demostrar que:lím x sen ⎜ ⎟ = 0 x→0

SOLUCIÓN: ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a quelím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe. x→ 0 ⎣ ⎝ x ⎠⎦ También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ La función f ( x) = sen ⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 . ⎝x⎠ ⎝x ⎠

⎛ 1⎞ Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1; ⎝x⎠ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím xsen ⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím xsen⎜ ⎟ ≤ 0 x 0 x→ 0 x→ 0 x 0 x → → ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen ⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝ x⎠

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Ej Ejemplo emplo 3 Hallar lím

x→ 0

Senx x

SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) =

Senx x

R1 tg x

1 R2

sen x

x

R3

cos x

Fig. 1.9

1

Del gráfico tenemos que: AreaR1 = Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3

( tg x)(1) 2

, AR2 =

(1)2 (x ) 2

, AR3 =

(cos x )(sen x) 2

(tg x)(1) ≥ 1( )2 (x ) ≥ cos x sen x , entonces 2

2

2

PRIMERO: Si x → 0+ . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 2(tg x)(1) 2( x) 2 cos x sen x ≥ ≥ 2 sen x 2 sen x 2 sen x x 1 ≥ ≥ cos x cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que cos x ≤ ≤ x cos x sen x 1 ≤ lím tomando límite lím cos x ≤ lím x x→ 0 + x→ 0 + x→ 0+ cos x sen x sen x ≤ 1 =1 entonces lím+ 1≤ l...