Calculo Diferencial - Tecnologico Nacional de Mexico PDF

Preview

Summary

Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif, Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén, Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe Cálculo Diferencial Para estudiantes de ingeniería Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas. III Acerca de los autores. Gabriel...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Calculo Diferencial - Tecnologico Nacional de Mexico Abdiel Verdugo

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

MANUAL DIDACT ICO CALCULO DIFERENCIAL 2016 YOCELYN ESPINOZA YOCELYN ESPINOZA Mat emát icas 1 Calculo Diferencial - Dennis G. Zill, Warren Wright Angel Conde Mat emát icas 1 Cálculo diferencial francisco javier suarez chora

Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif, Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén, Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe

Cálculo

Diferencial Para estudiantes de ingeniería

Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.

Acerca de los autores.

Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participado como jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también como docente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnica de Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador de educación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.

Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el área de Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos (RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamento de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organizados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.

Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Cannon Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Canofil S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente colaborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad Marista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de 1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamento de Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe del Departamento de Ciencias Básicas en la misma institución.

III

Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. en Ingeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos programas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITM adscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacado por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo de la Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio de Dibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.

Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAVIPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.

Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actualmente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM).

Prefacio

Caracterización de la asignatura. La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variables, funciones y límites. Que al utilizarlo se puedan establecer uno de los conceptos más esenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de la ingeniería. Esta asignatura contiene los temas básicos e importantes para cualquier área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico. En el Cálculo Diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además, contiene los principios y bases para el modelado matemático. Intención didáctica. La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y sus propiedades básicas. Esto servirá de sustento para el estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se introduce el concepto de límite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vez comprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continuidad de una función de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una función continua de variable real. También se estudian las reglas de derivación más comunes. Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de razón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

V

Prólogo

Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Cálculo Diferencial que se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado y soportado por la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por establecer un material de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con características propias e inherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes. Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, pues se enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garantizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos. El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del Cálculo Diferencial, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudiante realizar un repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos. Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cinco unidades temáticas, abordados de manera gradual y en gran medida de forma intuitiva: 1. Números reales. 2. Funciones. 3. Límites. 4. Derivadas. 5. Aplicaciones de la derivada. Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como lo son fórmularios, gráficos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante curso masivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Cálculo Diferencial, de manera gratuita a todos los interesados en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de esta asignatura en un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo por reducir los índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas de nuestro sistema. Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñan libros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante en el aula. Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.

Competencias a desarrollar Competencias específicas Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real. Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así como aplicar sus propiedades y operaciones. Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad. Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra. Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

Competencias genéricas Procesar e interpretar datos. Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Optimizar soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios integradores. Argumentar con contundencia y precisión.

Objetivo general del curso (competencia específica a desarrollar en el curso)

Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable y de su derivada.

Competencias previas Manejar operaciones algebraicas. Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Resolver ecuaciones simultaneas con dos incógnitas. Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas. Identificar los lugares geométricos que representan rectas o cónicas.

Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas) Con el dominio de los conceptos y con el conocimiento de la historia del cálculo, el profesor abordará los temas de manera tal que propicie en el alumno el trabajo cooperativo y la aplicación de dichos conceptos a través de la experimentación y el modelado logrando con ello la realización de las tareas programadas para el desarrollo de la competencia. Despertar la curiosidad de la investigación con anécdotas o problemas hipotéticos con el fin de acrecentar el sentido y la actitud crítica del estudiante. Utilizar software matemático, además de calculadoras graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas y la interpretación de resultados. Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera. Proponer problemas que: • Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución. • Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posteriores. • Modelen y resuelvan situaciones reales mediante conceptos propios de la asignatura. • Contribuyan a investigar sobre la extensión y profundidad de los conceptos. Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos y definiciones.

Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades de investigación.

Sugerencias de evaluación Evidencias de aprendizaje: reportes escritos, solución de ejercicios extra clase, actividades de investigación, elaboración de modelos o prototipos, análisis y discusión grupal. Resolución de problemas con apoyo de software. Ejercicios en clase. Exámenes escritos.

Í NDICE GENERAL

1

P REFACIO

V

P RÓLOGO

VII

N ÚMEROS R EALES

1

1.1

Introducción

1

1.2

Conjunto de números y propiedades

2 3 4 4 6 7

Números naturales Números enteros Números racionales Números irracionales Números reales

1.3

La recta numérica

8 9

Representación de intervalos

1.4

Valor absoluto

9

1.5

Desigualdades

11 14 15

Propiedades de las desigualdades Solución de desigualdades por método gráfico Solución de desigualdades métodos algebraicos

1.6

Evaluaciones sumativas Ejercicios

2

F UNCIONES

16 28 28

31

2.1

Introducción

32

2.2

Dominio, gráfica y rango de una función real

34 34 35 36

Dominio de una función real Gráfica de una función real Rango de una función real

2.3

Tipos de funciones Funciones algebraicas Funciones trascendentes

39 39 47

2.4

Funciones inyectivas y suprayectivas

54

2.5

Funciones inversas e implícitas

55 58

Funciones pares e impares

XI

2.6

Operaciones con funciones

59

2.7

Sucesiones

61

2.8

Evaluaciones sumativas

63

Ejercicios

3

L ÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una sucesión

68

3.2

Límite de una función real

69

3.3

Método gráfico

70

3.4

Método numérico o tabular

71

3.5

Método algebraico

73 73

3.6

Límites al infinito y límites infinitos

74

3.7

Indeterminaciones

76

Indeterminación de la forma 00 Indeterminación de la forma ∞ ∞ Indeterminación de la forma 0 · ∞ Indeterminación de la forma +∞ − ∞

3.8

Límites de funciones trascendentes Indeterminación de la forma exponencial 1∞

3.9

Métodos Avanzados Cambio de variable Cantidades infinitésimas

77 78 79 80 80 83 84 84 85

3.10

Continuidad

88

3.11

Evaluaciones sumativas

90

Ejercicios

D ERIVADAS

90

95

4.1

Incremento o decremento de una variable

96

4.2

Definición de la derivada

97

4.3

Interpretación geométrica

98

4.4

Fórmulas de derivación Derivada de orden superior Regla de la Cadena Derivadas implícitas

5

67

3.1

Propiedades algebraicas de límites con funciones algebraicas

4

63

100 102 104 105

4.5

Regla de L’hopital

108

4.6

Evaluaciones sumativas

109

A PLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1

Recta tangente y normal a una curva Recta tangente Recta normal

111 112 112 113

5.2

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Teorema de Rolle Teorema del valor medio

5.3

Máximos y mínimos de una función Introducción Criterio de la primera derivada Criterio de la segunda derivada

5.4

Diferenciales Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

118 118 119 120 123 126

5.5

Problemas de optimización

128

5.6

Evaluaciones sumativas

130 130

Ejercicios

A

114 114 115

F ÓRMULAS DE GEOMETRÍA

133

A.1

Figuras geométricas 2D

133

A.2

Figuras geométricas 3D

134

A.3

Geometría plana

135

B

F ÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA

137

C

F ÓRMULAS DE DERIVADAS

139

D

R ESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS

141

B IBLIOGRAFÍA

155

1

1 Números Reales

Competencia específica a desarrollar Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real.

Actividades de Aprendizaje Construir el conjunto de los números reales a partir de los naturales, enteros, racionales e irracionales y representarlos en la recta numérica. Plantear situaciones en las que se reconozca las propiedades básicas de los números reales: orden, tricotomía, transitividad, densidad y el axioma del supremo. Representar subconjuntos de números reales a través de intervalos y representarlos gráficamente en la recta numérica. Resolver desigualdades de primer grado con una incógnita. Resolver desigualdades de segundo grado con una incógnita. Resolver desigualdades con valor absoluto y representar la solución en la recta numérica.

1.1

Introducción Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima de todo es número. En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, y por lo tanto todo número es racional.

1.2 Conjunto de números y propiedades Cálculo Diferencial.

1.2

Conjunto de números y propiedades Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática básica podemos encontrar conjuntos sumamente importantes como los formados por números, en particular tenemos la siguiente clasificación comenzando con el conjunto de números complejos1 , hasta los números naturales.

1 a pesar de que en este curso no se manejaran números complejos se agregan en el esquema para dar una visión

más general de los conjuntos de números.

2

Números Reales

Sin embargo ante problemas como el de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, esta afirmación carecía de sentido. En notación moderna, un triánp gulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide 2. En una sección p posterior se muestra que 2 no es racional. Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual nos dice que existen números que no son racionales, esto implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas se manejaran por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos desarro...