1 Natuerliche Zahlen Stud-5 PDF

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1 Natürliche Zahlen, Folgen, vollständige Induktion 1.1Natürliche Zahlen Zahlaspekte Zahlen werden in unterschiedlicher Weise genutzt. Man findet sie in Schule, Alltag, etc. als Kardinalzahl, Ordinalzahl… Insgesamt werden sechs verschiedene Zahlaspekte unterschieden: -

Kardinalzahlaspekt (Mächtigkeit einer Menge, Antwort auf „wie viele“) Ordinalzahlaspekt (Platz in einer Reihenfolge, unterschieden zwischen Zählzahl (z.B. „Seite 4“) und Ordnungszahl (z.B. „3. Platz“)) Operatorzahlaspekt (Vervielfachen, in Kombination mit „mal“) Codierungszahlaspekt (Zahl als „Name“ für etwas, z.B. Matrikelnummern) Maßzahlaspekt (in Kombination mit Maßeinheiten) Rechenzahlaspekt (in der Verwendung beim Rechnen, unterschieden zwischen algorithmischen Rechenzahlaspekt (z.B. 3 + 4 = 7) und algebraischem Rechenzahlaspekt (z.B. 3 + 4 = 4 + 3; also zur Darstellung von Rechengesetzen))

Weitere Informationen: z.B. in Neubrand/Möller (1999): Einführung in die elementare Arithmetik. Hildesheim: Franzbecker. S.1-4. Sie finden aber auch in anderen Quellen weitere Informationen zu diesem Thema.

Peanosches Axiomensystem Die Funktion f ist in der folgenden Definition die Nachfolgerfunktion, f(x) ist somit der Nachfolger von x. Mit der folgenden Definition werden Eigenschaften definiert, welche für die Menge der natürlichen Zahlen gelten: Definition 1.1 Eine Menge ℕ heißt Menge der natürlichen Zahlen, wenn folgende Eigenschaften gelten: (1) (2) (3) (4) (5)

1∈ℕ Es gibt eine Funktion f: ℕ → ℕ mit ∀𝑥, 𝑥 ∈ ℕ| 𝑓(𝑥) ∈ ℕ Für alle x ∈ ℕ gilt f(x)  1 Für alle x, y ∈ ℕ mit x  y gilt f(x)  f(y) Ist M eine Teilmenge von ℕ (M ⊂ ℕ) mit 1 ∈ M und enthält M zu jedem Element auch dessen Nachfolger, so gilt M = ℕ.

In der Literatur finden Sie mitunter unterschiedliche Formulierungen des Axiomensystems. Ich orientiere mich hier an Leuders (2012, S.185;187), wobei ich die Zahl 1 als kleinstes Element der Menge der natürlichen Zahlen auffasse. In Padberg & Büchter (2015, S.234) lautet das vierte Axiom anders, bezieht sich auf die Gültigkeit von Aussagen über die Menge der natürlichen Zahlen. An diesen Stellen finden Sie auch übrigens auch weitere Informationen zum Thema.

1.2 (Zahlen-)Folgen und Punktmuster In der Grundschule sind Aufgaben typisch, in welchen den Kindern der Anfang einer Zahlenreihe gegeben wird, die sie fortsetzen sollen, z.B. 1, 2, 4, 8, usw. Manchmal werden auch Folgen von Punktmustern vorgegeben (z.B. die Quadratzahlen als Punktmuster). Allgemein sind Zahlenfolgen Abbildungen (mit einer Vorschrift) einer Menge auf eine andere Menge oder auf sich selbst. (vgl. dazu vor allem Müller et al. (2007), S.207) Definition 1.2: Eine Folge ist eine Abbildung aus den natürlichen Zahlen in eine beliebige Wertemenge X. ℕ→𝑋 𝑎: {𝑛 → 𝑎 𝑛 Beispiele für Folgen in Punktmustern:

Dreieckszahlen:

Quadratzahlen:

1.2.1 Rekursive und explizite Definition Definition 1.3 Werden die Glieder einer Zahlenfolge allein über den Index n definiert, spricht man von einer expliziten Definition. (1) Werden die Glieder einer Zahlenfolge mit Hilfe vorhergehender Glieder definiert, spricht man von einer rekursiven Definition. Diese Definition ist nur dann vollständig, wenn die ersten Folgeglieder explizit gegeben sind. (2) Wird in der Definition des Folgengliedes sowohl der Index als auch ein vorhergehendes Folgenglied verwendet, spricht man ebenfalls von einer rekursiven Definition. (3) Beispiele: (1) an = n² (2) an = an-1 + 2 und a1 = 1 (3) an = an-1 + 2(n-1) und a1 = 1 Das erste Element der Zahlenfolge muss nicht zwingend 1 sein. Weitere Informationen: Ziegenbalg, J. & Wittmann, E. Ch.: Zahlenfolgen und vollständige Induktion. In: Müller et al. (2007): Arithmetik als Prozess. 2. Auflage. Seelze: Kallmeyer/Klett. S.207-235. 1.2.2 Zusammenhänge zwischen rekursiver und expliziter Formel Zu Zahlenfolgen lassen sich rekursive und explizite Formeln angeben. Mal ist es einfacher, eine rekursive Formel zu finden, mal ist einfacher, eine explizite anzugeben. Vorteil von expliziten Formeln ist, dass sich jedes einzelne Element der Zahlenfolge unabhängig von der Kenntnis des vorhergehenden Elementes berechnen lässt. Man kann mitunter aus der expliziten Formel eine rekursive Formel herleiten und umgekehrt. Manchmal ist es jedoch recht kompliziert. a) Von der expliziten zur rekursiven Formel: Das ist möglich, wenn sich die explizite Formel algebraisch geschlossen nach n auflösen lässt. Man stellt die explizite Formel für an-1 auf, löst nach n auf und setzt das Ergebnis in der Formel für an ein. Anschließend ist der Startwert zu berechnen. b) Von der rekursiven zur expliziten Formel: Manchmal lässt sich bereits anhand der rekursiven Formel erahnen, wie die explizite Formel lautet. Andernfalls lässt sich die Rekursion quasi „rückwärts durchlaufen“.

1.2.3 Fibonacci-Zahlen Die Zahlenfolge 1,1,2,3,5,8,13,21,… wird Fibonacci-Folge genannt. Eine Kontextaufgabe, in welche diese Folge eingebettet wurde, können Sie in Müller et al. (2007): Arithmetik als Prozess, S.45 nachlesen. Rekursive Formel: F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 Explizite Formel: Formel von Binet (s. Müller et al. (2007), S.210f. – dort finden Sie auch die Herleitung, die Sie bei Interesse lesen können.)

1.3 Grundprinzip der vollständigen Induktion, Beweise mit vollständiger Induktion In der Mathematik werden Aussagen in der Regel bewiesen – direkt, indirekt oder durch vollständige Induktion. Letzteres wird vor allem bei Aussagen über natürliche Zahlen angewendet. Warum? Eine Aussage A über natürliche Zahlen könnte ich auch so beweisen, indem ich für jede einzelne Zahl prüfe, ob die Aussage für diese Zahl gilt. Da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, geht dies praktisch natürlich nicht, zumindest nicht, wenn ich z.B. tatsächlich jede einzelne Zahl einsetze. Das Verfahren der vollständigen Induktion stellt quasi eine Verallgemeinerung dieses Überprüfens dar (weswegen man am Ende des Beweises sagen kann, dass die Aussage für die gesamte Menge gilt). Es wird angenommen, dass die Aussage für ein beliebiges Element (k, n, m, …) der Menge gilt, und anschließend zeigt man, dass unter dieser Annahme die Aussage auch für das nachfolgende Element (k+1, n+1, m+1, …) gilt. Das Verfahren besteht aus zwei Teilen, wobei der zweite in unterschiedlichen Quellen noch untergliedert wird: 1. Induktionsanfang oder Induktionsverankerung: Die Aussage wird für das kleinste Element der Menge überprüft. 2. Induktionsschritt: Sie finden gelegentlich auch neben „Induktionsschritt“ stehen: A(n) ⇒ A(n+1) Man nimmt an, dass die Aussage für ein beliebiges Element der Menge gilt (manchmal auch Induktionsvoraussetzung genannt, das ist A(n) (oder A(k) oder A(m))). Man behauptet, dass die Aussage dann auch für das nachfolgende Element gilt (manchmal auch Induktionsbehauptung genannt, das ist A(n+1)). Anschließend zeigt man, dass sich diese Behauptung auch tatsächlich aus der Voraussetzung folgern lässt (manchmal auch Induktionsschluss genannt). Wir wollen dies an zwei Beispielen durchgeführen, einmal am Beispiel der Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen (1), einmal am Beispiel der Summen der ersten n FibonacciQuadratzahlen (2). Das Besondere am zweiten Beispiel: Die natürlichen Zahlen stehen hier im Index, weshalb man die Objekte – die Quadrate der Fibonacci-Zahlen – anordnen kann, aber nicht mit den Indices rechnet. Verfahren bei Beispiel (1) Induktionsverankerung: Prüfung für n=1 2

∑1𝑖=1 𝑖 = 1 = = 2

Induktionsschritt:

1(1+1)

Die Formel gilt für das kleinste Element der Menge

2

Für ein beliebiges k ∈ ℕ gelte die Formel, also ∑𝑘𝑖=1 𝑖 = auch für k+1, also ∑𝑘+1 𝑖=1 𝑖 =

(𝑘+1)(𝑘+2) 2

𝑘 Beweis: ∑𝑘+1 𝑖=1 𝑖 = 𝑘 + 1 + ∑ 𝑖=1 𝑖

=𝑘+1+ = =

2(𝑘+1)

+

𝑘(𝑘+1)

𝑘(𝑘+1) 2

2 2𝑘+2+𝑘 2 +𝑘 2

2

.

𝑘(𝑘+1) 2

. Dann gilt die Summenformel

(nach Induktionsvoraussetzung) (Erweitern)

=

(𝑘+1)(𝑘+2) 2

(2) ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖2 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑛+1 Sie können zu diesem Thema vor allem das Kapitel 3.2 aus Müller et al. (2007): „Arithmetik als Prozess“ lesen (von J. Ziegenbalg und E. Ch. Wittmann, „Zahlenfolgen und vollständige Induktion“, S.207-235). Dort finden Sie auch einen Beweis des zweiten Beispiels aus der Vorlesung. Aber auch in Leuders (2012, insbesondere S.120f.) finden Sie eine Erklärung dieses Verfahrens (und auch noch einmal unser Beispiel 1). Ein Tipp: Schreiben Sie wie in Beispiel 1 explizit auf, wie die Aussage für eine beliebiges Element aus ℕ aussieht (für k, m, n oder wie auch immer Sie Ihr beliebiges Element nennen) und vor allem auch, wie die Aussage für das nachfolgende Element lauten muss. Dann wissen Sie nämlich, was Sie konkret erreichen wollen und können außerdem leichter wahrnehmen, wann und warum der Beweis abgeschlossen werden kann.

Weiteres Beispiel zu Beweisen mit vollständiger Induktion: Färbung von Landkarten Anmerkungen zur vollständigen Induktion -

Vergessen Sie den Induktionsanfang nicht! Andernfalls kann es passieren, dass Sie eine Aussage als wahr beweisen, die eigentlich nicht wahr ist. Das Verfahren lässt sich für Aussagen über natürliche Zahlen oder Teilmengen der natürlichen Zahlen anwenden. Wichtig: die Elemente müssen sich anordnen lassen, es muss klar sein, welches das nächste Element ist. Anmerkung: auch wenn die Primzahlen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen bilden, können Sie das Verfahren der vollständigen Induktion nicht anwenden, da es keinen Algorithmus gibt, mit welchem Sie die nächste Primzahl beschreiben können.

Arithmetische und geometrische Folge Definition 1.4 Eine Zahlenfolge, die nach dem rekursiven Bildungsgesetz an = an-1 + d, d ∈ ℝ , a1 ∈ ℝ , definiert ist, heißt arithmetische Folge. In dieser Definition finden Sie die rekursive Formel für arithmetische Folgen. Es existiert auch eine explizite Formel: Satz 1.1: Die explizite Definition einer arithmetischen Zahlenfolge ist an = a1 + (n-1)d, d ∈ ℝ , a1 ∈ ℝ. Beweis durch vollständige Induktion: s. Vorlesung

Definition 1.5 Eine Zahlenfolge, die nach dem rekursiven Bildungsgesetz an = an-1q, q ∈ ℝ\{0}, a1 ∈ ℝ, definiert ist, heißt geometrische Folge. Beispiele: s. Vorlesung Satz 1.2: Die explizite Definition einer geometrischen Zahlenfolge ist an = a1qn-1, q ∈ ℝ\{0}, a1 ∈ ℝ...