Komplex Zahlen Formelsammlung PDF

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Wichtigste Formeln und Methoden zum lösen von Aufgaben...

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Komplexe Zahlen • Kartesische Darstellung: • Polare Darstellung: • Eulersche Darstellung:

Umformung: ↔ Kartesische Koordinaten x, y x = r cos ϕ (Realteil von z) y = r sin ϕ (Imagin¨ arteil von z)

z = x + iy z = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = reiϕ Polare Koordinaten r, φ p Betrag r = |z| = x2 + y 2

Argument arg(z) := φ ergibt sich aus tan ϕ = xy Quadrant beachten!

Konjugiert komplexe Zahl: z := x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ) = re−iϕ z  z = z + z = 2x Eigenschaften: z + w = z + w z · w = z · w w  w    z  |z | √ z − z = 2iy z · z = |z|2 z · z = |z | |z |2 = z 2   = w |w | Addition z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v ) Multiplikation z · w = (x + iy )(u + iv ) Klammern aufl¨osen = (xu − yv) + i(xv + yu) i2 = −1! = |z| eiϕ · |w| eiψ = |z | |w| ei(ϕ+ψ) Betr¨age multiplizieren = |z | |w| (cos(ϕ+ψ)+ i sin(ϕ+ψ)) Winkel addieren

Division x + iy (x + iy )(u − iv ) z = = Erweitern mit konjugiert w u + iv (u + iv)(u − iv) (xu + yv ) + i(yu + xv ) komplexen des Nenners = u2 + v 2 |z | i(ϕ−ψ) = e Betr¨age dividieren |w| |z | cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ) Winkel subtrahieren = |w| Potenzen z n = (reiϕ)n = r n einϕ Betrag hoch n n n = (r(cos ϕ + i sin ϕ)) = r (cos nϕ + i sin nϕ) Winkel mal n Wurzeln:

Formel von MOIVRE √ √ √ √ ϕ+k·2π ϕ + k · 2π ϕ + k · 2π n n z = reiϕ = n r · ei n = n r(cos + i sin ) n n f¨ur k = 0, 1, 2, ..., n − 1...