1 Programación por metas PDF

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1 Programación por metas Es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El método de programación de metas permite alcanzar varios objetivos de manera simultánea. La Programación de metas establece un objetivo numérico específico para cada uno de los objetivos , formular una función objetivo para cada uno y después buscar una solución que minimice la suma ponderada de las desviaciones de estas funciones objetivo de sus metas . La Programación meta es una técnica de resolución de problemas multicriterios, que permite escoger las variables que ofrecen una mejor solución al problema planteado, teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidades e incluso contrapuestas. La filosofía de los problemas de programación meta es muy similar a los de Programación Lineal, sólo que ahora además de las restricciones estructurales, se pueden tener varios objetivos simultáneos, los cuales se desean alcanzar. Como la existencia de un objetivo que puede ser alcanzado o no.

Historia La programación de metas en esencia una variación de la programación lineal, los primeros en identificarla fueron charnes y cooper a principios de la década de 1960, ljiri reafino y amplio la teoría a mediados de esa década. Igmizio y lee desarrollaron numerosas aplicaciones. En principio fue dirigida a resolver problemas industriales, sin embargo posterior mente fue dirigida a muchos otros campos tales como: 

La economía



Agricultura



Recursos ambientales



Recursos pesqueros

ventajas el apoyo en la toma de deciciones respectos a varios objetios.

desventajas las deciciones no son optimas sino suficintes , puden cumplir ninguna , una o alunas de los objetivos trasformados en metas.

flexibilidad que permite al tomador de deciciones , experimentar con una multitud de variaciones de las deciciones y prioridades en la metas, cundo se involucra en un problema de deciciones multiples Objetivos En los problemas de metas se tienen objetivos múltiples, en este caso se encontrarán problemas con múltiples metas sin prioridades y/o con prioridades, y en todos los casos se pudiesen tener problemas con ponderación y sin ponderación. Es importante recalcar que nunca se sacrificará una meta de mayor prioridad por una de menor prioridad, pero dentro de una misma prioridad, la desviación con mayor ponderación puede ser desplazada por la de menor ponderación si esta última logra un valor que compense dicha ponderación.

En

esta imgen se puede observar que se presentan tres posibilidades, que la meta sea alcanzada, que se logre un valor mayor a la meta en cuyo caso se incurre en una desviación positiva, o que se quede por debajo de la meta, y en ese caso se tendrá una desviación negativa. Dependiendo del problema y de la meta en sí, se podrá tener interés en minimizar la desviación positiva, la negativa o ambas.

1.1 Definicion y conceptos generales En general, en los procesos de Investigación operativa, dos figuras fundamentales en el estudio y resolución de los problemas multi-objetivo son el decisor y el analista. El decisor es la persona (grupo de personas, entidad,. . .) que detecta los problemas y es responsable de su resolución. El analista (persona, gabinete, entidad,. . .) representa a la parte técnica especializada y es conocedor de herramientas especıficas para encontrar soluciones. Debe trabajar en relación estrecha con el decisor. Programación de Metas: Planteamiento utilizado para resolver un problema de optimización de objetivos múltiples como un programa lineal que equilibre los pros y los contras de los objetivos en conflicto. Meta: Valor objetivo numérico específico establecido para un fin en un programa de metas.

Penalización: Valor relativo que se usa para representar insatisfacción con cada unidad que un objetivo esté por debajo de su meta, si el objetivo es maximizar, y por encima de la meta si lo que se busca es minimizar. Objetos: Se denominan objetos a la unidades o ítems elementales (físicas, conceptuales,. . .) involucradas en la situación problemática en estudio. Se pueden denominar alternativas. Atributos: Se denominan atributos a las características medidas sobre los objetos. Son, esencialmente, variables. En el caso

de tener un conjunto finito de alternativas, la consideración

conjunta de objetos y atributos aporta la siguiente tabla:

Espacio de decisiones: El espacio de decisiones viene definido por los vectores de valores que alcanzan los diferentes atributos en cada objeto. Se suele denominar por X o por S. Objetivos: Los objetivos son funciones, de valor real, establecidas sobre los niveles que alcanzan los atributos. Metas: Las metas son cotas asociadas a atributos u objetivos cuya aproximación o superación sea esencial para el problema. Criterios: Los criterios son los que establecen las pautas que articulan el marco global de las búsquedas de soluciones. Incluyen objetivos, metas y atributos relevantes para los procesos de resolución.

Espacio objetivo: El espacio objetivo está determinado por el conjunto f(S) = {(f1(x), ..., fp(x))|x ∈ S}

1.2 Modelo general por metas Objetivos: Representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede interpretarse en el sentido (más del atributo mejor) o bien (menos del atributo mejor). El primer caso corresponde a un proceso de maximización y el segundo a uno de minimización de las funciones que corresponden a los atributos que reflejan los valores del centro decisor. Como paso previo a la definición de meta se introducirá el concepto de nivel de aspiración. Un nivel de aspiración representa un nivel aceptable de logro para el correspondiente atributo. La combinación de un nivel de aspiración con un atributo genera una meta. Finalmente, el término criterio se utiliza como un término general que engloba los tres conceptos precedentes (atributo, objetivo y metas). En otras palabras, los criterios constituyen los atributos, objetivos o metas que se consideran relevantes para un cierto problema decisional. Por consiguiente, la teoría de la decisión multi criterio constituye un marco general o paradigma decisional en el que subyacen diferentes atributos, objetivos o metas. Programación por metas La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta, es decir, también se tiene una función objetivo que optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programación lineal, para obtener la solución puede aplicarse el MÉTODO SIMPLEX modificado solo para tomar en cuenta las prioridades.

La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples. El primer paso en la formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Así para el atributo i-ésimo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x) representa la expresión matemática del atributo iésimo, Ti su nivel de aspiración, ni y pi las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviación negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de desviación positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración. Como un nivel de aspiración no puede simultáneamente sobrepasarse y quedar por debajo de él, al menos una de las dos variables de desviación tomarán valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiración. Una vez clarificado el significado de las variables de desviación, es importante introducir el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor (objetivo a maximizar) la

variable no deseada (a minimizar), será la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro). Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de desviación negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar. Existen cuatro formas de restricciones de objetivos, según se permita variación hacia arriba o hacia abajo: 

CASO 1: Se permiten desviaciones en ambas direcciones.



CASO 2: Solo se permiten desviaciones hacia abajo.



CASO 3: Solo se permiten desviaciones hacia arriba



CASO 4: No se permiten desviaciones.

No existe algo en la programación por objetivos que prohíba incluir restricciones que no sean de objetivo o restricciones de recurso.



Estructura de un modelo de programación por metas

El primer paso en la formulación de un modelo de programación por metas es fijar los objetivos/ atributos, f(x), que se consideran relevantes para el problema que estemos analizando. El segundo paso es determinar el nivel de aspiración, t, que corresponde a cada Atributo, siendo éste el nivel de logro del atributo que el decisor considera aceptable. A continuación, definimos las metas, es decir, los atributos combinados con niveles de aspiración. Cada meta se convierte en una restricción blanda a incorporar en el modelo de programación por metas. n: variable de desviación negativa, cuantifica la falta de logro de una meta p: variable de desviación positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta

En general, la meta del atributo i-ésimo se escribe como:

Los valores de las variables de desviación son siempre positivas o cero, al menos una de las dos variables de desviación que definen la meta tendrá que ser cero. Las dos variables de desviación tomarán el valor cero cuando la meta alcance exactamente su nivel de aspiración, ti. Una variable de desviación se dice que es no deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño, es decir, cero. Cuando la meta deriva de un objetivo a maximizar o de una restricción de tipo ≥, la variable de desviación no deseada es la negativa ni. Cuando la meta deriva de un objetivo a minimizar o de una restricción de tipo ≤, la variable de desviación no deseada es la positiva pi. Cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración, las variables de desviación no deseadas son tanto la positiva, pi, como la negativa, ni. Las variables de desviación no deseadas se incorporan siempre en la función objetivo del modelo de programación por metas.

1.2.1 Ejemplo Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creación de un modelo de programación de metas. Formular el problema de la Planificación de la producción de una fábrica de papel como un problema de programación por metas. Supóngase la existencia de dos procesos, uno mecánico y otro químico, por los que se puede obtener la pulpa de celulosa para la producción del papel. El modelo de programación multiobjetivos es el siguiente: Objetivos: Max f1(x) = 1000X1 + 3000X2 (Maximizar el margen bruto) Min f2(x) = X1 + 2X2 (Minimizar la demanda biológica de O2)

Restricciones rígidas iniciales: 1000X1 + 3000X2 ≥ 300000 (Margen Bruto) X1 + X2 ≤ 400 (Empleo) X1 ≤ 300 (Capacidades de producción) X2 ≤ 200 X1, X2 ≥ 0 Definidas las variables de decisión y los atributos/ objetivos relevantes del problema que nos ocupa, el decisor define las siguientes METAS: g1: Para la demanda biológica de oxígeno: un nivel de aspiración de 300 unidades, pues desea que sea lo más pequeña posible. g2: Para el margen bruto: alcanzar un valor lo más grande posible, ojalá mayor de 400000 u.m. g3: Para el empleo: no desea ni quedarse corto ni contratar mano de obra adicional. g4: El decisor no desea superar sus capacidades de producción, lo que implicaría recurrir a turnos extras. Definiendo las restricciones tipo metas g1: X1 + 2X2 + n1 - p1 = 300 (Demanda Biológica de O2) g2: 1000X1 + 3000X2 + n2 - p2 = 400000 (Margen Bruto) g3: X1 + X2 + n3 - p3 = 400 (Empleo) g4: X1 + n4 - p4 = 300 (Capacidades de Producción) g5: X2 + n5 - p5 = 200 X1, X2 ≥ 0

Introduciendo el problema En el menú Archivo (File) seleccionamos Nuevo

problema

(New

Problem)

e

introducimos la información del problema:

Al pulsar el botón OK aparecerá una nueva ventana donde procederemos a introducir los coeficientes de las variables: Para

trabajar con el mismo formato de las variables

definidas

en

el

ejemplo,

activaremos la opción Nombre de las variables (Variable Names) en el menú Editar

(Edit).

Los nombres de las variables se cambiarán de acuerdo al orden que en que aparecen en el problema:

Al pulsar OK en esta ventana podremos definir las metas y restricciones:

Luego de introducido el modelo se inicia el proceso de solución, siguiendo los mismos pasos al empleado en la solución de los modelos de programación lineal. La solución final se muestra en la siguiente página:

La ventana con el resumen de la información permite un análisis detallado de cada variable.

Interpretando la solución En el tablero optimal se puede observar que:

• Las toneladas de celulosa a producir por medios mecánicos son 300. • Dado que n1 y p1 son ambas cero, la demanda biológica de oxígeno mínima es de 300 unidades, igual al nivel de aspiración. •La meta 2, asociada con el margen bruto, se queda por debajo del nivel de aspiración en cuantía de 100.000 u. m., valor que asume la variable de desviación n2.

• La meta del empleo se fija en 100 unidades de mano de obra menos que el nivel de aspiración que era de 400.

• Las metas 4 y 5, asociadas con los niveles máximos de producción por cada método, se fijan en 0 ton. De capacidad no aprovechada, para la 4, y de 200 para la 5. Conocidos estos resultados, el WINQSB también permite el análisis paramétrico del modelo.

1.3 Difrencias entre modelo lineal y modelo metas MODELO LINEAL

MODELO META

Usa solo un objetivo.

Tiene más de un objetivo.

Las variables y la función objetivo Variación de la PL deben ser lineales. Se llega a una solución eficiente Es necesario que cada variable aditiva respecto a la variable objetiva Utiliza restricciones meta Las soluciones no deben necesariamente números enteros

ser Tiene 3 tipos de modelos:

La solución óptima (máximo o mínimo) deben ocurrir en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles

Sin prioridad. Con prioridad. Con prioridad y ponderación.

Se usa para resolver problemas Las funciones lineales en variables de (programas) lineales con objetivos decisión con restricciones lineales similares, con cada objetivo visto como optimizando una función objetivo una “meta” también lineal. Aquí las variables de desviación son Se tiene una función objetivo “Se las cantidades que una meta es busca una combinación de recursos”. superada o no alcanzaba. VENTAJAS

VENTAJAS

Permite comparar un amplio rango de soluciones y alternativas y analizar sus consecuencias. Indica al administrador como emplear más eficazmente sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos adecuadamente.

Satisface los objetivos en una secuencia de prioridad. Los objetivos de segunda prioridad se persiguen sin reducirlos objetivos de primera prioridad.

Se conforma con una cota inferior. Hace que el administrador sea más objetivo en sus decisiones al obtener El espacio de soluciones siempre tiene todos los datos que puedan ser útiles que cumplirse, mientras que los para la formulación matemática de objetivos no pueden cumplirse. problema DESVENTAJAS

DESVENTAJAS

Modelo matemático requiere de una gran simplificación puede que este no represente con exactitud. A veces el personal administrativo no entiende los modelos, y por lo tanto se resiste aceptarlos resultados derivados. La programación lineal usa un objetivo y la de metas más de un objetivo. Se incluyen variables de desviación. No se encuentra el valor de z, si no los valores de las variables de desviación. La f.o. de la programación de metas siempre será minimizada. Estos modelos se asemejan más a la vida real porque generalmente en una empresa se trabaja con más de un objetivo.

Las soluciones no son óptimas solo suficientes, pueden cumplir ninguna, una o algunas de los objetivos trasformados en metas.

1.4 Modelo de una sola meta EJEMPLO: Una división de Schwim Manufacturing Company produce dos tipos de bicicletas: (1) una bicicleta de 3 velocidades y (2) una de 10 velocidades. La división obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la bicicleta de 3 velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el período de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todas las unidades de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. Estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla siguiente: Hrs. requeridas para procesar cada bicicleta Tipo de bicicleta

En el Depto. de ensamble

En el depto. de terminación

3 velocidades

1

1

Contribución a la utilidad unitaria 15

10 velocidades

3

1

25

Hrs. disponibles en cada depto.

60

40

La división durante este período de planeación se enfrenta a cambios grandes de organización y cree que el maximizar la utilidad no es un objetivo realista. Sin embargo, desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este período de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de $600 debería satisfacerse y

desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de producción, la mezcla de producto, que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades. Formula un modelo de programación de meta que satisfaga estos requerimientos Definición de variables: x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida Minimizar Z = d1- + d1+s.a. x1 +3×2 ” 60 (horas de ensamble). Restricciones estr...