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´ ALGEBRA LINEAL 2

Semana 6 - Agosto 2020

Gu´ıa de estudio - Pr´actica

Ejercicios resueltos 1) Sean los vectores: 

 −1 v1 =  0  , 2



 0 v2 =  2  , −3



 2 v3 =  2  3

Sup´ongase un vector v4 , ortogonal a v1 y v3 , que adem´as satisface: < v2 , v4 >= −3. Calcular las siguientes expresiones: < v3 , v4 > < (2v1 + 3v2 − v3 ), v4 > Soluci´ on:

1

Semana 6 - Agosto 2020

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Gu´ıa de estudio - Pr´actica

  2) Determinar una base del complemento ortogonal del subespacio W = (x, y, z) ∈ R3 : 2x + y − z = 0 . Soluci´ on:

2

Semana 6 - Agosto 2020

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Gu´ıa de estudio - Pr´actica

  3) Obtener un subespacio U ⊂ R3 tal que U ∩W = {0}, con W = (x, y, z) ∈ R3 : x − 2y − 3z = 0 . Soluci´ on:

3

Semana 6 - Agosto 2020

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Gu´ıa de estudio - Pr´actica

4) Def´ınase en R2 el producto interno como: < v, w >= 3v1 w1 + 5v2 w2 ,

v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 )

Y, adem´as, ||v||2 =< v, v >. Determinar relaciones entre v1 , v2 , w1 , w2 de modo que el conjunto {v, w} sea ortonormal. Obtener una base para el complemento ortogonal de {v}. Soluci´ on:

4

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Semana 6 - Agosto 2020

Gu´ıa de estudio - Pr´actica

Ejercicios propuestos 1) Sea u = (a, b, c) ∈ R3 un vector unitario con a, b, c 6= 0. Determine t de modo que, si v = (−bt, at, 0) y w = (act, bct, − 1t ), los vectores u, v, w sean unitarios y ortogonales dos a dos. 2) Sean u1 , u2 , u3 , vectores en Rn . Si, con la norma y el producto interno usuales, se verifica: u1 ⊥ u2

||u2 || = 4

< u 2 , u 3 >= 7

Encontrar el valor de a que verifica u1 = u2 + au3 3) Se tiene en P2 , espacio de los polinomios en t de grado menor o igual a 2, el subespacio U = lin (t2 − t), (−t − 1), (2t2 − t + 1) , y el produto interno definido por: < p(t), q(t) >= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)

Determinar el complemento ortogonal de U . 4)  Determinar,  en M2,2 (R), una base para el espacio de matrices ortogonales a la matriz 1 3 , con el producto interno definido por < A, B >= tr(B T A). 2 2 5) Definiendo el producto interno en R2 como < v, w >= v1 w1 − v1 w2 − v2 w1 + 4v2 w2 ,

v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 )

Determinar el ´angulo entre los vectores (1, 0) y (0, 1). Determinar adem´as vectores ortogonales a cada uno de estos vectores. 6) Obtener la menor distancia del vector (1, 4, 4) ∈ R3 al subespacio W = {(x, y, z) : x + 2y + 2z = 0}, utilizando el producto interno usual.

5...