Producto Cartesiano PDF

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Producto cartesiano , conceptos, propiedades...

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PRODUCTO CARTESIANO Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x  A  y  B}.

En consecuencia: (x, y)  A x B  x  A  y  B (x, y)  A x B  x  A  y  B

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x R  y  R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de

R x R es el plano cartesiano llamado

también plano numérico.

Se establece una relación entre

R

x

Ry el conjunto de los puntos

del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Ejemplo 2: Sean A = {x / x R1  x  3 }, B = {x / x R2  x  2 }. Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. Ejemplo

3:

Sean A = {x / x N1  x  4}, B = {x / x R 1  x  3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las nadas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

Propiedades del producto cartesiano.

A  X  B  Y  A x B  X x Y.

A x B = 0  A = 0  B = 0.

A  B  A x B  0  A x B  B x A.

A x (B  C) = (A x B)( A x C).

A x ( B  C) = (A x B)  ( A x C ). Demostración Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A  0 y B  0; entonces existen elementos a y b tales que a  A y b  B. Luego la pareja (a,b)  A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B  0, existirá (a, b)  A x B entonces a  A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0. Demostración (x, y)  A x (B  C)  x  A  y  B  C.  x  A  ( y  B  y  C).  ( x A  y  B)  (x  A  y  C).  (x, y)  A x B  (x, y)  A x C.  (x, y)  (A x B)  (A x C). Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:  A x B  =  A  B.

Puesto que: A x B = {(a, b): a  A  b  B}. y para cada una de las  A  elecciones de a en A hay  B elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b). Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante. Reglas del producto. 

Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene: k  A1x A2x ... x An=   Aj  j =1



De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.



En general dados a1, a2,..., aj1 hay nj elecciones posibles de a j. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.

Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con

reemplazo

de

una

baraja

de

52

cartas.

Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas

de

seleccionar

5

cartas

con

reemplazo

está

en

correspondencia uno a uno con: D x D x D x D x D = D5. Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto

de

cartas

52 5

tiene

elementos.

Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin

reemplazo

de

una

baraja

de

52

cartas.

Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que

no

se

permiten

todas

las

quintillas

ordenadas

en

D 5.

Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera

carta

puede

seleccionarse

de

52

maneras.

Una

vez

seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De esta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52  51 50  49  48 maneras diferentes....