Notas 4 Semiplanos En el Plano Cartesiano PDF

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NOTAS 4

2021-I

Geometr´ıa anal´ıtica I

(12 de octubre de 2020) §1.1.5 Semiplanos del plano cartesiano. Definici´ on 1. Un semiplano de R2 , es un subconjunto del plano de alguna de las siguientes formas: S1 =

S3 =

n

n

 o  (x, y) ∈ R2  Ax + By + C < 0 ,

 o (x, y) ∈ R  Ax + By + C > 0 2

S2 =

o

S4 =

n

 o  (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ≤ 0 ,

n

 o  (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ≥ 0 ;

para algunos A, B, C ∈ R, donde A 6= 0 o B 6= 0:

Llamamos a los semiplanos de la forma S1 y S3 semiplanos abiertos y a los semiplanos de la forma S2 y S4 semiplanos cerrados. La l´ınea de ecuaci´ on Ax + By + C = 0 es llamada la frontera o el borde de los semiplanos. El siguiente enunciado nos permite determinar el conjunto de los puntos que forman un semiplano: 1

2

Corolario 2. Un semiplano es la uni´on de un n´umero infinito de rectas paralelas. M´as precisamente:   o o n [ n   (1) (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ′ = 0 , (x, y) ∈ R2  Ax + By + C < 0 = C 0 = (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ′ = 0 C>C ′

y

  o o [ n  2 (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ≥ 0 = (x, y) ∈ R  Ax + By + C ′ = 0 . C≥C ′

n

 o (x, y) ∈ R  x + 2y + 3 < 0

n

2

 o (x, y) ∈ R  x + 2y + 3 ≤ 0 2

Demostraci´on. Mostraremos solamente la igualdad (1). La prueba de las igualdades (2), (3) y (4) se hace de manera muy similar.  o n 2 Prueba de (1): Sea (x0 , y0 ) ∈ (x, y) ∈ R  Ax + By + C < 0 , es decir (x0 , y0 ) ∈ R2 es un punto tal que Ax0 + By0 + C < 0, por lo que C < −Ax0 − By0 . Si definimos C ′ = −Ax0 − By0 se tiene que C < C ′ y adem´ as: Ax + By0 + C ′ = Ax0 + By0 + (−Ax0 − By0 ) = 0 .  o n 0  Por lo tanto (x0 , y0 ) ∈ (x, y) ∈ R2  Ax + By + C ′ = 0 donde C < C ′ . o  S n 2  Ax + By + C ′ = 0 , es decir supongamos Rec´ıprocamente, supongamos que (x0 , y0 ) ∈ (x, y) ∈ R C...