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Elementos del plano cartesiano o rectangular
ELEMENTOS DE LA RECTA...

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PLANO CARTESIANO Elementos del plano cartesiano o rectangular. 1.- Cuadrantes: son cuatro y se obtienen de la intersección de dos ejes ortogonales designados por X e Y. Corresponde al eje X las abcisas y al eje Y las ordenadas, con los que se genera el lugar donde se ubican los puntos.

2.- Punto: es un par ordenado (x,y) de números reales que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de ejes cartesianos, de modo que P(x,y) ; x,y   x

x: abscisa de P y: ordenada de P (x,y) coordenadas de P

ordenadas

P(x,y)

y

x

abcisas

3.- Distancia entre dos puntos. Se encuentra algebraicamente aplicando el Teorema Particular de Pitágoras y se expresa en la unidad de medida (u) que se haya utilizado para construir el sistema cartesiano.

d= √ (x 2 −x 1 )2 +( y 2 − y 1 )2 Ejercicios: Calcular la distancia entre los puntos: a) A(2,-3) y B(7,9)

13u

b) A(-5,-4) y B(1,4)

10u

c) C(-1,5) y D(2, -4)

3 √10u

d) P(15,4) y H(-3,-2)

6 √ 10u

1

3 3 ( ,2 ) ( ,− 1 ) e) E 4 5 y F 5 4

1 √ 178u 20

1 1 ) ,0) f) G(0,- 2 y H( 2 √2 2 u g) M (− 4,−3 ) y Q (2,5)

10u

4.- Perímetro de un polígono: es la suma de las medidas de sus lados. Ej.: Sea el triángulo ABC, cuyos vértices son A(3,7), B(6,11), C(3,14).Determinar su perímetro. C

P Δ ABC =d AB +d BC +d AC

A

B

P=√(6−3 )2 +(11−7 )2 + √(6−3 )2 +(11−14 )2 + √(3−3 )2 +( 14−7 )2 P=3( 4+ √2 )u Ejercicio: Calcular el perímetro de los siguientes polígonos, considerando las coordenadas dadas para cada uno de los vértices. a)

Δ ABC

con A(1,6), B(-1,1), C(3,1)

4+2 √ 29 b) Cuadrilátero ABCD con A(3,2), B(0,5), C(-1,-1), D(1,0) c) Pentágono ABCDE con A(1,2), B(4,6), C(9,6), D(13,1), E(9,-2) d) Cuadrilátero EFGH con E(6,1), F(3,-1), G(1,2), H(4,4).

4√ 13

2

5.- Punto medio de un segmento: se obtiene como el promedio aritmético de las abcisas y el promedio aritmético de las ordenadas.

M AB=

(

x 1+ x 2 y 1+ y 2 , 2 2

Ej.: Determinar el punto medio de

M=( Solución:

)

A

B M

CD si C(6,-4) y D(-4,0).

6−4 −4+0 , )=( 1,−2) 2 2

Ejercicios: 1) Determine el punto medio de los siguientes segmentos. a) AB

b)

c)

si A(-3,5), B(-7,1)

RS

−1 1 1 −1 R( , ),S( , ) 3 5 5 3 si

PQ

3 2 P(5,− ),Q(−4, ) 3 4 si

2) Considere el Δ ABC , cuyos vértices son A(-2,2), B(3,-3), C(6,6). Calcular; a) El punto medio de cada lado, designando como D,E,F respectivamente. b) Perímetro Δ ABC c) Perímetro Δ DEF 3) Considere el cuadrado ABCD, cuyos vértices son; A(-2,1), B(2,-3), C(6,1), D(2,5). Calcular: a) El punto medio de sus lados b) Punto medio de sus diagonales E. c) Perímetro del cuadrado ABCD

3

d) Perímetro del Δ ABE

4) Determine las coordenadas del punto A, extremo del segmento AB si B está determinado por (4,2) y su punto medio es M(-1,5). Rp.: A(-6,8)

ELEMENTOS DE LA RECTA: 1) Pendiente de una recta: es el grado de inclinación que tiene la recta con respecto al eje de las abcisas, X. Se presenta en forma algebraica y trigonométrica.

m=

y 2− y 1 x 2−x 1

m=tg α

y2 y1

 x1

Ejercicios: 1)

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos indicados y graficar: a) A(7,5), B(3,1) b) c) d) e)

2)

x2

D(2,3), E(-4,-9) C(2,-4), F(-1,2) A(3,-1), E(1,1) F(4,1), G(4,2)

Angulo de inclinación de la recta: es el ángulo que forma la recta con el eje X, medido en el sentido positivo y considerando al eje X como lado inicial.

m=tg α Ejercicios: 1)

a)Determinar el ángulo de inclinación si la pendiente es b)“ “ c)“ “ d)“ “

2. -1 2/3 2,6

2) Calcular la pendiente de la recta dada por: 4

a) A(3,4), B(8,9) b) C(-5,11), E(8,11) c) D(9,-7), F(9,5) d) E(-2,-7), G(-8,-10) 3) b) c) 4) a) b) c) d)

Considere el Δ ABC cuyos vértices son A(-6,-4), B(8,2), C(4,6). Calcular: a) pendiente de sus lados. punto medio de sus lados pendiente de sus medianas Sea el cuadrilátero ABCD, dado por A(-5,-4), B(1,-2), C(0,1), D(-6,-1). Calcular: pendiente de sus lados identifique el tipo de cuadrilátero que es determine la medida de sus diagonales. determine las coordenadas del punto de intersección de las diagonales.

2) Coeficiente de posición: es un número real que corresponde al valor de la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Se le designa por “n”.

n

3) Puntos colineales en un plano: tres o más puntos son colineales si pertenecen a la misma recta y por lo tanto tienen la misma pendiente. Ej.: Sea A(-1,-3)

m AB= como

B(3,1)

−3−1 =1 −1−3

C(7,5). ¿Son colineales?.

mBC =

m AB=m BC= m AV =1

3−7 =1 1−5

m AC=

−1 −7 =1 −3 −5

si son colineales.

Ejercicios: 1) Determine en cada caso si los puntos son o no colineales. a) A(2,3), B(4,5), C(6,7) b) H(-5,15),I(1,15), J(-4,15) c) D(5,4), E(14,15), F(9,9) d) A(1,0), F(1,1), S(2,2).

5

2) En cada caso calcular el valor de K para que los puntos sean colineales: a) A(4,6), B(8,k), C(9,4) b) D(2k,5), E(-3,4), F(-1,-2) c) P(7,-4), Q(0,2), R(6,3k)

3) ¿Porqué los puntos A(-3,-1), B(0,2), C(4,6) no pueden formar un triángulo? ECUACION DE LA RECTA Según sean los elementos conocidos de la recta se puede determinar su ecuación: i) ii)

ecuación de la recta conocidos dos puntos de ella ecuación de la recta conocidos un punto y la pendiente de ella.

I.- Ecuación de la recta conocido dos puntos de ella: o ecuación de la recta que pasa por dos puntos

y− y 1 =

y 2− y1 ( x−x 1 ) x 2−x 1

Ejercicios: 1) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: a) A(3,4), B(5,8) b) A(-3,-1) B(5,-4) c) P(0,0), Q(2,-3) d) N(-4,-3), N(-8,-3) e) R(-1,-7), S(3,5) 2) Sea Δ ABC de vértices A(-1,-1), B(8,3), C(4,7). Calcular: a) Puntos medios de cada lado b) Ecuación de la recta que contiene los lados 3) Sea el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(-3,2), B(1,-5), C(8,1), D(4,4). Calcule la ecuación de cada una de las rectas que contienen: a) sus diagonales b) los segmentos que unen los puntos medios de dos lados consecutivos. c) sus lados. II.- Ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto de ella. o ecuación punto-pendiente.

y − y 1 =m( x − x 1 )

6

Ejercicios: 1) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,-6) y cuya pendiente es 8. 2) Dada m=-4/5 y el punto (-2, ¾) . Determinar la ecuación de esa recta. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

y=mx + n

A.- Ecuación principal de la recta.

Ejercicios: 1) Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos:

1 1 ( , ) c) A 2 4

a) A(3,4), B(7,3) b) A(-5,2),B(-3,-1) 2) Escribe la ecuación principal de la recta, de modo que m y n sean, respectivamente: a) 1 y 1

b) 2 y –2

c) 3 y 0

B.- Ecuación general de la recta.

3 d) 5 y

1 4

Ax + By + C= 0

Donde A y B no son ambos nulos. Si C=0 Si B=0 Si A =0

  

Ax +By=0 Ax + C=0 By + C =0

recta que pasa por el origen recta es vertical recta es horizontal

Según esta forma la pendiente se puede también obtener como el valor del cuociente

m=−

A B

Ejercicios: 1) Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(5,-6) y cuya pendiente es –2. 2) Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(4,-9) y B(2,-3). 3) Completar la siguiente tabla con el término que falta: Pendiente a)

4

Intercepto

Ec Principal

Ec General

3 7

b)

y=2x-5

c)

6x-8y-4=0

4) Transformar las siguientes ecuaciones a su forma general: a) y= 6x-8

b)

5 2 y= x− 3 4

c)

6 y= x −2 5

5) Transformar a su forma de ecuación principal las siguientes rectas: a) 3x-8y-9=0 b) 2x+6y-3=0 c)9x-2y=0

INTERCEPTOS CON LOS EJES. Se requieren para graficar de una forma más simple y directa una recta, y se determinan como; Si x=0 entonces se obtiene el punto donde la recta corta al eje Y Si y=0 entonces se obtiene el punto donde la recta corta al eje X

Ejercicio: 1) Graficar: a) y=3x-2

b) y=2x

c) y=-3

d) x=4

2) Dado m=4 y P(3,1). Determinar la ecuación principal y general, y determinar su gráfico. 3) Determinar los interceptos con los ejes de las rectas: a) y=x-2 b) y= 2x+3 c) y= -4x-1

d) y= 3x

POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

RECTAS PARALELAS:

RECTAS PERPENDICULARES

L1 // L2

L1 ⊥ L2

ssi

m1=m2

m1=− ssi

1 m2

Ejercicios: 1) Determine en cada caso si las siguientes rectas son o no paralelas: a) 4x-2y+7=0 8x-4y-3=0 b) 2x-5y+4=0 2x-3y+4=0 8

c) –x+7y-2=0 d) x+y+4=0

2x-14y+1=0 x+y+2=0

2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P(13,-2) y es // a la recta 3x+54y-12=0. 3) Determine en cada caso si las siguientes pares de rectas son o no ¿ : a) 2x+5y+4=0 5x-2y+3=0 b) 3x-4y-7=0 6x-8y+7=0 c) x+2y-14=0 x-2y+7=0 d) 5x-y+6=0 x+5y-4=0 4) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P(-2,5) y es perpendicular a la recta 13x-y+5=0.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO.

d=

|Ax1 +By 1 +C|

√ A 2 +B2

Ejemplo: Encontrar la distancia entre la recta 3x+5y-20=0 y el punto P(3,-2)-

d=

|3 (3 )+5(−2 )+(−20 )|

√ 3 +5 2

2

21 = √ 34

ECUACION NORMAL DE LA RECTA.

xcos ω+ y sen ω− p=0 Corresponde a la expresión p: representa la distancia positiva entre el origen y un punto P cualquiera. Ejemplo: p=6.

Hallar la ecuación de la recta en forma normal, siendo

ω=60

o

y

x cos 60o + y sen 60o −6 =0 √3 1 x⋅ + y⋅ −6= 0 2 2 x+ √3 y−12=0 Ejercicio: 1)

ω=45

o

p=2 9

2)

o

ω=30

p=1

EJERCICIOS 1) Una recta pasa por los puntos A(-3,-1), B(2,-6). Hallar su ecuación. 2) ¿Cuál es la ecuación que representa a las siguientes rectas:

3) Dibuje la recta que corresponda a las siguientes condiciones: a) y= mx-n b) y= mx c) y=- mx +n d) y= -n e) y= x

4) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0 ; 3x-2y*9=0. 5) Las coordenadas de un punto son P(2,6) y la ec. de la recta es 4x+3y=12. Determinar: a) pendiente de la recta b) ec. de la recta que pasa por P y es ¿ a ella.

6) Demostrar que la recta que pasa por los puntos A(4,-1) y B(7,2) bisecta el segmento cuyos extremos son C(8,-3) y D(-4,-3). 7) Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(-2,2) y D(3,-4). Hallar la ecuación de ambas rectas. 8) Si el punto P tiene ordenada 10, de modo que está sobre la recta de pendiente 3 que pasa por el punto A(7,-2). Calcular la abscisa de P.

10

9) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-2) y su pendiente es; a) 3/4 b) –4/5 10)Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (2,3) y (-1,4) b) (-7,2) y (-2,-5) c) (3,3,) y (3,6) 11) Determine los interceptos de las rectas: a) 3x-2y-4=0

b) 3x+4y+12=0

12)Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3,1) y es // a la recta que pasa por los puntos (3,-2) y (-6,5). 13)Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2,-4) y es // a la recta 8x2y+3=0. 14)Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por (-2,3) y (-5,-6). 15)Sean A(4,5), B(8,-2), C(-4,1) los vértices del Δ ABC . Determine la ecuación de sus simetrales.

16)Hallar el valor de K para que la recta Kx +(k-1)y=18 sea // a la recta 4x+3y+7=0. 17) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-2y+9=0. 18) La recta que pasa por los puntos (-3,1) y (2,4). ¿es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1,3) y (1,1)? 19) Comprueba que el triángulo ABC, cuyos vértices son A(-2,1), B(6,1) y C(6,4), es rectángulo en B.

20) Calcule la distancia entre el punto (4,1) y la recta 2x-y+1=0. 21) Calcule el área del triángulo ABC, cuyos vértices son A(2,-1), B(-5,4) y C(-2,3).

11

12...