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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL “RAFAEL MARIA BARALT” FACULTAD DE INGENERIA NUCLEO TRUJILLO

CINENETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN MOVIMIENTO

INTEGRANTE: RAMÓN QUEVEDO C.I. 16.328.244

TRUJILLO, FEBRERO 2021

INTRODUCCION Un cuerpo rígido es aquél en el que la distancia entre cualquier parte puntos permanece constante, es decir, es un cuerpo ideal cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna circunstancia. Una vez definido el cuerpo rígido, vamos a definir el movimiento plano. Movimiento Plano. Dado un plano fijo de referencia, un cuerpo rígido realiza un movimiento plano si cada partícula permanece a una distancia constante de dicho plano; esto no implica que la distancia al plano sea la misma para todas las partículas: Pensemos en el movimiento que realiza una puerta que podemos aproximar como cuerpo rígido cuando se abre, cada uno de sus puntos siempre permanece a una distancia constante del piso, que en este caso juega el papel de plano de referencia fijo, por ello se dice que es un movimiento plano. Los tipos de movimiento de un cuerpo rígido pueden ser muy variados: traslación; rotación alrededor de un eje fijo, como un carrusel; rotación alrededor de un eje y traslación de este, como una llanta de carro que se mueve por una vía recta; rotación alrededor de un eje y movimiento de este alrededor de un punto fijo, como aproximadamente sucede con un trompo; rotación alrededor de un eje que puede moverse libremente, como en un giroscopio. Las ecuaciones que rigen los dos últimos tipos de movimientos son complejas, pero en el caso simple de la rotación alrededor de un eje fijo ella es análoga a la segunda ley de Newton, M = Iα , donde M es el momento resultante respecto al eje de rotación de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, I su momento de inercia relativo a dicho eje y α su aceleración angular. Esa es la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación alrededor de un eje fijo, también denominada segunda ley de Newton para la rotación.

Ecuaciones del movimiento plano A continuación se van a extender las leyes de Newton para poder cubrir el movimiento plano de un cuerpo rígido, proporcionando así ecuaciones que relacionen el movimiento acelerado lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos que lo originan. Dichas ecuaciones pueden utilizarse para determinar: 1.- Las aceleraciones instantáneas ocasionadas por fuerzas y momentos conocidos, o 2.- Las fuerzas y momentos que se necesitan para originar un movimiento prefijado. Traslación, Rotación y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, según su naturaleza, en: 1.- Traslación. 2.- Rotación en torno a un eje fijo. 3.- Movimiento plano cualquiera. Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera. Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:

Traslación Un cuerpo rígido lleva movimiento de Traslación cuando todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimiento. Durante la Traslación, no hay movimiento angular (ω = α = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal a. La Traslación sólo puede tener lugar cuando la recta soporte de la

resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G. En el caso de Traslación, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el cdm G del cuerpo, (x = y= las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

0)

Cuando un cuerpo está animado de una traslación como la ilustrada en la 1ª figura, podemos tomar el eje x paralelo a la aceleración aG, en cuyo caso la componente aGy de la aceleración será nula. Cuando el cdm de un cuerpo siga una curva plana, como se observa en la 2ª figura, suele ser conveniente tomar los ejes x e y en las direcciones de las componentes instantáneas normal y tangencial de la aceleración. Si se suman los momentos de las fuerzas exteriores respecto a un punto que no sea el cdm deberá modificarse la ecuación de momentos a fin de tener en cuenta los efectos de aGx y de aGy. Así,

Rotación en torno a un eje fijo Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.

La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento (IGZX = IGZY = 0) y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo (x = y = 0). En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

A menudo aparecen rotaciones en torno a ejes fijos que no pasan por el cdm del cuerpo. La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento (IGZX = IGZY = 0) y que gira en torno a un eje fijo que NO pasa por el cdm G del cuerpo En este caso aA = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

Movimiento plano cualquiera En la figura, donde un émbolo está conectado a un volante mediante una biela AB, se ilustran tres formas de movimiento plano: 1.- Rotación del volante en torno a un eje fijo. 2.- Traslación rectilínea del émbolo 3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB Cuando el volante gira un ángulo θ, el pasador A recorre una distancia SA = Rθ a lo largo de un camino circular. El movimiento del pasador B se puede considerar que es una superposición de los desplazamientos resultantes de una traslación curvilínea de la biela y de una rotación de la biela en torno al pasador A. Como resultado de estos dos desplazamientos, el pasador B recorre una distancia SB a lo largo de un camino horizontal. Así pues, el movimiento plano de la biela AB es la superposición de una traslación y una rotación en torno a un eje fijo. Análisis Cinético de la Biela: Tenemos dos posibilidades: A.- Si se toma el origen de coordenadas en el pasador A y los ejes x e y están orientados según el eje de la biela y perpendicularmente a ella (y = 0), respectivamente, las ecuaciones generales de movimiento plano quedan así:

B.- Si se sitúa el origen del sistema de coordenadas en el cdm G de la biela, las ecuaciones se reducen a:

que ir con cuidado al aplicar las ecuaciones y reducirlas adecuadamente mediante la selección del sistema de coordenadas xyz solidario al cuerpo. Ejemplo 1: Disco macizo montado sobre un árbol que forma con el eje del disco un ángulo θ. En un sistema de coordenadas xyz de origen coincidente con el cdm G del disco: el plano xz es plano de simetría. Como ( x = y = 0. IGYZ = 0 y aG=0) tenemos:

Siguiendo con el análisis de cuerpos no simétricos respecto al plano del movimiento tenemos otro ejemplo: Ejemplo 2: Placa triangular de grosor uniforme solidaria a un árbol circular que gira. Para un sistema de coordenadas xyz con origen A en el eje del árbol, el plano xz es plano de simetría, Como (y = 0, IAyz = 0 y aA = 0) tenemos:

PRINCIPIO DE D’ ALEMBERT El principio de D’ Alembert enunciado por Jean D’ Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico. El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo: Pi = momentum de la partícula i-ésima. Fi = fuerza externa sobre la partícula i-ésima. = cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes. El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:

• En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. • En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange. Finalmente debe señalarse que el principio de d‘ Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D‘ Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana. El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa Fi más una fuerza de ligadura Ri entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de momentum viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma Pi-Fi=Ri si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo. Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.

ROTACIÓN CENTROIDAL Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento. En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante Mc es igual a Iα.

ROTACIÓN NO CENTROIDAL El sistema equivalente para este caso se representa en la figura. Si se toma momentos con respecto a O se tiene, ya que el momento de es cero. Pero y como entonces

Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento. A diferencia de la rotación centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotación no centroidal es diferente de cero ya que el centro de masa posee aceleración. MOVIMIENTO DE RODADURA Si un cuerpo rueda sobre otro, puede ocurrir que en el punto de contacto no haya movimiento relativo, en cuyo caso se dice que el movimiento es de rodadura pura, o que haya movimiento relativo; en este caso se habla de rodadura con deslizamiento. Si por ejemplo una rueda, disco, cilindro o esfera sin deslizar sobre una superficie plana la fuerza de ficción “f” puede tomas cualquier valor entre o y msN, pero la aceleración del centro de masa es ar, entonces las ecuaciones ∑ F=mar y ∑ Mc=I ∝ se utiliza para determinar f y a.

Si el cuerpo no está en rodadura pura la fuerza de fricción es f= μ kN y la aceleración del centro de masa es diferente de ar. Con la ecuaciones ∑ F=ma c y ∑ Mc=I ∝ se determina ac y a

Cuando en una situación determinada no se sabe si hay o no rodadura pura, se supone inicialmente que no hay deslizamiento, entonces la fuerza de fricción es desconocida pero se conoce la relación entre aC y a. Si al determinar f se encuentra que es mayor que μsN, quiere decir que el cuerpo está deslizando y que la fuerza de fricción debe tomarse como f= μ xN y que ac ≠ ar.

CONCLUSIONES Un cuerpo rígido es aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de cargas que actúan sobre ellas, en lo general esas deformaciones son muy pequeñas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura que se toma en consideración El análisis se basa en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizante. El concepto fundamental de que el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos escalares y vectoriales de dos vectores.

BIBLIOGRAFIAS https://es.slideshare.net/EGIPTO19/cinetica-de-un-cuerpo-rigido https://prezi.com/6nisxadeibx7/ecuaciones-de-movimiento-de-un-cuerporigido/#:~:text=Esta%20ecuacion%20de%20movimiento%20rotatorio,la %20aceleracion%20angular%20del%20cuerpo https://sites.google.com/site/dinamicadelarotacion/ecuaciones-delmovimiento-de-un-cuerpo-rigido https://core.ac.uk/download/pdf/48398555.pdf https://support.ptc.com/help/creo/creo_pma/r6.0/spanish/index.html#page/sim ulate/cfd/Dynamics/MotionsOfARigidBody.html...