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Álgebra y Geometría Analítica

Plano

Prof. Graciela Del Valle

Plano Hallar la ecuación de un plano significa hallar una ecuación que se satisfaga para los infinitos puntos del plano, y solamente para ellos. Ecuación del plano determinado por un vector perpendicular al mismo y un punto perteneciente a dicho plano z   n (A, B, C); n  π Datos  P1 (x1 , y1 , z1 )  π  Consideramos un punto genérico del plano π n P1 P(x,y,z)  queda determinado el vector P1 P que e encuentra en el plano π  P  P1 P  n  por ser dos vectores π y perpendiculares, su producto escalar será nulo.  P1 P  n  0 Ecuación Vectorial x Ahora reemplazamos cada vector por sus componentes:  P1 P  ( x  x1 ; y  y1 ; z  z1 ) ; n  (A, B, C) (x  x1; y  y1; z  z1)  (A,B,C) = 0  resolviendo el producto escalar A. (x  x1) + B. (y  y1) + C. (z  z1) = 0 Ax  Ax1 + By  By1 + Cz  Cz1 = 0 Ax1  By1  Cz1 Ax + By + Cz  Ax1  By1  Cz1 = 0  llamando D =     Son datos  Componentes de los vectores dados Ax  By  Cz  D  0 Ecuación General del Plano z  n  (A, B, C)  π

s

Si D  0 podemos obtener la ecuación segmentaria del plano Ax  By  Cz  D π Ax By Cz  D    y q  D D D  D x y z p 1   D  D  D A B C p: valor donde π corta al eje x p q s q: valor donde π corta al eje y s: valor donde π corta al eje z

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x y z    1 Ecuación Segmentaria p q s

Ejemplo: Hallar la ecuación general y la ecuación segmentaria del plano π que pasa por  el punto P1(1,2,4) y es perpendicular al vector n  (4,2,3) . Graficar La ecuación general del plano es Ax + By + Cz + D = 0 donde A, B y C son las componentes de un vector normal al mismo  reemplazamos estos coeficientes por las  componentes de n  (4,2,3) π: 4x  2y + 3z + D = 0 (1) Como P1 es un punto  π  sus coordenadas verifican su ecuación  π = 4.(-1)  2.2 + 3.4 + D = 0

P1(-1,2,4) punto perteneciente a π Resolviendo:  4  4 + 12 + D = 0  8 + 12 + D = 0  D  4 Reemplazando este valor de D en (1)  π : 4x  2y  3z  4  0 Ecuación General Para hallar la ecuación segmentaria pasamos -4 al 2do miembro, luego dividimos todo por 4. 1 1 x y z 4 x 2 y 3z 4   1 Ecuación Segmentaria de π      1 2 4 4 4 4 4 3 1 2 z 3

4 2

3

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y 1 1

x Trazas de un plano: Son las rectas que resultan de la intersección del plano π con los planos coordenados.

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En el ejemplo anterior, la traza sobre el plano coordenado ‘xy’ se obtiene anulando z en la ecuación general  4x  2y  4  0 Traza 1 Traza sobre ‘xz’  y = 0  4x  3z  4  0 Traza 2 Traza sobre ‘yz’  x = 0   2y  3z  4  0 Traza 3 Posiciones particulares de un plano: Partimos de la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0 1. Si A  0  B  0  Cz + D = 0  z 

El plano π resulta

D ó zs C

z

Paralelo al plano coordenado ‘xy’ Perpendicular al eje ‘z’

s

y

x 2. Si A  0  C  0  By + D = 0  y  El plano π resulta

D ó yq B

z

// ‘xz’  ‘y’

q

y

x 3. Si B  0  C  0  Ax + D = 0  x  El plano π resulta

D ó x p A

z

// ‘yz’  ‘x’ y p x

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4. Si A  0  By + Cz + D = 0 El plano π resulta

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z s

// ‘x’  ‘yz’

q

y

x z

5. Si B  0  Ax + Cz + D = 0

s El plano π resulta

// ‘y’  ‘xz’ y p x

6. Si C  0  Ax + By + D = 0 El plano π resulta

z

// ‘z’  ‘xy’ q

y

p x 7. Si D  0  Ax + By + Cz = 0

z

El plano π pasa por el origen de coordenadas

y

x

4...