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TEMA 2.2 Vectores: prodcu prodcuto to escalar, producto vector vectorial, ial, producto mixto

1. 2. 3.

Producto escalar de dos vectores Producto vectorial de dos vectores Producto mixto de tres vectores

1. Producto escalar de dos vectores 1.1 Definición: Dados dos vectores 𝑢󰇍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y 𝑣 = (𝑎´, 𝑏´, 𝑐´), su producto escalar es un número real definido por la siguiente fórmula:

1.2 Condición de perpendicularidad:

󰇍󰇍 · 𝒗 𝒖 󰇍󰇍 = |𝒖 󰇍 | · |𝒗 󰇍 | · 𝐜𝐨𝐬(𝒖 󰇍 ,𝒗 󰇍 ) = 𝒂 · 𝒂´ + 𝒃 · 𝒃´ + 𝒄 · 𝒄´

Dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 son perpendiculares si el ángulo que forman es 90º, es decir si el coseno del ángulo que forman ambos vectores es cero. Por tanto, dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 serán perpendiculares si su producto escalar es cero, es decir, si 𝑢󰇍 · 𝑣 = 0.

Si dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 son perpendiculares lo representaremos por 𝑢󰇍 ⊥ 𝑣.

1.3 Aplicación del producto escalar al cálculo del ángulo que forman dos vectores: Dados dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 podemos calcular el ángulo que forman por la siguiente fórmula: 󰇍𝒖󰇍 · 󰇍𝒗󰇍 󰇍󰇍 𝐜𝐨𝐬(𝒖 ,󰇍󰇍𝒗) = |𝒖 󰇍󰇍 | · |𝒗 󰇍󰇍|

Nota: el ángulo α que forman los vectores es α = arccos ( forma positiva.

Ejemplo:

𝑢󰇍󰇍󰇍 ·𝑣󰇍 ), 󰇍󰇍󰇍 |·|󰇍𝑣󰇍 | |𝑢

recuerda que este valor debe tomarse de

󰇍 = (2,2,1) 󰇍v = (1,-1,√2); Calcular el ángulo que forman los vectores. Sean 𝑢 𝑐𝑜𝑠( 󰇍𝑢, 𝑣) =

2−2+√2 √4+4+1⋅√1+1+2

=

√2 6

⇒ 𝛼 = arccos

√2 6

= 76º36´

1.4 Propiedades del Producto escalar Material elaborado por: Ruben Muñoz Sotelo Academia Métodos, Centro de Formación Integral Avd. San Francisco Javier, 19 1º G 41005 Sevilla

954 650 700 [email protected]

©MÉTODOS S.L .U Centro de formación integral Prohibida su reproducción total o parcial

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• • • • •

Conmutativa: 𝑢 󰇍 · 𝑣 = 𝑣 · 𝑢󰇍 Asociativa respecto a los escalares: (k· 𝑢󰇍 )· 𝑣 = k·(𝑢󰇍 · 𝑣) |𝑢 󰇍 | = √𝑢󰇍 · 𝑢 󰇍 (ya que 𝑢 󰇍 · 𝑢󰇍 = |𝑢 󰇍 | · |𝑢󰇍| · cos(𝑢󰇍 , 𝑢󰇍 ) ≥ 0 ) 󰇍 = 0 ó 𝑣 = 0  𝑢󰇍 · 𝑣 = 0. Si 𝑢 Distributiva respecto a la suma de vectores 𝑢󰇍 ·(𝑣 + 𝑤 󰇍 )=𝑢 󰇍 · 𝑣 + 𝑢󰇍 · 𝑤 󰇍󰇍

2. Producto vectorial de dos vectores 2.1 Definición: El producto vectorial de dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 es otro vector con las siguientes características: • • •

su módulo es: |𝑢󰇍 · 𝑣| = |𝑢󰇍 | · |𝑣| · sen(𝑢󰇍 , 𝑣) su dirección es perpendicular a 𝑢󰇍 y 𝑣. su sentido es el de avance de un sacacorchos para ir de 𝑢󰇍 a 𝑣 .

El cálculo del producto vectorial se hará de la siguiente forma: 𝑖 𝑗 𝑘󰇍 si 𝑢 󰇍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y 𝑣 = (𝑎´, 𝑏´, 𝑐´) ⇒ 𝑢󰇍 x 𝑣 = | 𝑎 𝑏 𝑐 | = 𝑎´ 𝑏´ 𝑐´ = (𝑏 · 𝑐´ − 𝑐 · 𝑏´)𝑖 − (𝑎 · 𝑐´ − 𝑐 · 𝑎´)𝑗 + (𝑎 · 𝑏´ − 𝑏 · 𝑎´)𝑘󰇍 = (𝑏 · 𝑐´ − 𝑐 · 𝑏´, −𝑎 · 𝑐´ + 𝑐 · 𝑎´, 𝑎 · 𝑏´ − 𝑏 · 𝑎´) Ejemplo:

󰇍 = ( 2, -3 ,4) y 󰇍v = (1, -2, 3), calcular 󰇍u x 󰇍v; Sean 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘󰇍 u 󰇍 x 󰇍v = | 2 −3 4| = (−1, −2, −1) 1 −2 3

2.2 Condición de paralelismo: Dos vectores 𝑢󰇍 y 𝑣 son paralelos si el ángulo que forman es 0º o 180º, es decir si el seno del ángulo que forman ambos vectores es cero. Por tanto, dos vectores serán paralelos si su producto vectorial es cero, es 󰇍 x 𝑣 = 0. decir, si 𝑢 Si dos vectores son paralelos lo representaremos por 𝑢󰇍 ∥ 𝑣 . 2.3 Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas: Para calcular el área de un paralelogramo definido por dos vectores: •

Área= |𝑢󰇍 x 𝑣|

Para calcular el área de un triángulo ABC definido por dos vectores •

󰇍 x 𝑣| Área= |𝑢 1

2

Ejemplo:

Calcular el área del triángulo de vértices A = (1, -2, 3), B = (4, 6, 1) y C = (-2, 3, 0)

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󰇍 𝑖 𝑗 𝑘 = | 3 8 -2| = (14 , 15, 39) -3 5 -3 1 󰇍 x 󰇍v | = √196 + 225 + 1521 = √1942 = 44,06 |𝑢 Área = ⋅ 44,06 = 22,03 2

󰇍󰇍󰇍 = (3, 8, -2) 󰇍v = 𝐴𝐶 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (-3, 5, -3) ⇒ 󰇍ux v󰇍 󰇍𝑢 = 󰇍𝐴𝐵

2.4 Propiedades del producto vectorial: • • • • •

Si 𝑢 󰇍 = 0 o 𝑣 = 0  𝑢󰇍 𝑥 𝑣 = 0 󰇍󰇍󰇍 x 𝑢 El producto vectorial es anti conmutativo, es decir, 𝑢󰇍 x 󰇍󰇍𝑣󰇍 = −𝑣 󰇍 󰇍 x 𝑣 + 𝑢󰇍 x 󰇍𝑤 󰇍 Distributiva respecto a la suma de vectores: 𝑢󰇍 x (𝑣 + 𝑤󰇍 ) = 𝑢 Asociativa respecto al producto por escalares (números): (t · 𝑢󰇍 ) x 𝑣 = 𝑢󰇍 x (𝑡 · 𝑣) = 𝑡 · (𝑢󰇍 x 𝑣) El producto vectorial, en general, no es asociativo, es decir: (𝑢󰇍 x 𝑣) 𝑥 𝑤 󰇍󰇍 ≠ 𝑢󰇍 x (𝑣 x 𝑤 󰇍󰇍 )

3. Producto mixto de tres vectores 3.1 Definición: 󰇍󰇍 como el producto escalar de 󰇍𝑢 por el producto Definimos el producto mixto de tres vectores 𝑢󰇍 , 𝑣 𝑦 𝑤 vectorial de 𝑣 𝑦 𝑤 󰇍󰇍 , (𝑢 󰇍 , 𝑣, 𝑤 󰇍󰇍 ) = 𝑢 󰇍 · (𝑣 x 𝑤 󰇍󰇍 ). También se puede calcular de la siguiente forma: 𝑎 𝑏 𝑐 si 𝑢 󰇍 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑣 = (𝑎´, 𝑏´, 𝑐´) y 𝑤 󰇍󰇍 = (𝑎´´, 𝑏´´, 𝑐´´) ⇒ (󰇍𝑢 , 𝑣 , 𝑤 󰇍󰇍 ) = | 𝑎´ 𝑏´ 𝑐´ | 𝑎´´ 𝑏´´ 𝑐´´ 3.2 Aplicación del producto mixto al cálculo de volúmenes:

Para calcular el volumen de un paralelepípedo: •

𝑉𝑜𝑙 = |(𝑢󰇍 , 𝑣 , 𝑤 󰇍󰇍 )|

Para calcular el volumen de un tetraedro: •

𝑉𝑜𝑙 = |(𝑢 󰇍 , 𝑣, 𝑤 󰇍󰇍 )| 6 1

3.3 Propiedades del producto mixto • • • • •

El producto mixto cambia de signo si intercambiamos dos de los vectores entre sí, es decir: (𝑢 󰇍 , 𝑣 , 𝑤󰇍 ) = −(𝑣 , 󰇍𝑢 , 󰇍𝑤 󰇍 ) y así con cada cambio Como consecuencia de lo anterior, teniendo en cuenta que intercambiamos dos veces tenemos 󰇍 , 𝑣, 𝑤 󰇍󰇍 ) = (𝑣 , 𝑤 󰇍󰇍 , 𝑢󰇍 ) que: (𝑢 󰇍 󰇍 , 𝑣 , 𝑤󰇍󰇍 ) = (𝑢 󰇍󰇍 , 𝑣 , 𝑤 󰇍 , 𝑣, 𝑤 󰇍󰇍 ) + (𝑢´ 󰇍) Distributiva respecto de la suma de vectores: (𝑢󰇍 + 𝑢´ Si t es un número real, entonces: t · (𝑢 󰇍 , 𝑣, 𝑤 󰇍 ) = (𝑡𝑢 󰇍 , 𝑣 , 𝑤󰇍󰇍 ) = (𝑢 󰇍 , t𝑣 , 𝑤 󰇍 ) = (󰇍𝑢 , 𝑣 , 𝑡𝑤 󰇍 ) Tres vectores son linealmente dependientes (o son coplanarios)  (𝑢󰇍 , 𝑣 , 𝑤 󰇍 )=0

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