S05.s1 - IMI Aplicaciones Producto Vectorial PDF

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PRODUCTO VECTORIAL Antes de convencer al intelecto, es imprescindible tocar y predisponer el coraz n. BLAISE PASCAl

LOGRO DE LA SESI N: Al nalizar la sesi n, el estudiante aplica los conceptos de producto vectorial y triple producto escalar y vectorial

4.14. Producto Vectorial o Producto Cruz

i×i = →− 0

→−

0 ;j ×j =

→− 0 ; k× k =

i × j =k ;j × k =i ;k×i =j

Dados los vectores →−a = (a1 , a2 ,

j × i = − k ; k × j = −i ; i × k = −j

→−

a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) , el producto vectorial o

;

producto cruz se de ne como: →− →−

.i

j

→− →− →− →−a b = 1. →−a × 0 si = 0 o

k

→− .

a × b = . a1 a 2 a3 ..b1 b2 b3 .

que por medio de m todo de las sub determinantes obtenemos: a3 a a →−a × →−b = . a2 . i − . 1 3. j a a2 .k +. 1 .b2 b3 . .b1 b3 . .b1 b2 .

Regla de la mano derecha: Si los dedos de ¨ ¨ ¨ la mano derecha apuntan a ¨lo largo de uno de los vectores y despu s se curvan hacia el otro vector , el pulgar dar la direcci n de →−a × →−

Propiedades del producto Vectorial

b .

Geom tricamente (gr camente) El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya direcci n es perpendicular a los dos vecto- res cuyo m dulo es igual a:

→− b = 0 →− →− →− a × b =− b × →−a 2. →− b ± →−c = →− a × b ± 3. →−a × →−a × →− c →−a ) × →−b = →− a × λ→−b = 4.(λ→− →− λ a× b →− 0 a→−a = 5. →− × →−a · → −a × → −b = 0, =⇒ →− a ⊥ 6. →− →−a b × →− ¨ →− 2 ¨ ¨ →− ¨ 2 →−a × →−b →− → − ¨

2

= ǁ →−a ǁ → − 2 →−

→− 2

b

senθ

2

Producto Vectorial de los Vectores Unitarios

Como

ˆi = (1 , 0 , 0 ), ˆ k = (0 , 0 , 1 ) , entonces:

ˆi = ˆ j (0 , 1 , 0 ),

Ejemplo 29.→− Dados los vectores → −a = i b = 4i + 5 j + 6k . Halle el + 2j + 3k y →− b . producto vec- torial de →−a × = ǁ a ǁ ¨ b ¨ Sen θ, =⇒ Soluci n. :

7. ¨→−a × b ¨ = ǁ→−a ǁ2 ¨ b ¨ − →−a b · 8. a × b ¨

→−a × →−b →−a ¨= ǁ →− b ¨ senθ ǁ¨

57¨

VECTORES EN R3

4.15. Triple Producto Vecto- rial

Demostraci n:

→− →−a × →− b × →−c b · (→ −a · = →−c ) − →−c · →−a · → −b

rea del paralelogramo A = base × altura

¨ ¨ ¨ ¨

4.16. Triple Product o Escalar

Podemos considerar como base al altura como ǁ→ −a ǁ senθ, entonces:

→− b

y

El producto mixto w o escalar es igual al pro- ducto escalar 3 del primer vector por Ejemplo 30. Calcular el producto el triple producto escavectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por: [ →−u , → −v , →−w ] = →−u · (→ −v × →− w )

Este producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por las las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal .. .

u

.

1

u 2

u 3

[→−u , →−v , →−w ] = v1 v2 v3

w 1

w 2

P gina 58

VECTORES EN R3 el producto vectorial est de - nido por:

→− b

A=

ǁ→− a ǁ senθ = →−a × →− b

Ejemplo 31. Los puntos A(1 , 1 , 1 ), B (2

→−

B A = = (0, (2, −1 , 3); 2, −5) ; (1, −1, −2)

,2,2) , C (1 , 3 , 3 ) son

tres v rtices consecutivos de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuar- to v rtice y calcula el rea. Soluci n. : →−

→−

4.18. APLIC ACIO NES b DEL →−a A × ¨= ¨ TRIPL →− ¨ b ¨ ¨ E¨ PROD UCTO ESCAL AR −

1 2

TRI NGULO: El rea de un tri ngulo (que es la mitad del rea del paralelogr amo) mediante lar de

→

¨

Se puede emplear para hallar el un volumen de Paralelep pedo, un Prisma Recto, un Tetrae- dro

C =

Soluci n. :

4.17. Aplicac

iones de Produc to Vectori al Se puede emplear para hallar el rea de un Paralelogramo o un Tri ngulo en el espacio

PARALELOGRAMO: El rea de un para- lelogramo mediante el

producto vectorial est de nido por: A = ¨ → − a ×

P gina 59

VECTORES EN R3

P gina

VECTORES EN R3 .

Volumen de un Paralelep pedo: V = |[ →−u , →−v , →− w ]|

Volumen de un Prisma Recto: .

.

[−→.u , 2V = .

Volumen de un .

[−→.u , . 6V = .

P gina

VECTORES EN R3

INTRODUCCI N A LA MATEM TICA PARA INGENIER A Semana 5

Sesi n 02

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Dados 2, 3) . De-

→−

A = (1, 1 , 2) ;

A+

B = (− 1,

2. Sean los vectores

→−

→− →− A × B ×

B

Soluci n. :

→− b perpen-

y

ǁ

¨ ǁ ¨

termine el valor de →−

→−

→−a

diculares entre si. Si →− a = 3 y →− b = 4 . Determine el valor de ¨ →− × →− − a¨ + b ¨

Soluci n. : → −a

R.: (−34 , 5 , −3 ) →− b = 4 y el ngulo 3. Sea ǁ→− a ǁ¨ = ¨ →− → − ay b es de 30 . Calcular el en tre

rea del tri n-

R.: 24 4. Sean →−

los

vectores

→−a = (1 ; −3 ; 5 ) , → −c = (3 ; 0 ; 2 )

b = (m + 1 ; m − 3

; m) ,

a gulo construido sobre los vectores →− − →− b →− → b y 3 −a + 2 2

R.: 32

Soluci n. :

P gina 60

VECTORES EN R3 las aristas de un tetraedro. Determine el valor de m para que el volumen del tetraedro sea 13 u2 Soluci n. :

R.: − 33 ; 123

} 16

16

P gina 60

VECTORES EN R3 5. Dados los vectores →− a = (1, 5, 6) y →− b = (−2, 4, −3) . Calcular

→− a

+ P roy→−a

+ →− b

→−

→− b × →−a − b

6. Sean los puntos A(3 , 2 , 1 ), B (1 , 2 , 4 ) , C (4 , 0 , 3 ). y D(1 , 1 , 7 ). Hallar −→la B A proyec- ci n ortogonal del−vector −→ C D sobre el vec- tor y representarlo gr camente. Soluci n. :

Soluci n. :

R.: (78 , 18 , −28 ) 6

R.:

13 −13 27 9 −13 36

;

;

7. Hallar el volumen

del tetraedro cuyos v r- tices son los puntos A(3 , 2 , 1 ), B (1 ,

R.: 5

2,4) , C (4 , 0 , 3 ). y D(1 , 1 , 7 )

Soluci n. :

P gina 61

VECTORES EN R3 8. El m dulo de la suma de dos vectores es 14 y el m dulo de la diferencia de los mismos es 16 , el ngulo entre la suma y la diferencia es 60 . Halle el m dulo de cada vector. Soluci n. :

R.: ǁAǁ = 13; √ ǁBǁ = 57

P gina 62

INTRODUCCI N A LA MATEM TICA PARA LA INGENIER A EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcule el producto mixto de los vectores

→−

A = (2, −1, 3); →− (1, −1, − 5) C = ; 2)

→−

B = (0, 2,

2. Dados los vectores

y →−

b Proy3

→−a

= ( −2, 0, −3) . 2 →−a

=

(2 , 5, − 1)

Calcular

−→

Soluci n. :

Soluci n. :

R.: −19

R.:

→− 3. Sean →− a y b dos vectores que forman en- tre si un ngulo de 45 y el m dulo de →−a →− →−el m dulo de es 3. Hallar cual→− debe ser b para que a − b sea

p erpendicular al

59 1

;

; − 359

4. Dados los vectores →− r = ( m + 1, n + 1, m q) − →− t = (9, −12, 3) (0 , n, 4) y ; →− →−s = →− →− →− Si t = r × s , adem s a = (2m, n, −3q)

vector →−a Soluci n. :

59 6

√

R.: 3 2

;

→−

b = (m, −3n + q , − q) .

Determine: los vectores →− r , →−s , → −a , →− b y el

rea del paralel ogram o cuyos lados →− a son y

Soluci n. :

R: → −r = (3 ; 2 ; −1 ); →− s = (0 ; 1 ; 4 ); →− a = (4 ; 1 ; −9 ) ; →− b = (2 ; 0 ; −3 ) ; A =7

INTRODUCCI N A LA MATEM TICA PARA LA INGENIER A TAREA DOMICILIARIA 1. Si →−a = (1 , 2, 1) ; a) M = →−a ·

→−

b = (2 , 3, 2) y →−c = (4 , 1, −2), hallar:

→−

b × → −c . →− b × →−c b) N = (→ −a + →−c ) × ,2, 2. Dados los vectores →− a — =( 3−

−1 ),

→− b = (5 , 0 , 3 ),

→− c = (2 , 3 , 4 ), Realizar las siguientes operaciones →− →− →−a + b × → −c + P roy −→ c +−→a 3 b ( ) →−

b = − i + 3 j y que sea unitario. 3. Hallar un vector p erpendicular a → −a = 2i + 3j + k ; 4. Determinar el valor de m de modo que los puntos A(2 , 1 , 1 ), B (4 , 2 , 3 ), C (−2 , m , 3m ) 2

sean colineales. 5. Sea ǁ→− a ǁ 4= √3 ; ¨

→−

2

→− b ¨ = 2 y el ngulo entre →−3a y b es 2π . Hallar ¨ 2 →−a +

→− →− b × 2 →−a − 5 b ¨. 3

6. Dados los vectores →−a = (1, 2, 3) ; Calcular el triple pro ducto escalar.

→−

. →−c = 3j − 1, 4) y

b = (1, —

2k

7. Sea A el punto medio del segmento de extremos P(3 , 2 , 1 ) y Q(−1 , 0 , 1 ).Calcular el volumen del tetraedro de v rtices A, B (2 , 1 , 3 ), C (1 , 2 , 3 ) y D(−3 , −4 , 1 ). 8. Determinar los valores de m para que pedo de nido por los siguien→−el volumen del paralelep b = (−2 , 4 , 3 ) , →−c = (m + 2 , m, m − 2 ) , sea tes vectores 3→−a = (1 , 3 , −1 ), igual a 38 u

.

9. Hallar el volumen del paralelep pedo si los vectores que forman la base son: →−v = −(2 , 4 ), →− w = (2 , 4 , 3 ) y los componen tes de la altura son: →−u = (1 , 3 , 5 ) . √

→−

→−

√

= 12 . b ortogonales, si ǁ→−¨a ǁ ¨= 3; b 10.Siendo los vectores →−a y →− →− a −3 b Determine el valor de el rea del paralelogramo formado por los vectores 2 →−

b . y 3→ −a + √ →− →− a ǁ = ¨3; ¨ b 11.Sea ǁ

→− b es de 30 . Halle el = 1 y el ngulo entre →− a y →− →− →− →− →− →− u = a + b y v = a− b . ngulo que forman los vectores

Respuesta: 1. 6 ; (−18 , 58 , 84 )

6. 3 7. 3 11

√− 1 √− 1

√

1,

2.

142

;

−56

−74

;

} 16 8. −2; 3 1 3. 91 ; 91 ; 4. m = −2 5.

9

91

9. 37 10. 66 11. θ =

2

√ 7...