103- Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych PDF

Preview

Summary

Nr ćwiczenia: 103Data: 20.Imię i nazwisko: Wydział: IM Semestr:III Grupa: LProwadzący:Ocena:Temat: Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych.1 teoretyczne: Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych, a więc i zmiana objętości. Elementarny przyro...

Description

Nr ćwiczenia: 103

Data: 20.12.2020

Imię i nazwisko:

Wydział: IM

Semestr:III

Grupa: L4 Ocena:

Prowadzący:

Temat: Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych. 1.Podstawy teoretyczne: Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych, a więc i zmiana objętości. Elementarny przyrost temperatury dT ciała, którego długość całkowita wynosi l, powoduje przyrost długości dl określony wzorem:

dl=α l dT

(105.1) Współczynnik  nazywamy współczynnikiem rozszerzalności liniowej. Jego wartość liczbowa jest równa względnemu

dl l

przyrostowi długości spowodowanemu zmianą temperatury o 1 o i zależy od rodzaju ciała a także od temperatury. W związku z zależnością współczynnika  od temperatury długości ciała jest on na ogół nieliniową funkcją temperatury. W zakresie niewielkich zmian temperatury w przybliżeniu można przyjąć, że współczynnik  jest stały, a długość wzrasta wprost proporcjonalnie do temperatury. W tej sytuacji odpowiednikiem powyższego wzoru jest wzór:

l−l0 =α śr l0 ΔT

(105.2) Przyczyny zjawiska rozszerzalności cieplnej należy szukać w strukturze mikroskopowej ciał. Ciała stałe zbudowane są z atomów (jonów) rozłożonych regularnie w przestrzeni i tworzących sieć krystaliczną . Atomy są wzajemnie ze sobą powiązane siłami pochodzenia elektrycznego, co uniemożliwia im trwałą zmianę położenia. Dostarczona do kryształu energia cieplna wywołuje drgania atomów wokół położeń równowagi. Amplituda tych drgań rośnie wraz z temperaturą. Częstotliwość drgań cieplnych atomów sięga 10 13 Hz. W tej sytuacji pojęcie odległości międzyatomowej ma sens tylko jako odległość między środkami drgań sąsiednich atomów. Energia potencjalna dwóch oddziałujących ze sobą atomów jako funkcja odległości między atomami wyrażona jest krzywą przedstawioną na poniższym rysunku. Gdyby energia kinetyczna atomów była równa zeru, znajdowały by się one w odległości ro od siebie, dla której to odległości energia potencjalna posiada minimum. W rzeczywistości atomy wykonują drgania wokół położeń równowagi, tzn. mają określoną energię kinetyczną, która wzrasta ze wzrostem temperatury. W temperaturze T 1 odległość między atomami zmienia się od wartości a1 do wartości b1

Wskutek asymetrii krzywej potencjalnej średnie położenie drgającej cząsteczki nie będzie się pokrywać z wartością r o, lecz przesunie się w prawo osiągając wartość r1. Przy podwyższeniu temperatury do T2 atom przejdzie na wyższy poziom energetyczny Ek2 - jego ruch drgający będzie się odbywał między punktami a2 i b2, a średnie położenie osiągnie wartość r2 . Z powyższego opisu wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie nie tylko amplituda drgań atomów, lecz także ich średnia wzajemna odległość, co makroskopowo objawia się jako rozszerzalność cieplna. W celu obliczenia współczynnika rozszerzalności cieplnej z danych pomiarowych przekształcimy równania (105.2) do postaci:

Δl=α śr l 0 T−α śr l 0 T 0

(105.3) Równanie (105.3) oznacza, że wydłużenie jest liniową funkcją temperatury i że współczynnik nachylenia linii a wynosi:

a=α Śr l 0 Wartość a obliczamy stosując regresję liniową do par danych

(105.4)

( Δl , T )

.

`1

2. Wyniki pomiarów: Badane ciało w postaci pręta umieszczamy w płaszczu wodnym połączonym z termostatem. Jeden koniec pręta jest umocowany w uchwycie, drugi natomiast przesuwa się w miarę podgrzewania. Wydłużenie pręta mierzymy czujnikiem mikrometrycznym, a temperaturę pręta mierzymy termometrem elektronicznym. Dokładność mikromierzy: 0,01mm

Miedź T0 18.5 °C

Temperatury i długości początkowe prętów: Mosiądz L0[mm] T0 L0 [mm] 771.02 18.4 °C 771.39

Miedź Lp. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

T °C

20,5 25,7 31,5 36,1 41,6 45,5 51,0 55,2 62,5 66,1

Stal T0 18.6 °C

Długości prętów w odpowiednich temperaturach: Mosiądz Δl [mm] Δl [mm] T °C T °C

0,30 0,37 0,42 0,49 0,56 0,60 0,67 0,71 0,78 0,85

21,1 26,9 32,1 36,8 42,0 46,7 51,6 56,3 60,2 67,2

0,25 0,33 0,40 0,47 0,55 0,63 0,68 0,75 0,84 0,93

20,5 26,1 31,3 37,3 42,0 46,6 51,6 56,5 60,6 67,3

L0[mm] 771.15

Stal

Δl [mm] 0,20 0,25 0,28 0,32 0,38 0,40 0,45 0,50 0,54 0,59

3. Przebieg ćwiczenia: Na umocowanej przy badanych prętach skali odczytać położenie końców każdego z badanych prętów (xp, xk). Zanotować dokładność odczytu (Δ x). Zanotować temperaturę początkową każdego z prętów ( t0). Zanotować dokładność odczytu temperatury (Δ t0). Ogrzewać badane pręty, zwiększając stopniowo temperaturę ustawioną na termostacie co około 5°C. W ten sposób regulowana jest temperatura wody ogrzewającej pręty. Po każdej zmianie nastaw termostatu odczekać aż ustali się temperatura prętów. Następnie odczytać temperaturę (t) i przyrost długości (Δl) każdego z prętów. Zanotować dokładność odczytu przyrostu długości (Δ(Δl)). Kontynuować pomiary podczas stygnięcia prętów.

4. Obliczenia: 4.1 Wykres zależności wydłużenia od temperatury:

`2

Mosiądz- temperatura rosnąca (podgrzewanie) 0.77 0.77

l [m]

0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 290

295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

345

T [K]

Mosiądz- temperatura malejąca (stygnięcie) 0.77 0.77 0.77 0.77 l [m]

0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

T [K]

`3

Miedź- temperatura rosnąca (podgrzewanie) 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 l [m]

0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 290

295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

T [K]

Miedź- temperatura maleje (stygnięcie) 0.77 0.77 0.77 0.77 l [m]

0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 295

300

305

310

315

320

325

330

335

T [K]

`4

Stal- temperatura rosnąca (podgrzewanie) 0.77

0.77 0.77

l [m]

0.77 0.77 0.77

0.77 0.77 0.77 290

300

310

320

330

340

350

T [K]

Stal- temperatura malejąca (stygnięcie) 12 10

l [m]

8 6 4 2 0 295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

T [K]

`5

4.2 Wartości współczynnika nachylenia wykresu oraz jego błędu, stosując regresję liniową (obliczenia dokonane za pomocą programu Excel 2007): [

m ] K

Nachyle nie wykresu Średnia:

Mosiądzpodgrzewa nie

Mosiądzstygnięcie

Miedźpodgrzewani e

Miedźstygnięcie

Stalpodgrzewa nie

Stalstygnięcie

1,50749

1,54441

1,43698

9,93384

−5

−5

1,50808

9,33338

−5

−5

−6

5,60281

7,33771

1,6613

4,13397

−6

−6

−6

−6

¿ 10 ≈ 1,51 ¿ 10 ≈ 1,5 (1,51+1,54)¿10−5 =1,53 2

Błąd nachyle nia wykresu

¿ 10 ≈ 0,65

Średnia:

(0,65+0,57)¿ 10−5 =0,61 2

6,45332 −6

¿ 10 ≈ 0,5

¿ 10 ≈ 1,44 ¿ 10 ≈ 1,51 ¿ 10 ≈ 9,3 ¿ 10−6 ≈ 9,9 (1,44+1,51)¿10−5 (9,3+9,9)¿ 10−6 =1,48 ¿ =9,6 ¿ 10 2 2 ¿ 10 ≈ 0,74

¿ 10 ≈ 0,17 ¿ 10 ≈ 4,2

(0,74+ 0,17)¿ 10−5 2 ¿ 0,46∗10−5

6,95231

¿ 10−6 ≈ 7,0

(4,2+7,0) ¿ 10−6 2 ¿ 5,6∗10−6

4.3 Obliczenie wartości współczynnika rozszerzalności: a=α sr l0 Przekształcając: a α sr= l0 Współczynnik rozszerzalności mosiądzu: Dane: −5 1,5 ¿ 10 +1,5 ¿ 10−5 asr= =1,5 ¿ 10−5 2 l0=0,77 m asr 1,5 ¿ 10−5 1 =1,94805∗10−5 [ ] α= = 0,77 l0 K

Współczynnik rozszerzalności miedzi: Dane: 1,4 ¿10−5 +1,5 ¿ 10−5 asr= =1,45 ¿10−5 2 l0=0,77045 m a 1,45 ¿ 10−5 1 =1,88201∗10−5 [ ] α= sr = 0,77045 l0 K

Współczynnik rozszerzalności stali: Dane: 9,3 ¿ 10−6 +9,9 ¿ 10−6 asr= =9,6 ¿ 10−6 2 l 0=0,7722 m asr 9,6 ¿ 10−6 1 =1,243201∗10−5 [ ] α= = 0,7722 l0 K

4.4 Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej za pomocą różniczki logarytmicznej: asr −1 =asr∗l 0 lo z=c∗xm1

α=

Zatem:

`6

∆ z=

(|

m∗∆ x 1 ∗z x1

|) (| | | |)

∆ α ∆ lo ∆ α sr = + ∗α sr l0 α ∆ l0=|l0 min−l omax| ∆ α=|α−α sr|

Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej mosiądzu za pomocą różniczki logarytmicznej l0=0,77 m −3 l0 min =0,77−0,05∗10 =0,76995 [ m ] l0 max=0,77+0,05∗10−3=0,77005[ m] ∆ l0=|l0 min−l omax|=0,0001 [m] 1 α sr = 1,53 ¿10−5 [ ] K −5 1 ∆ α=0,61 ¿ 10 [ ] K ∆ α sr =

(| | | |) (|

||

|)

0,61 ¿ 10−5 0,0001 1 ∆ α ∆ lo ∗1,53 ¿ 10−5=5,98234∗10−6 ≈ 0,60∗10−5 [ ] + ∗α sr= + 0,77 l0 α K 1,53∗10−5

Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej miedzi za pomocą różniczki logarytmicznej l0=0,77045 m l0 min =0,77045−0,05∗10−3 =0,7704 [m] l 0 max=0,77045+0,05∗10−3=0,7705 [ m] ∆ l0=|l0 min−l omax|=0,0001 [m] −5 1 α sr= 1,48 ¿10 [ ] K 1 ∆ α=¿ 0,46 [ ] K

(| | | |) (|

||

|)

0,46 ¿ 10−5 0,0001 1 ∆ α ∆ lo ∗1,48 ¿ 10−5=4,50863∗10−6 ≈ 0,46∗10−5 [ ] ∆ α sr = + ∗α sr= + −5 0,77045 α l0 K 1,48∗10 Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej stal za pomocą różniczki logarytmicznej l0=0,7722 m l 0 min =0,7722−0,05∗10−3 =0,7717[ m] l 0 max=0,7722+ 0,05∗10−3=0,7727 [m ] ∆ l0=|l0 min−l omax|=0,0001 [m] −6 1 α sr= 9,6 ¿ 10 [ ] K −6 1 ∆ α=5,6 ¿ 10 [ ] K ∆ α sr =

(| | | |) (|

| | |)

5,6 ¿ 10−6 0,0001 1 ∆ α ∆ lo ∗9,6 ¿ 10−6=5,60124∗10−6 ≈ 0,57∗10−5 [ ] + ∗α sr= + −6 0,7722 α l0 K 9,6∗10 `7

5. Końcowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej dla poszczególnych metali z uwzględnieniem błędu: +¿ −¿ ¿ 0,00026 1 K ¿ +¿ −¿ ¿ 1,94805 ¿∗10−5 ¿

-mosiądz:

1,94805∗10−5 ¿ 2,6∗10−9

1 =¿ m

α=¿ +¿¿ −¿ 0,0002 1 K ¿ +¿ ¿ −¿ 1,8820 ¿∗10−5 ¿

-miedź:

1,88201∗10−5 ¿2∗10−9

1 =¿ m

α=¿ +¿ ¿ −¿ 0,0001 1 K ¿ +¿ − ¿¿ 1,2432 ¿∗10−5 ¿

-stal:

1,24320∗10−5 ¿ 1∗10−9

1 =¿ m

α=¿

6. Wnioski: Metal Mosiąd z

Tablicowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej 1 1,8∗10−5 [ ] K

Obliczona wartość współczynnika rozszerzalności liniowej 0,60 1 K ¿ +¿ − ¿¿ 1,53 ¿∗10−5 ¿ ¿

`8

Miedź

1,6∗10−5 [

1 ] K

Stal

1,2∗10−5 [

1 ] K

Metal Mosiąd z

Tablicowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej 1 1,8∗10−5 [ ] K

Miedź

1,6∗10−5 [

1 ] K

Stal

1,2∗10−5 [

1 ] K

0,46 1 K ¿ +¿ − ¿¿ 1,48 ¿∗10−5 ¿ ¿ 0,57 1 K ¿ +¿ −¿ ¿ 0,96 ¿∗10−5 ¿ ¿ Obliczona wartość współczynnika rozszerzalności liniowej 0,00026 1 K ¿ +¿ ¿ −¿ 1,94805 ¿∗10−5 ¿ ¿ 0,0002 1 K ¿ +¿ ¿ −¿ 1,8820 ¿∗10−5 ¿ ¿ 0,0001 1 K ¿ +¿ ¿ −¿ 1,2432¿∗10−5 ¿ ¿

Jak można wywnioskować z powyższej tabeli obliczone wartości współczynnika rozszerzalności liniowej różnią się nieznacznie od wartości tablicowych. Różnice te prawdopodobnie wynikają z niedokładności przyrządów pomiarowych oraz przyjmowania przybliżeń dla wartości tablicowych. Większość wykresów ma kształt zbliżony do linii prostej, co oznacza, że pomiary zostały wykonane prawidłowo. Przy wyznaczaniu współczynnika nachylenia wykresu oraz jego błędu korzystaliśmy z formuł dostępnych w programie Excel 2007, odpowiednio =NACHYLENIE(y,x) oraz =REGBŁSTD(y,x).

`9...