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12 Pfadanalyse und Lineare Strukturgleichungsmodelle Dienstag, 16. Januar 2018

10:00

Pfadanalyse • mehrere (multiple) Regressionsbeziehungen gleichzeitig darzustellen und zu berechnen • Darstellung von komplexen Zusammenhängen zwischen mehreren beobachteten Variablen, berechnen und überprüfen Beim 2. Für A B D E einzelne Regressionsgleichungen

•

• Variablen können unabhängige und abhängige Variablen zugleich sein ○ zum 1. Modell: ○ A ist UV, C ist AV, B ist UV und AV ○ A beeinflusst B; B beeinflusst C; B wird von A beeinflusst • Pfadanalytische Modell lässt sich durch eine Anzahl an multiplen Regressionsgleichungen beschreiben: eine Gleichung für jede abhängige Variable zwei Regressionsgleichungen für Y2 und Y3 •

• analog MR: Messfehler nur für AV nicht für UV berücksichtigt

Typen von Effekten • direkte Effekte: wenn eine Variable direkt auf eine andere wirkt ○ Y1 -> Y2, Y2 -> Y3 • indirekte: Y1 -> Y3 ○ Effekt einer Variablen (Y1) auf eine andere (Y3), der durch eine dritte Variable (Y2) vermittelt wird ○ Drittvariable auch Mediator(variable) hier: Y2 für den Effekt von Y1 auf Y3 • totale Effekte (Y1 auf Y3 = Summe aus direkten und indirekten Effekten) ○ gleichzeitig einen direkten und einen indirekten Effekt einer Variablen auf eine andere geben ○

Arten von Variablen • Exogene Variable (Prädiktor exogen Y1) ≅unabhängige Variable ○ werden im Modell nicht erklärt, Auf sie zeigt kein Pfeil, es gibt für sie keine Regressionsgleichung, Hier: nur Y1 • Endogene Variable ≅ abhängige Variable (Hier: Y2und Y3 - Kriterium endogen) ○ werden durch das Modell erklärt ○ Für jede endogene Variable gibt es eine Regressionsgleichung ○ Ihre Werte verändern sich bei Veränderung der exogenen Variablen • Mediatorvariablen = vermittelnde Variablen (Hier: Y2 Mediator endogen) ○ stehen in der Kausalkette zwischen zwei Variablen und sind somit abhängige und unabhängige Variable zugleich

Rekursive und nicht-rekursive Modelle Rekursive Modelle: Pfeile weisen immer nur in eine Richtung ○ Parameter leichter/eindeutiger zu bestimmen

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Nicht-rekursive Modelle: wechselseitige Beeinflussung oder Rückkopplung ○ lassen sie sich nicht mehr mithilfe multipler Regressionsgleichungen beschreiben

Pfadmodell und Pfadkoeffizienten

• Pfadkoeffizienten = Regressionsgewichte der multiplen Regressionsgleichung, an die Pfeile im Pfaddiagramm geschrieben • 1. Index jeweilige abhängige Variable, 2. Index für Prädiktor • Die additiven Konstanten (Achsenabschnitte) tauchen im Pfadmodell nicht auf (da meist nicht so interessant), aber in der Gleichung • Alle Variablen mit Y, da manche Variablen abhängige und unabhängige Variablen zugleich sind • endogenen Variablen haben immer auch einen Fehlerterm ε • Indirekte Effekte: Multiplikation der Pfadkoeffizienten des indirekten Weges ○ Y3 auf Y2: β13*β21 • Totale Effekt: Summe des indirekten und direkten Effektes ○ Y3 auf Y2: β13*β21 + β23 • Alle Effekte liefern die Information, um wieviel sich die jeweilige AV ändert, wenn sich eine UV um ○ eine Einheit erhöht (nicht standardisierte Pfadkoeffizienten) ○ eine Standardabweichung erhöht (standardisierte Pfadkoeffizienten) sh. Beispiel IQ Eltern, IQ Kinder

Regressionsgleichungen • • Y1 = Mediatorvariable • Setzt man für die Mediatorvariable (Y1) ihre Regressionsgleichung in der ersten Gleichung ein, erhält man den Gesamt Effekt der exogenen Variablen Y3auf das Kriterium Y2. •

Bestimmung der Modellparameter • Schätzung der Modellparameter (Pfadkoeffizienten, Varianzen, Kovarianzen, evtl. Konstanten + Mittelwerte der Variablen) (z.B. mithilfe der Maximum-Likelihood Methode) • Logik: Das Schätzverfahren bestimmt Varianzen, Kovarianzen und ggf. Mittelwerte der einzelnen Variablen so, dass ○ die im Modell enthaltenen Restriktionen berücksichtigt werden ○ sie mit den Stichprobendaten möglichst gut in Einklang stehen • Nicht-rekursive Modelle sind nur unter bestimmten Voraussetzungen bestimmbar, wir beschäftigen uns nur mit rekursiven Modellen • Auch Bestimmung der Standardfehler berechnet, dadurch der Konfidenzintervalle

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Modellüberprüfung • Sowohl die Gültigkeit des Modells insgesamt als auch einzelne Parameter können überprüft werden • Modellgüte insgesamt: ○ Chi2-Wert (möglichst klein, nicht signifikant) -> Abweichung des empirischen Modells vom Modell mit Restriktionen ○ RMSEA (Root mean square error of approximation) (möglichst klein, nicht signifikant) ○ CFI (Comparative Fit index) (möglichst groß, nahe 1) • Modelle hinsichtlich ihrer Güte miteinander vergleichbar Beispiel: Stimmung wird zu 4 Zeitpunkten im Abstand von 2 Stunden erfasst (morgens, mitttags, nachmittags, abends) Von wie vielen vorangegangenen Zeitpunkten ist die Stimmung direkt abhängig? • Autoregressives Modell: eine Variable ist von derselben Variablen zu einem oder mehreren vorhergehenden Messzeitpunkt(en) abhängig ODER Ausprägung einer Variablen wird aus der Ausprägung derselben Variablen, die zuvor gemessen wurden, vorhergesagt => am wenigsten zu schätzende Parameter, restriktivstes Modell, konkrete Behauptungen z.B. Y1 auf Y2 = 0 direkter Effekt vom vorherigen und vorvorherigen Zweitpunkt, auch Y2 hat direkten Einfluss auf Y4 und Y1 auf Y3

zusätzlich: erster MZP hat Einfluss auf letzten MZP (Y1 auf Y4) => am meisten zu schätzende Parameter Beispiel-Ergebnis

• nicht-standardisierte und standardisierte Pfadkoeffizienten (fett) + ihre Standardfehler (in Kl.) • für endogene Variablen: nicht-standardisierte und standardisierte Fehlervarianzen; (Standardfehler dieser) • für die exogenen Variabl(en) nicht-standardisierte und standardisierte Varianz(en) Überprüfung einzelner Parameter • t-Test zur Prüfung auf Signifikanz ○ t = Parameter/Standardfehler • ob in der Population, aus der die Stichprobe stammt, der jeweilige Parameter mit relativer Sicherheit von Null verschieden ist • Auch Konfidenzintervalle lassen sich berechnen

Überprüfung indirekter Effekte (Mediatoreffekt) • Indirekte Effekte setzen sich aus dem Produkt zweier Pfadkoeffizienten zusammen • Konsequenz: folgt ihre Verteilung nicht der t-Verteilung => schwieriger zu beurteieln • 2 Varianten zur Überprüfung ○ Beide Methoden erlauben das Berechnen eines Konfidenzintervalls für den Mediatoreffekt, Schließt das Konfidenzintervall den Wert Null mit ein, ist der

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Mediatoreffekt nicht signifikant 1. Sobel-Test (gängig) 2. Bootstrapping (genauer, besser) Bootstrapping • Methode der Datensimulation: Schätzung der Stichprobenkennwerteverteilung aus einer einzigen Stichprobe • Aus Stichprobe mit Umfang n eine große Anzahl an Stichproben mit Zurücklegen gezogen, haben jeweils auch wieder den Umfang n ○ 100 Personen, immer eine wird nacheinander zurückgelegt -> 1000 mal -> ergibt SKV • Verteilung eines bestimmten Parameters (z.B. Mittelwert oder eben auch Regressionsgewicht) ergibt dann die Stichprobenkennwerteverteilung

Lineare Strukturgleichungsmodelle • „Kombination“ aus Faktorenanalyse und Pfadanalyse • Sie erlauben es, Abhängigkeits-und Beeinflussungsstrukturen auf der Ebene wahrer, messfehlerbereinigter Unterschiede zu untersuchen • Faktorenanalyse (Messmodell): Beziehung zwischen latenten Variablen und ihre Indikatoren • Pfadanalyse (Strukturmodell): komplexe Abhängigkeitsstrukturen zwischen (manifesten) Variablen • Lineare Strukturgleichungsmodelle: untersucht komplexe Beziehungen zwischen latenten Variablen und Berücksichtigt ihre Beziehung zu den Indikatoren ○ Im Gegensatz zur Pfadanalyse kann hier auch Berücksichtigung der Messfehlerbehaftetheit der exogenen Variablen • Dasselbe Vorgehen, wie bei konfirmatorischer Faktorenanalyse: ○ Modellspezifikation, Identifikation, Schätzung der Modellparameter, Beurteilung der Modellgüte, ggf. Modellmodifikation

Berücksichtigung des Messfehlers der exogenen V. • bei Nichtberücksichtigung wird Zusammenhang mit endogenen V. unterschätzt, umso mehr je größer der Messfehler • SGM können zwischen messfehlerbedingten und wahren Einflüssen trennen Messmodell • Erfassung der latenten Variablen durch metrische Indikatoren -> pro latenter V. mind. zwei Indikatoren, um Messfehler und wahre Effekte trennen zu können

Strukturmodell • spezifiziert Beziehungen latenter Variablen untereinander -> können sehr komplex sein (auch indirekte Effekte möglich)

• einfaches Struktur- und Messmodell • enthält Fehlerkomponenten der manifesten Variablen e • berücksichtigt Fehlerkomponenten für latente, endogene Variable Kaufverhalten (wird nicht nur von Einstellung beeinflusst)

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Komplexe Bezüge zwischen latenten Variablen

Residuen der endogenen, latenten Variable ζ (Zeta) • wahrer Wert jeder endogenen Variable von ○ exogener Variable und ○ unbekannten Faktoren abhängig -> Fehlerterm • Fehlerterm beinhaltet Anteil der endogenen Variablen, der nicht durch die exogenen Variable(n) vorhergesagt werden kann

Bezeichnungen im SGM • • • • • •

ε:Residuum der Indikatorvariablen (= Messfehler und evtl. variablenspezifische Anteile) λ:Ladung der Indikatorvariablen auf den latenten Variablen Y:Indikatorvariablen / manifeste Variablen η:latente Variablen (endogene und exogene) β: Pfadkoeffizienten: Beziehungen zwischen den latenten Variablen (Regressionskoeffizienten) ζ:Residuen der endogenen, latenten Variablen. Anteile, die nicht durch die exogenen Variablen erklärt werden.

1 Modellierung • keine Verbindung zwischen εs => Fehler unkorreliert • λs können gleich sein, oder auf 1 festgesetzt (für Identifizierbarkeit) ○ gleiche Ladungen: Indikatorvariablen erfassen jeweilige latente Variable gleich gut • ßs an Pfeilen -> erwartet ß von Null verschieden; fehlende Pfeile bedeuten fehlende Korrelationen (Restriktionen) ß = 0 • Je restriktiver ein Modell, desto mehr Restriktionen, desto höher sein empirischer Gehalt, desto eher kann es falsifiziert werden (Sparsamkeitsprinzip). • Was sind Restriktionen? z.B. ○ Fehlen von Zusammenhängen ○ Gleichheit von Faktorladungen ○ Gleichheit von Fehlervarianzen ○ Bestimmte Werte für einzelne Parameter (wenn keine Fixierung)

2 Identifikation/Fixierung • Identifikationsproblem: um Modell identifizierbar zu machen, müssen genügend Informationen vorliegen • Fixierung der Metrik der latenten Variablen (da keine festgelegte Skalierung) ○ mind. eine Ladung pro Faktor oder eine Faktorvarianz auf 1

3 Parameterschätzung • sh Faktorenanalyse: Maximum-Likelihood-Kriterium • Ergebnis: standardisierte und nicht-standardisierte Parameter und ihre Standardfehler ○ Anhand der Standardfehler auf Signifikanz prüfen • Parameter, die zuvor fixiert wurden, müssen nicht geschätzt werden. • Im Einzelnen werden bestimmt: ○ Die Ladungen der manifesten Variablen auf den Faktoren (sofern nicht fixiert) ○ Die Pfadkoeffizienten(β) für den Zusammenhang der latenten Variablen ○ Alle Fehlervarianzen (der manifesten Variablen) e ○ Die Residualvarianzen der latenten endogenen Variablen zeta ○ Die Varianzen der exogenen latenten Variablen (sofern nicht fixiert) Multivariate Verfahren Seite 5

• wird manifeste Variable nur durch einen Faktor beeinflusst ○ Varianz + quadrierte Faktorladung = 1

4 Beurteilung der Modellgüte • Es wird jeweils geprüft, ob die Daten mit dem jeweiligen Modell in Einklang stehen => sh. konf. Fak. • Modellvergleiche: Chi2-Differenzentest • Gibt es zu einem Problem mehrere Modelle, die zu den Daten passen, ist theoretisch zu begründen, welches Modell zu bevorzugen ist • Hat man ein Modell gefunden, das die Daten angemessen beschreibt, bedeutet dies nicht, dass es nicht auch noch andere, mindestens gleich gute Modelle geben kann. • Wichtigkeit der Theorie bei der Modellerstellung und – bewertung Vergleich nicht-geschachtelter Modell • Informationskriterien(IC) • AkaikeInformation Criterion(AIC) • Bayesion Information Criterion(BIC) • Keine standardisierten Maße, d.h. kein festgelegter Wertebereich • Das Modell mit dem niedrigsten Wert wird bevorzugt • Belohnen sparsame Modelle, besonders BIC • Nur deskriptiv, kein Signifikanztest Kausalität • LSGM wurden/werden oft auch Kausalmodelle genannt • Hier ist aber Vorsicht geboten: In den Modellen können zwar viele Stör-und moderierende Variablen mit aufgenommen werden, dies garantiert aber nicht, dass man alle Einflüsse auf eine Variable tatsächlich erfasst hat. • Auch bedeutet die Verträglichkeit eines Modells mit den Daten nicht, dass es nicht auch ein anderes Modell geben kann, das genauso gut zu diesen Daten passt. • Eine kausale Interpretation ist deshalb immer mit großer Vorsicht vorzunehmen Zusammenfassung • Analyse der Kovarianzen zwischen vielen beobachteten Variablen • ob im Einklang mit oder im Widerspruch zu vorher aufgestellten Kausalmodellen • häufig dann angewandt, wenn man Kausalmodelle überprüfen möchte, ein experimentelles Vorgehen aber nicht möglich ist [praktische und/oder ethische und/oder grundsätzliche Gründe] • Hat man ein plausibles und zu den Daten passendes Kausalmodell gefunden, schließt dies dennoch nicht aus, das das Modell „falsch“ ist bzw. es andere, gleich gute oder bessere Modelle gibt

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