19. Inscriptible Circunscriptible PDF

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°19

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLE Y CIRCUNSCRIPTIBLE 1. Objetivo Exponer la teoría sobre propiedades de cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles. 2. Logros de aprendizaje De conocimientos •

Conocer las propiedades de cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

De destreza •

Identificar, graficar y aplicar las propiedades de cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desarrollo de la clase

CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados. 1. Propiedades El área de un cuadrilátero es igual a la mitad del producto de las diagonales por el seno del ángulo comprendido.

T) SABCD =

  BD∙AC

∙AC  BD . sen β 2 2 ∝+β=180° (suplementarios)

. sen ∝= SABCD =

𝑠𝑒𝑛 ∝= 𝑠𝑒𝑛𝛽

1

2. Cuadrilátero Inscriptible Es el que se puede inscribir en un círculo y sus lados son cuerdas del círculo. Propiedades 1. Los lados son cuerdas del círculo 2. La suma de los ángulos opuestos es igual a 180º .   =180° A+C

 +D  =180° B 3. El producto de los segmentos formados en una diagonal es igual al producto de los segmentos de la otra diagonal (Producto de un punto).   𝑃𝐶 =  𝐵𝑃. 𝑃𝐵 𝐴𝑃 .  4. La superficie de un cuadrilátero inscriptible , se establece como: SABCD =√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) TEOREMA DE PTOLOMEO En todo cuadrilátero inscriptible, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.  =a.c+b.d AC.BD Observación Para demostrar que un cuadrilátero es inscriptible se pueden utilizar las siguientes propiedades: -

La suma de ángulos opuestos es igual a 180°. El producto de los segmentos de una diagonal es igual al producto de los segmentos de la otra diagonal.

3. Cuadrilátero Circunscriptible Es aquel que se puede circunscribir a un círculo. Propiedades 1. Los lados del polígono son tangentes al círculo. 2. La suma de 2 lados opuestos es igual a la suma de los otros 2 lados e igual al semiperímetro. P = 2(x+y+z+w) p = x+y+z+w a+c=b+d=p

2

3. La superficie de un cuadrilátero circunscrito es igual al semiperímetro por el radio de un círculo inscrito. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆∆𝐴𝑂𝐵 + 𝑆∆𝐵𝑂𝐶+ 𝑆∆0𝑂𝐷+ 𝑆∆𝐷𝑂𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =

𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 𝑎. 𝑟 𝑏. 𝑟 𝑐. 𝑟 𝑑. 𝑟 + + + = 𝑟. 2 2 2 2 2 SABCD =r.p

Observación Para demostrar que un cuadrilátero es circunscriptible se utiliza la siguiente propiedad. -

La suma de las longitudes de 2 lados opuestos es igual al semiperímetro.

4. Cuadrilátero inscriptible y Circunscriptible a la vez 1. Se cumplen todas las propiedades anteriores 2. La superficie se encuentra de la siguiente manera 1. Inscriptible: 2. Circunscriptible: 2 en 1

S= √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d) a+c=b+d=p S= √(a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d) S=√a*b*c*d

Síntesis 1. Inscriptible → ∑ ∢s opuestos =180° Se cumple la propiedad de cuerdas (diagonales) 2. Circunscriptible → ∑ longitud de lados opuestos =semiperímetro 3. Inscriptible y Circunscriptible → S=√ √a∙b∙c∙d 4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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