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TABLA CONJUNTA Y BAYES...

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Estadística (248) Tabla de Probabilidad Conjunta. Ejemplo Prof. Andrea Lepera Curso 9 A 11 hs. Consideremos el siguiente ejemplo, tomado del Hurnett Murphy (pg. 90): Una fábrica de baterías produce en tres plantas distintas (llamémoslas E1, E2 y E3). Semanalmente cada una de ellas produce 500, 2000 y 1500 baterías respectivamente. Se sabe que la planta E1 produce un 2% de baterías defectuosas, la E2 un 1,5% y la E3 un 3%. Se toma una batería al azar entre las 4000 producidas en una semana. Qué probabilidad hay de que: 1) La batería sea defectuosa. 2) La batería haya sido producida en la planta E1 3) La batería haya sido producida en la planta E2 y sea defectuosa. 4) La batería haya sido producida en la planta E3 o sea defectuosa. 5) La batería sea defectuosa sabiendo que fue producida en la planta E1. a) Con frecuencias absolutas.

Bueno Defectuoso Total

Planta E1 490 10 500

Planta E2 1970 30 2000

Planta E3 1455 45 1500

Total 3915 85 4000

Planta E3 0.3638 0.0112 0.375

Total 0.9788 0.0212 1

P(D)= 85/4000=0.0212 P(E1)= 500/4000=0.125 P(D  E2)= 30/4000=0.0075 P(D U E3) = (85 + 1500 – 45)/4000= 1540/4000=0.385 P(D/E1)=10/500=0.02

b) Con frecuencias relativas.

Bueno Defectuoso Total

Planta E1 0.1225 0.0025 0.125

Planta E2 0.4925 0.0075 0.5

P(D) = 0.0212 (margen derecho)  probabilidad marginal P(E1) = 0.125 (margen inferior)  probabilidad marginal P(D  E2) = 0.0075  probabilidad conjunta. P(DU E3) = 0.0212 + 0.375 – 0.0112 = 0.385 P(D/E1) = P(D  E1)/ P(E1)= 0.0025/0.125 = 0.02  probabilidad condicional

Teorema de Bayes- Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo de las baterías usado en el apunte anterior, nos preguntamos cuál es la probabilidad de que la batería provenga de la planta E1, dado que la misma es defectuosa? (Obs.: Notar que esta pregunta es “al revés” que la nro. 5 del apunten anterior). A priori sabemos que la probabilidad de que la batería haya sido producida en la planta E2 es de 0.5, pues P(E2) = 2000/4000= 1/2=0.5 Pero ahora agregamos un dato que es que sabemos también que la batería es defectuosa. Entonces a posteriori la probabilidad de que la batería haya sido producida en la planta E2 sabiendo que resultó defectuosa, será distinta.

P(E2/D)= P(E2 D) / P(D) = P(D/E2) * P(E2) / P(D) = = P(D/E2) * P(E2) . [P(D/E1) * P(E1) + P(D/E2) * P(E2) + P(D/E3) * P(E3)] Para expresar P(D) como quedó en el denominador, se requiere que los sucesos Ei sean incompatibles y exhaustivos. Definición: Decimos que los sucesos E1,...., En son incompatibes y exhaustivos si se cumple que: 1) EiEj =  ij (incompatibilidad) 2) E1 U E2 U.....U En = E (espacio muestral) (exhaustividad). Teorema de Bayes: Si E1,...., En son sucesos incompatibes y exhaustivos, y D es un suceso cualquiera se cumple que:

P( Ei/ D) =

P(D/Ei) * P(Ei) . [P(D/E1) * P(E1) + P(D/E2) * P(E2) +....+ P(D/En) * P(En)]

(Obs. Que los datos necesarios son: P(Ei) y P(D/Ei)) La probabilidad P( Ei/ D) es conocida como probabilidad a posteriori. Las probabilidades P(Ei) son denominadas probabilidad a priori. Las probabilidades P(D/Ei) son denominadas verosimilitudes....