2. Eigenvalores y Eigenvectores PDF

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Apuntes de Laboratorio de la materia Optimización Dinámica...

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Eigenvalores y Eigenvectores Definiciones y ejemplos Definición Sea 𝐴 una matriz cuadrada. Un eigenvalor de 𝐴 es un número 𝜆 que cuando se resta de cada una de las entradas de la diagonal de 𝐴, convierte la matriz 𝐴 en una matriz singular. Restar 𝜆 de cada entrada en la diagonal de 𝐴 es lo mismo que restar 𝜆 veces la matriz identidad 𝐼 de 𝐴. Por lo tanto 𝜆 es un eigenvalor de 𝐴 si y solo si 𝐴 − 𝜆𝐼 es una matriz singular. Ejemplo Consideremos la matriz

3 1 1 𝐴 = ( 1 3 1) 1 1 3

Sustrayendo 2 de las entradas de la diagonal obtenemos

1 1 1 𝐴 − 2𝐼 = (1 1 1) 1 1 1

Convirtiendo a 𝐴 en una matriz singular. Por lo que 𝜆 = 2 es un eigenvalor de 𝐴. Teorema Ejemplo Los valores propios de la matriz diagonal

2 0 ) 𝐷=( 0 3

Y sus eigenvalores son 𝜆1 = 2 y 𝜆1 = 3. Si sustraemos estos valores de las diagonales obtenemos la matriz

Y la matriz

0 0 ) 𝐷 − 2𝐼 = ( 0 1

𝐷 − 3𝐼 = ( Las cuales son ambas singulares.

−1 0 ) 0 0

Teorema Una matriz cuadrada 𝐴 es singular si y solo si el cero es un eigenvalor de 𝐴.

Normalmente no podemos averiguar los eigenvalores de una matriz solo con echarle una mirada. La forma más común (o técnica principal) para determinar si una matriz dada es singular o no, es el determinante. Definición Una matriz 𝐴 es singular si y solo si su determinante es cero, es decir, det(𝐴) = 0. gular, por lo que e Ejercicio Probar que 𝜆1 = 0 y 𝜆2 = 4 son eigenvalores de la matriz 2 −1 ) 𝐴=( −4 2

Definición Para toda matriz 𝐴𝑛×𝑛, 𝑃(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) es un polinomio de grado 𝑛, con variable 𝜆, es llamado polinomio característico de 𝑨.

Entonces, de la definición anterior, podemos decir que 𝜆 es un eigenvalor de 𝐴 si y solo si 𝜆 es un cero del polinomio característico de 𝐴. Es decir, 𝜆 es un eigenvalor de 𝐴 si y solo si det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Ejercicio 23.7 inciso a) del libro Simon&Blume Calcular los eigenvalores de la matriz 3 0 ) 𝐴=( 1 2

Nota: Una matriz 𝐴 de dimensión 𝑛 × 𝑛 tiene 𝑛 eigenvalores.

Sabemos que una matriz cuadrada B es no singular si y solo si la única solución del sistema 𝐵𝑥 = 0 es 𝑥 = 0.

Por el contrario, 𝐵 es singular si y solo si el sistema 𝐵𝑥 = 0 tiene soluciones distintas de cero (𝑥 ≠ 0) . El hecho de que la matriz cuadrada 𝐴 − 𝜆𝐼 es una matriz singular cuando 𝜆 es un eigenvalor de 𝐴 significa que el sistema de ecuaciones (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 tiene una solución diferente de 𝑣 = 0.

Definición Cuando 𝜆 es un eigenvalor de 𝐴, el vector no cero 𝑣 tal que (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 es llamado eigenvector de 𝐴 correspondiente al eigenvalor 𝜆. Teorema Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 y 𝜆 un escalar. Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes a) Sustrayendo 𝜆 de las entradas de la diagonal de 𝐴 , transformamos la matriz 𝐴 en una matriz singular. b) 𝐴 − 𝜆𝐼 es una matriz singular c) det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 d) (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 para algún 𝑣 ≠ 0 e) 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 para algún vector 𝑣 ≠ 0

Nota: Otros nombres que reciben los eigenvalores y Eigenvectores son, valores y vectores propios, o valores y vectores característicos.

Ejercicio 23.7 inciso a) del libro Simon&Blume Calcular los eigenvectores de la matriz.

3 0 𝐴=( ) 1 2...