2 Sistemas y Señales PDF

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señales invariante en el tiempo...

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GUÍA DE TRABAJO TECNOLOGÍA EN ELECTRÓNICA

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FDE 048 03 2009-06-09

SISTEMAS Y SEÑALES 1. IDENTIFICACIÓN Asignatura Señales y Sistemas Área Básicas Código SSW42 Correquisito(s) Créditos 2 TPS 2 TIS TRABAJO INDEPENDIENTE Trabajo Trabajo 2 horas Teórico Práctico

Guía No. Nivel 4 Pensum 10 Prerrequisito(s) CIX34 4 TPT 32 TIT TRABAJO PRESENCIAL Trabajo Trabajo 1.5 horas Teórico Práctico

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2. IDENTIFICACIÓN COMPETENCIAS

CONTENIDO TEMÁTICO

INDICADOR DE LOGRO

Analiza señales y sistemas en tiempo continuo para sistemas lineales e invariantes en el tiempo

- Introducción a los sistemas - Señales y sus propiedades

Identifica y aplica a señales diferentes propiedades

3. RECURSOS REQUERIDOS -

Material bibliográfico de apoyo

4. MARCO TEÓRICO SISTEMAS Un sistema consiste en un conjunto de elementos interconectados que interactúan entre sí para ejecutar una operación determinada. La señal de salida de un sistema depende tanto de los elementos que componen al sistema como de la señal de entrada (o excitación) que los activa.

Analizar un sistema consiste en encontrar la respuesta 𝑦(𝑡) cuando se excita con una señal cualquiera 𝑥(𝑡). Cada sistema tiene una ecuación diferencial que lo describe y permite explicar la relación que hay entre la entrada y la salida del sistema.

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El esquema o modelo general es:

En este curso trabajaremos con los Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo – S.L.I.T–. 



Sistema lineal: se rige por una ecuación diferencial lineal u ordinaria (una ecuación diferencial lineal es aquella donde 𝑦(𝑡) siempre es lineal es decir no es cuadrática, con raíces o de nivel superior) Propiedades de los sistemas lineales:  𝑓(𝑥 + 𝑦 ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) Ejemplo 3(𝑥1 + 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 3𝑥2  𝑓(∝ 𝑥 ) =∝ 𝑓(𝑥) Ejemplo 3(2𝑥 ) = 2 ∗ 3𝑥

Invariante en el tiempo: está regido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. 𝑑 𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑 𝑛−1 𝑦(𝑡) + ⋯ + 𝑎0 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑎𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑑𝑡𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛 (𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 )𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)

Para resolver S.L.I.T no se requiere conocer la ecuación diferencial. Pero todo sistema no S.L.I.T requiere obligatoriamente la ecuación diferencial. Ejemplo 1: Considere el siguiente sistema masa-resorte

El cual está regido por las siguientes ecuaciones: 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑚𝑥󰇘 = −𝑘𝑥

Si la masa es constante, el sistema es invariante en el tiempo.

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Ejemplo 2: Un cohete al despegar quema combustible por lo tanto disminuye su masa, adicionalmente al aumentar la altura la fuerza de la gravedad es menor. Por lo tanto, es un sistema variante en el tiempo. TIPOS DE SISTEMAS Hay 3 tipos de sistemas: a. Caja blanca: se conocen las ecuaciones diferenciales que rigen el sistema (ejemplo: sistema masa-resorte) b. Caja negra: no se conoce el sistema, pero se tiene una ecuación diferencial que satisface las necesidades c. Caja gris: se tiene parte de la información, es decir se tiene el modelo del sistema, pero falta información (ejemplo: Sistema masa-resorte en el cual se conoce la ecuación diferencial pero no se tiene la cantidad de la variable masa) PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS S.L.I.T   

Para un sistema cuya entrada 𝑥(𝑡) genera una salida 𝑦(𝑡), la salida generada por la excitación 𝑥(𝑡 − 𝜏) será 𝑦(𝑡 − 𝜏). Para un sistema cuya entrada 𝑥(𝑡) genera una salida 𝑦(𝑡), la salida generada por la excitación 𝑑𝑥(𝑡)⁄ 𝑑𝑡 será 𝑑𝑦(𝑡) ⁄𝑑𝑡 Para un sistema cuya entrada 𝑥(𝑡) genera una salida 𝑦(𝑡), la salida generada por la excitación ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 será ∫ 𝑦(𝑡)𝑑𝑡

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SEÑALES Una señal es una función que varía con respecto a otro parámetro, usualmente el tiempo. Existen diferentes formas de clasificar las señales: -

Pueden ser de variable continua o discreta

-

Pueden ser de variable análoga o digital

-

Según la polaridad de la señal Señal DC

-

Señal AC

Según la simetría de la señal Señal par 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)

Señal Impar 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡)

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PROPIEDADES DE LAS SEÑALES 1. Periodicidad

𝑓(𝑡 − 𝑛𝜏) = 𝑓(𝑡) ← La señal se repite en el tiempo.

∞

𝑔(𝑡) = ∑ 𝑓(𝑡 − 𝑛𝜏)

a. Valor promedio (𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚): Ejemplo:

𝑛=−∞

1 𝑡0 +𝜏 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝜏 𝑡𝑜

= 𝑓𝑝𝑟𝑜

𝑓𝑝𝑟𝑜 = 4 [∫0 4 𝑑𝑡 + ∫2 0 𝑑𝑡] = 4 [8 + 0] = 2 1

2

4

1

b. Valor cuadrático medio o valor eficaz (𝑉𝑟𝑚𝑠): √𝜏 ∫𝑡 0 1

𝑡 +𝜏 𝑜

𝑓(𝑡)2 𝑑𝑡

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2. Desplazamiento

𝑓(𝑡)

𝑓(𝑡 + 2)

𝑓(𝑡 − 2)

3. Reflexión

𝑓(𝑡)

𝑓(−𝑡)

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4. Escalado

𝑓(𝑡)

𝑓(2𝑡)

𝑓(𝑡/2)

Ejemplo: Partiendo de la función de 𝑓(𝑡), grafique 𝑓(−2𝑡 + 1)

Solución: Calculamos los nuevos límites de la función así: 0 < −2𝑡 + 1 < 2 −1 < −2𝑡 < 1

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1 1 2 − 1 < −𝑡 < 2 1 >𝑡>−2 2

5. PROCEDIMIENTO El presente taller no constituye un evento evaluativo. Ejercicios propuestos: 1) Para la siguiente señal encuentre: 2𝑡 3𝑡 a. 𝑓(𝑡 − 3), 𝑓 ( ) , 𝑓 ( ) , 𝑓(−0.5𝑡) 4 2 b. 𝑔(𝑡) = ∑ 2𝑛=−2 𝑓(𝑡 − 3𝑛) c. Calcule el valor promedio de la señal periódica del literal b) d. Calcule el valor eficaz de la señal periódica del literal b)

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2) Para la siguiente señal encuentre: a. 3𝑓(𝑡), 2𝑓(−𝑡), 5𝑓(0.8𝑡) b. 2𝑓(2𝑡 − 3) c. 𝑔(𝑡) = ∑ 2𝑛=−2 𝑓(𝑡 − 3𝑛)

3) Para la siguiente señal encuentre: a. 4𝑓(𝑡), 2𝑓(−𝑡), 𝑓(𝑡 − 2) b. 𝑔(𝑡) = ∑ 2𝑛=−2 𝑓(𝑡 − 𝑛) c. 𝑔(𝑡) = ∑ 2𝑛=−2 𝑓(𝑡 − 2𝑛)

𝑡, 0...