2. Test 2020 alle Gruppen PDF

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325 – StochastikZweiter Test 2020S – 17.Fragen im Wortlaut abgetippt, Theoriefragen im Anhang.Anpassungstest 1Im Zuge einer Gesundheitsoffensive wurde der Bierkonsum von ������ zufällig ausgewählten Studenten ermittelt. Für eine weitere Auswertung der Daten dieser Stichprobe muss zuerst die Annahme ...

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325.062 – Stochastik Zweiter Test 2020S – 17.06.2020 Fragen im Wortlaut abgetippt, Theoriefragen im Anhang.

Anpassungstest 1 Im Zuge einer Gesundheitsoffensive wurde der Bierkonsum von 𝟑𝟎𝟎 zufällig ausgewählten Studenten ermittelt. Für eine weitere Auswertung der Daten dieser Stichprobe muss zuerst die Annahme auf Normalverteilung überprüft werden. Dazu wurden die Daten in Kategorien (Intervalle) eingeteilt und die erwarteten Werte mit Hilfe des Mittelwertes der Stichprobe 𝒙 = 𝟐𝟑𝟏. 𝟓𝟓 und der empirischen Standardabweichung 𝒔 = 𝟕𝟐. 𝟑𝟖 bestimmt. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle, welche die beobachteten Häufigkeiten 𝒏𝒊 und die erwarteten Häufigkeiten 𝒏𝒑𝒊𝟎 für die ausgewählten Kategorien umfasst Intervalle / – 110 170 – 110 230 – 170 290 – 230 350 – 290 350 – /

Beobachtet 15 37 85 107 40 16

Erwartet 13.96 45.3 88.17 89.66 47.64 15.26

Führen Sie, basierend auf vorhandenen kategorisierten Daten, einen 𝝌𝟐 -Anpassungstest durch, um zu überprüfen, ob die Annahme einer Normalverteilung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 𝜶 = 𝟓% zulässig ist. Wie lautet die Null-Hypothese des 𝝌𝟐 -Anpassungstest? Hinweis: 𝒑𝒊 bezeichnet die erwartete Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung in Kategorie 𝒊 auftritt, 𝒌 bezeichnet die Anzahl an Kategorien. • • • • •

a. b. c. d. e.

𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 , … , 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0 Keine Antwort 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝10 = . . . = 𝑝𝑘 = 𝑝𝑘0 𝑯𝟎 : 𝒑𝟏 = 𝒑𝟏𝟎, … , 𝒑𝒌 = 𝒑𝒌𝟎 𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 ≠ . . . ≠ 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0

Wie lautet der Wert der Teststatistik? 6.33 Wählen Sie die richtige Aussage des Tests: Die Null-Hypothese wird nicht abgelehnt. Was würde ein Ablehnen der Null-Hypothese in dem Fall bedeuten? Die Daten folgen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha einer anderen Verteilung als der Normalverteilung. Wie würde sich der Test ändern, wenn der Mittelwert und die Standardabweichung der angenommenen Normalverteilung im Voraus bekannt gewesen wären? Es gäbe keinen Bereich mehr, in dem die Hypothesen nicht beurteilt werden können und die Anzahl der Freiheitsgrade wäre 5.

Anpassungstest 2 Im Zuge einer Gesundheitsoffensive wurde das Körpergewicht von 𝟏𝟓𝟎 zufällig ausgewählten Studenten ermittelt. Für eine weitere Auswertung der Daten dieser Stichprobe muss zuerst die Annahme auf Normalverteilung überprüft werden. Dazu wurden die Daten in Kategorien (Intervalle) eingeteilt und die erwarteten Werte mit Hilfe des Mittelwertes der Stichprobe 𝒙 = 𝟕𝟎. 𝟎𝟑 und der empirischen Standardabweichung 𝒔 = 𝟏𝟐. 𝟒 bestimmt. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle, welche die beobachteten Häufigkeiten 𝒏𝒊 und die erwarteten Häufigkeiten 𝒏𝒑𝒊𝟎 für die ausgewählten Kategorien umfasst Intervalle / – 50 60 – 50 70 – 60 80 – 70 90 – 80 90 – /

Beobachtet 8 21 41 57 15 8

Erwartet 7.96 23.43 43.48 43.55 23.55 8.03

Führen Sie, basierend auf vorhandenen kategorisierten Daten, einen 𝝌𝟐 -Anpassungstest durch, um zu überprüfen, ob die Annahme einer Normalverteilung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 𝜶 = 𝟓% zulässig ist. Wie lautet die Null-Hypothese des 𝝌𝟐 -Anpassungstest? Hinweis: 𝒑𝒊 bezeichnet die erwartete Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung in Kategorie 𝒊 auftritt, 𝒌 bezeichnet die Anzahl an Kategorien. • • • • •

a. b. c. d. e.

𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 , … , 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0 Keine Antwort 𝑯𝟎 : 𝒑𝟏 = 𝒑𝟏𝟎, … , 𝒑𝒌 = 𝒑𝒌𝟎 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝10 = . . . = 𝑝𝑘 = 𝑝𝑘0 𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 ≠ . . . ≠ 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0

Wie lautet der Wert der Teststatistik? 7.65 Wählen Sie die richtige Aussage des Tests: Die Null-Hypothese wird nicht abgelehnt werden. Was würde ein Ablehnen der Null-Hypothese in dem Fall bedeuten? Die Daten folgen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha einer anderen Verteilung als der Normalverteilung. Wie würde sich der Test ändern, wenn der Mittelwert und die Standardabweichung der angenommenen Normalverteilung im Voraus bekannt gewesen wären? Es gäbe keinen Bereich mehr, in dem die Hypothesen nicht beurteilt werden können und die Anzahl der Freiheitsgrade wäre 5.

Anpassungstest 3 Im Zuge einer Gesundheitsoffensive wurde der Bierkonsum von 𝟐𝟎𝟎 zufällig ausgewählten Studenten ermittelt. Für eine weitere Auswertung der Daten dieser Stichprobe muss zuerst die Annahme auf Normalverteilung überprüft werden. Dazu wurden die Daten in Kategorien (Intervalle) eingeteilt und die erwarteten Werte mit Hilfe des Mittelwertes der Stichprobe 𝒙 = 𝟏𝟕𝟖. 𝟒𝟏 und der empirischen Standardabweichung 𝒔 = 𝟔𝟖. 𝟓𝟏 bestimmt. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle, welche die beobachteten Häufigkeiten 𝒏𝒊 und die erwarteten Häufigkeiten 𝒏𝒑𝒊𝟎 für die ausgewählten Kategorien umfasst Intervalle / – 100 150 – 100 200 – 150 250 – 200 250 – /

Beobachtet 14 53 66 46 21

Erwartet 25.24 42.6 56.9 45.66 29.6

Führen Sie, basierend auf vorhandenen kategorisierten Daten, einen 𝝌𝟐 -Anpassungstest durch, um zu überprüfen, ob die Annahme einer Normalverteilung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 𝜶 = 𝟓% zulässig ist. Wie lautet die Null-Hypothese des 𝝌𝟐 -Anpassungstest? Hinweis: 𝒑𝒊 bezeichnet die erwartete Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung in Kategorie 𝒊 auftritt, 𝒌 bezeichnet die Anzahl an Kategorien. • • • • •

a. b. c. d. e.

𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 , … , 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝10 = . . . = 𝑝𝑘 = 𝑝𝑘0 𝑯𝟎 : 𝒑𝟏 = 𝒑𝟏𝟎, … , 𝒑𝒌 = 𝒑𝒌𝟎 𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 ≠ . . . ≠ 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0 Keine Antwort

Wie lautet der Wert der Teststatistik? 11.5 Wählen Sie die richtige Aussage des Tests: Die Null-Hypothese muss abgelehnt werden. Was würde ein Ablehnen der Null-Hypothese in dem Fall bedeuten? Die Daten folgen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha einer anderen Verteilung als der Normalverteilung. Wie würde sich der Test ändern, wenn der Mittelwert und die Standardabweichung der angenommenen Normalverteilung im Voraus bekannt gewesen wären? Es gäbe keinen Bereich mehr, in dem die Hypothesen nicht beurteilt werden können und die Anzahl der Freiheitsgrade wäre 4.

Anpassungstest 4 Im Zuge einer Gesundheitsoffensive wurde das Körpergewicht von 𝟐𝟎𝟎 zufällig ausgewählten Studenten ermittelt. Für eine weitere Auswertung der Daten dieser Stichprobe muss zuerst die Annahme auf Normalverteilung überprüft werden. Dazu wurden die Daten in Kategorien (Intervalle) eingeteilt und die erwarteten Werte mit Hilfe des Mittelwertes der Stichprobe 𝒙 = 𝟕𝟎. 𝟑𝟔 und der empirischen Standardabweichung 𝒔 = 𝟏𝟓. 𝟑𝟓 bestimmt. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle, welche die beobachteten Häufigkeiten 𝒏𝒊 und die erwarteten Häufigkeiten 𝒏𝒑𝒊𝟎 für die ausgewählten Kategorien umfasst Intervalle / – 45 60 – 45 75 – 60 90 – 75 90 – /

Beobachtet 7 32 91 58 12

Erwartet 9.85 40.12 73.78 56.18 20.08

Führen Sie, basierend auf vorhandenen kategorisierten Daten, einen 𝝌𝟐 -Anpassungstest durch, um zu überprüfen, ob die Annahme einer Normalverteilung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 𝜶 = 𝟓% zulässig ist. Wie lautet die Null-Hypothese des 𝝌𝟐 -Anpassungstest? Hinweis: 𝒑𝒊 bezeichnet die erwartete Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung in Kategorie 𝒊 auftritt, 𝒌 bezeichnet die Anzahl an Kategorien. • • • • •

a. b. c. d. e.

𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 , … , 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0 Keine Antwort 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝10 = . . . = 𝑝𝑘 = 𝑝𝑘0 𝑯𝟎 : 𝒑𝟏 = 𝒑𝟏𝟎, … , 𝒑𝒌 = 𝒑𝒌𝟎 𝐻0 : 𝑝1 ≠ 𝑝10 ≠ . . . ≠ 𝑝𝑘 ≠ 𝑝𝑘0

Wie lautet der Wert der Teststatistik? 9.79 Wählen Sie die richtige Aussage des Tests: Die Null-Hypothese muss abgelehnt werden. Was würde ein Ablehnen der Null-Hypothese in dem Fall bedeuten? Die Daten folgen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha einer anderen Verteilung als der Normalverteilung. Wie würde sich der Test ändern, wenn der Mittelwert und die Standardabweichung der angenommenen Normalverteilung im Voraus bekannt gewesen wären? Es gäbe keinen Bereich mehr, in dem die Hypothesen nicht beurteilt werden können und die Anzahl der Freiheitsgrade wäre 4.

Varianzanalyse 1 Ein Hersteller für Bilderrahmen will überprüfen, ob die Farbe des Bilderrahmens Einfluss auf das Kaufverhalten hat. Dafür wird ein Bilderrahmen in vier unterschiedlichen Farben produziert. Für den Test werden 24 verschiedene Geschäfte ausgewählt. In jeweils 6 Geschäften wird jeweils eine Farbe des Bilderrahmens angeboten. Die erhaltenen Verkaufszahlen sind in nachfolgender Tabelle präsentiert: Türkis 182 131 130 139 174 144

Grau 164 182 158 162 180 150

Lila 192 168 175 176 173 202

Beige 132 183 191 150 183 181

Hat das Verpackungsmaterial des Produkts bei 𝜶 = 𝟓% einen Einfluss auf die Verkaufszahlen? Führen Sie eine Varianzanalyse durch. Bestimmen Sie die mittleren Quadratsummen und den Wert der Test Statistik 𝑭 zum gegebenen Problem. (Zur Kontrolle: der Gesamtmittelwert aller Verkaufszahlen beträgt 166.75) MSTr = 989, MSE = 346, F = 2.864 Wie lautet der kritische Wert 𝑭𝒌𝒓𝒊𝒕 für das gegebene Problem? 3.098 Beurteilen Sie: Das Verpackungsmaterial hat bei 𝜶 = 𝟓% _________ signifikanten Einfluss auf die Verkaufszahlen keinen Der 𝑷-Wert des Tests befindet sich im folgenden Bereich: 0.05 < P < 0.1 Unabhängig vom Ergebnis der Teilfrage 3: Welche Verpackungen unterscheiden sich im Kaufverhalten unter Verwendung von Tukey’s 𝑻-Test bei 𝜶 = 𝟓% signifikant? Bestimmen Sie den kritischen Wert der entsprechenden Studentized Range Verteilung 𝑸𝜶,𝒑,𝝂: 3.96 Beurteilen Sie: Das Kaufverhalten beim Produkt verpackt in Karton und Kunststoff unterscheidet sich signifikant.

Varianzanalyse 2 Ein Geschäft will überprüfen, ob das Verpackungsmaterial eines Produkts Einfluss auf das Kaufverhalten hat. Dafür wird das Produkt in fünf unterschiedlichen Verpackungen angeboten. Für den Test werden 25 verschiedene Filialen ausgewählt. In jeweils 5 Filialen wird das Produkt jeweils in einem Verpackungsmaterial angeboten. Die erhaltenen Verkaufszahlen sind in nachfolgender Tabelle präsentiert: Kunststoff 402 318 440 374 398

Glas 417 452 537 415 399

Bioplastik 363 347 423 380 455

Karton 541 406 429 512 428

Stoff 359 408 469 395 421

Hat das Verpackungsmaterial des Produkts bei 𝜶 = 𝟓% einen Einfluss auf die Verkaufszahlen? Führen Sie eine Varianzanalyse durch. Bestimmen Sie die mittleren Quadratsummen und den Wert der Test Statistik 𝑭 zum gegebenen Problem. (Zur Kontrolle: der Gesamtmittelwert aller Verkaufszahlen beträgt 419.52) MSTr = 5449, MSE = 2443, F = 2.23 Wie lautet der kritische Wert 𝑭𝒌𝒓𝒊𝒕 für das gegebene Problem? 2.866 Beurteilen Sie: Das Verpackungsmaterial hat bei 𝜶 = 𝟓% _________ signifikanten Einfluss auf die Verkaufszahlen keinen Der 𝑷-Wert des Tests befindet sich im folgenden Bereich: P ≥ 0.1 Unabhängig vom Ergebnis der Teilfrage 3: Welche Verpackungen unterscheiden sich im Kaufverhalten unter Verwendung von Tukey’s 𝑻-Test bei 𝜶 = 𝟓% signifikant? Bestimmen Sie den kritischen Wert der entsprechenden Studentized Range Verteilung 𝑸𝜶,𝒑,𝝂: 4.23 Beurteilen Sie: Das Kaufverhalten beim Produkt verpackt in Karton und Kunststoff unterscheidet sich nicht signifikant.

Varianzanalyse 3 Ein Hersteller für Bilderrahmen will überprüfen, ob die Farbe des Bilderrahmens Einfluss auf das Kaufverhalten hat. Dafür wird ein Bilderrahmen in drei unterschiedlichen Farben produziert. Für den Test werden 27 verschiedene Geschäfte ausgewählt. In jeweils 9 Geschäften wird jeweils eine Farbe des Bilderrahmens angeboten. Die erhaltenen Verkaufszahlen sind in nachfolgender Tabelle präsentiert: Grau 412 434 505 466 467 432 429 412 385

Beige 489 444 418 506 466 469 510 515 443

Lila 459 354 378 425 404 401 417 450 462

Hat das Verpackungsmaterial des Produkts bei 𝜶 = 𝟓% einen Einfluss auf die Verkaufszahlen? Führen Sie eine Varianzanalyse durch. Bestimmen Sie die mittleren Quadratsummen und den Wert der Test Statistik 𝑭 zum gegebenen Problem. (Zur Kontrolle: der Gesamtmittelwert aller Verkaufszahlen beträgt 442.667) MSTr = 7372, MSE = 1274, F = 5.787 Wie lautet der kritische Wert 𝑭𝒌𝒓𝒊𝒕 für das gegebene Problem? 3.403 Beurteilen Sie: Das Verpackungsmaterial hat bei 𝜶 = 𝟓% _________ signifikanten Einfluss auf die Verkaufszahlen einen Der 𝑷-Wert des Tests befindet sich im folgenden Bereich: P < 0.01 Unabhängig vom Ergebnis der Teilfrage 3: Welche Verpackungen unterscheiden sich im Kaufverhalten unter Verwendung von Tukey’s 𝑻-Test bei 𝜶 = 𝟓% signifikant? Bestimmen Sie den kritischen Wert der entsprechenden Studentized Range Verteilung 𝑸𝜶,𝒑,𝝂: 3.53 Beurteilen Sie: Das Kaufverhalten beim Produkt verpackt in Karton und Kunststoff unterscheidet sich signifikant.

Lineare Regression 1 (Seite 1) Einer der bekanntesten Geysire der Erde ”Old Faithful” befindet sich im Yellowstone Nationalpark. Zwischen zwei Eruptionen liegen 30 bis 120 Minuten, die Eruptionssäule erreicht eine Höhe von ca. 30 bis 55 Meter. Beobachtungen zeigen, dass man nach einer höheren Wassersäule i.A. länger auf den nächsten Ausbruch warten muss. Anhand vorliegenden Messdaten: Höhe der Säule x, Meter Zeitintervall danach y, Minuten

31 77

41 116

45 110

51 119

32 59

47 106

 = [𝜷 𝟎, 𝜷  𝟏 ]𝑻 des linearen Regressionsmodells der Form Schätzen Sie die optimalen Parameter 𝜷 𝒚 = 𝜷 𝟎 +𝜷 𝟏 𝒙, ermitteln Sie das Bestimmtheitsmaß des Modells R2, finden Sie das Konfidenzintervall für das Zeitintervall nach einer Eruption mit einer Höhe von 38 Metern und führen Sie ein Hypothesen-Test durch um festzustellen, ob die Höhe der Wassersäule tatsächlich einen signifikanten Einfluss auf das Zeitintervall bis zum nächsten Ausbruch hat. Stellen Sie mit den gegebenen Messdaten die Regressormatrix 𝒙 und den Ausgangsvektor 𝒚 auf.

•

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

31 1 77 41 1 116 𝑥 = 45 1 , 𝑦 = 110 119 51 1 32 1 59 [47 1 ] [106] Keine Antwort 𝟏 𝟑𝟏 𝟕𝟕 𝟏 𝟒𝟏 𝟏𝟏𝟔 𝒙 = 𝟏 𝟒𝟓 , 𝒚 = 𝟏𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟗 𝟏 𝟓𝟏 𝟏 𝟑𝟐 𝟓𝟗 [𝟏 𝟒𝟕 ] [𝟏𝟎𝟔 ] 0 31 77 0 41 116 𝑥 = 0 45 , 𝑦 = 110 0 51 119 0 32 59 [0 47 ] [106] 31 77 −1 41 116 −1 45 110 , 𝑦 = −1 𝑥= −1 51 119 −1 32 59 [47 106 ] [−1 ]

Die Matrix der Least-Squares-Gleichung 𝑿𝑻 𝑿𝜷 = 𝑿𝑻 𝒚 ergibt sich zu •

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

𝟔. 𝟐𝟒𝟕. 1. 𝑋𝑇 𝑋 = [ 260. 6. 𝑋𝑇 𝑋 = [ 250. 1. 𝑋𝑇 𝑋 = [ 231. Keine Antwort 𝑿𝑻 𝑿 = [

𝟐𝟒𝟕. ] 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟏. 260. ] 10590. 250. ] 11123. 231. ] 11363.

Lineare Regression 1 (Seite 2) Finden Sie die Least-Squares-Schätzung der Regressionsparameter •

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

−9.757 ] 𝛽󰆹 = [ 3.064  = [−𝟗. 𝟒𝟐𝟑] 𝜷 𝟐. 𝟔𝟎𝟓 −9.475 ] 𝛽󰆹 = [ 3.425 Keine Antwort −8.097 𝛽󰆹 = [ ] 3.019

Ermitteln Sie die totale Quadratsumme der gemessenen Daten: 2934.83 Das Bestimmtheitsmaß des Regressionsmodells ergibt sich zu 0.77 Finden Sie das 95% Konfidenzintervall für das Zeitintervall nach einer Eruption mit der Höhe der Wassersäule von 38 Metern. • • • • • •

a. b. c. d. e. f.

𝐾𝐼[𝑦(38)] = [74.636; 104.529] 𝐾𝐼[𝑦(38)] = [77.293; 101.873] 𝐾𝐼[𝑦(38)] = [73.577; 297.585] Keine Antwort 𝑲𝑰[𝒚(𝟑𝟖)] = [𝟕𝟑. 𝟓𝟕𝟕; 𝟏𝟎𝟓. 𝟓𝟖𝟗] 𝐾𝐼[𝑦(38)] = [77.293; 249.294]

Führen Sie einen Hypothesen-Test durch, um zu überprüfen, ob sich der wahre Modellparameter 𝜷𝟏 bei 𝜶 = 𝟓% signifikant von 0 unterscheidet. 𝑯 𝟎 : 𝜷𝟏 = 𝟎 Bestimmen Sie den Wert der Test Statistik: 3.658 Der kritische Wert der entsprechenden Verteilung beträgt 2.776 Dieses Resultat bedeutet, dass der Zusammenhang zwischen x und y statistisch ______ ist. signifikant

Lineare Regression 2 (Seite 1) Einer der bekanntesten Geysire der Erde ”Old Faithful” befindet sich im Yellowstone Nationalpark. Zwischen zwei Eruptionen liegen 30 bis 120 Minuten, die Eruptionssäule erreicht eine Höhe von ca. 30 bis 55 Meter. Beobachtungen zeigen, dass man nach einer höheren Wassersäule i.A. länger auf den nächsten Ausbruch warten muss. Anhand vorliegenden Messdaten: Höhe der Säule x, Meter Zeitintervall danach y, Minuten

52 101

31 34

52 86

40 92

44 70

46 73

 = [𝜷 𝟎, 𝜷  𝟏 ]𝑻 des linearen Regressionsmodells der Form Schätzen Sie die optimalen Parameter 𝜷 𝒚 = 𝜷 𝟎 +𝜷 𝟏 𝒙, ermitteln Sie das Bestimmtheitsmaß des Modells R2, finden Sie das Konfidenzintervall für das Zeitintervall nach einer Eruption mit einer Höhe von 34 Metern und führen Sie ein Hypothesen-Test durch um festzustellen, ob die Höhe der Wassersäule tatsächlich einen signifikanten Einfluss auf das Zeitintervall bis zum nächsten Ausbruch hat. Stellen Sie mit den gegebenen Messdaten die Regressormatrix 𝒙 und den Ausgangsvektor 𝒚 auf.

•

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

52 1 101 31 1 34 52 1 𝑥= , 𝑦 = 86 92 40 1 44 1 70 [46 1 ] [ 73 ] Keine Antwort 0 52 101 0 31 34 0 52 𝑥= , 𝑦 = 86 92 0 40 70 0 44 [0 46 ] [ 73 ] 𝟏 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟏 𝟏 𝟑𝟏 𝟑𝟒 𝟏 𝟓𝟐 𝒙= , 𝒚 = 𝟖𝟔 𝟗𝟐 𝟏 𝟒𝟎 𝟕𝟎 𝟏 𝟒𝟒 [𝟏 𝟒𝟔 ] [ 𝟕𝟑 ] 52 101 −1 31 34 −1 52 86 𝑥= , 𝑦 = −1 40 92 −1 −1 44 70 [ 46 73 ] [−1 ]

Die Matrix der Least-Squares-Gleichung 𝑿𝑻 𝑿𝜷 = 𝑿𝑻 𝒚 ergibt sich zu •

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

1. 284. 6. 𝑋𝑇 𝑋 = [ 278. 1. 𝑋𝑇 𝑋 = [ 295. Keine Antwort 𝟔. 𝑿𝑻 𝑿 = [ 𝟐𝟔𝟓. 𝑋𝑇 𝑋 = [

284. ] 12468. 278. ] 12481. 295. ] 11804. 𝟐𝟔𝟓. ] 𝟏𝟐𝟎𝟐𝟏.

Lineare Regression 2 (Seite 2) Finden Sie die Least-Squares-Schätzung der Regressionsparameter •

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

−25.537 ] 𝛽󰆹 = [ 2.953 −29.375 ] 𝛽󰆹 = [ 2.849 Keine Antwort  = [−𝟐𝟗. 𝟑𝟖𝟕] 𝜷 𝟐. 𝟑𝟖𝟔 −30.659 󰆹 = [ ] 𝛽 2.691

Ermitteln Sie die totale Quadratsumme der gemessenen Daten: 2790. Das Bestimmtheitsmaß des Regressionsmodells ergibt sich zu 0.647 Finden Sie das 95% Konfidenzintervall für das Zeitintervall nach einer Eruption mit der Höhe der Wassersäule von 34 Metern. • • • • • •

a. b. c. d. e. f.

𝑲𝑰[𝒚(𝟑𝟒)] = [𝟐𝟏. 𝟏𝟑𝟔; 𝟖𝟐. 𝟑𝟒𝟕] 𝐾𝐼[𝑦(34)] = [28.241; 420.715] 𝐾𝐼[𝑦(34)] = [6.832; 96.65] 𝐾𝐼[𝑦(34)] = [21.136; 532.28] Keine Antwort 𝐾𝐼[𝑦(34)] = [28.241; 75.241]

Führen Sie einen Hypothesen-Test durch, um zu überprüfen, ob sich der wahre Modellparameter 𝜷𝟏 bei 𝜶 = 𝟓% signifikant von 0 unterscheidet. 𝑯 𝟎 : 𝜷𝟏 = 𝟎 Bestimmen Sie den Wert der Test Statistik: 2.705 Der kritische Wert der entsprechenden Verteilung beträgt 2.776 Dieses Resultat bedeutet, dass der Zusammenhang zwischen x und y statistisch ______ ist. nicht signifikant

Lineare Regression 3 (Seite 1) Bei Fahrten auf der Autobahn hängt der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch neben anderen Faktoren auch mit dem Gewicht des Autos zusammen. Bei zufällig ausgewählten PKWs unterschiedlicher Hersteller wurden folgende Daten gemessen Anhand vorliegenden Messdaten: Gewicht des Autos x, Tonnen Kravtstoffverbrauch y, Liter pro 100 km

1.62 8.22

1.63 9.59

1.02 5.57

1.25 8.1

1.3 6.21

𝑻

 = [𝜷 𝟎, 𝜷  𝟏 ] des linearen Regressionsmodells der Form Schätzen Sie die optimalen Parameter 𝜷 𝒚 = 𝜷 𝟎 +𝜷 𝟏 𝒙, ermitteln Sie das Bestimmtheitsmaß des Modells R2, finden Sie das Konfidenzintervall für für den Kraftstoffverbrauch eines Autos das 1.4 Tonnen schwer ist und führen Sie ein Hypothesen-Test durch um festzustellen, ob das Gewicht des Autos tastächlich einen signifikanten Einfluss auf den Kraftstoffverbrauch hat. Stellen Sie mit den gegebenen Messdaten die Regressormatrix 𝒙 und den Ausgangsvektor 𝒚 auf.

•

a.

•

b.

•

c.

•

d.

•

e.

1.62 8.22 −1 1.63 9.59 −1 𝑥 = 1.02 5.57 , 𝑦 = −1 −1 1.25 8.1 [ 1.3 6.21 ] [−1 ] 0 1.62 8.22 0 1.63 9.59 𝑥 = 0 1.02 , 𝑦 = 5.57 0 1.25 8.1 [0 1.3 ] [6.21 ] Keine Antwort 1 1.62 8.22 1...