(20-21) Cálculo-06 Formula de Taylor PDF

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Tema 6

6. tit Fórmula de Taylor

6.1. Aproximación polinómica de una función El estudio de una función f (x) en el entorno de un punto x = a se simplificaría si pudiéramos aproximar la función por un polinomio P(x) , que es el tipo de función más sencillo, siempre que tuviéramos cierta información acerca de la magnitud del error de aproximación. Parece razonable imponer que la función f (x) y el polinomio P(x) tomen el mismo valor en x = a . Además, en la lección anterior se ha visto que las derivadas de f (x) en x = a están estrechamente relacionadas con el comportamiento local de la función, por lo que vamos a imponer también que, en caso de que existan, las derivadas sucesivas del polinomio y la función también coincidan, hasta cierto orden, en ese punto. En el caso de la aproximación lineal, supongamos que f (x) es derivable en x = a . Se trata de hallar un polinomio P1 ( x ) de primer grado que verifique P1 (a ) = f (a ) y P1′( a) = f ′( a) . Expresamos el polinomio como P1 ( x ) = c 0 + c1 ( x − a) con coeficientes c0 y c1 desconocidos. Imponiendo P1 (a ) = f (a ) se obtiene c 0 = f (a ) . Derivando, P1′( x ) = c1 y por tanto c1 = f ′( a) . Así pues, sustituyendo el valor de los coeficientes obtenidos, el polinomio de aproximación de primer grado es precisamente la recta tangente a la función en x = a.

P1 ( x) = f ( a) + f ′(a )( x − a ) . Análogamente, si f (x) admite derivada segunda en x = a, nos proponemos obtener una aproximación cuadrática mediante una función polinómica de segundo grado. Sea el polinomio de segundo grado P2 ( x) = c0 + c1 ( x − a) + c2 ( x − a )2 .

Imponiendo las condiciones anteriormente citadas, P2 (a) = f ( a) ⇒ c0 = f ( a) P2′ ( a) = f ′( a) • P2′ ( x) = c1 + 2 c2 ( x − a) ⇒ c1 = f ′( a) P2′′(a ) = f ′′(a ) • 1 P2′′( x) = 2c 2 ⇒ c2 = f ′′( a) 2 Sustituyendo el valor de las constantes en P2 (x ) se obtiene •

79

Funciones de una variable

P2 ( x) = f ( a) + f ′( a)( x − a) +

1 2 f ′′( a)( x − a) . 2

En el caso general, si f (x) es derivable n veces en x = a , se desea obtener una aproximación polinómica Pn (x) de grado n en un entorno de x = a tal que ambas funciones y sus n primeras derivadas coincidan en x = a . Sea el polinomio de grado n Pn ( x ) = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a) 2 + c 3 (x − a ) 3 +  + cn ( x − a) n .

Imponiendo las condiciones, Pn (a) = f ( a) ⇒ c0 = f ( a) Pn′ (a ) = f ′(a )

• •

Pn′ ( x) = c1 + 2c 2 ( x − a) + 3 c3 ( x − a) 2 + ... + ncn ( x − a) n−1 ⇒ c1 = f ′( a) Pn′′(a ) = f ′′( a) 1 Pn′′( x) = 2 c2 + 3 ⋅ 2 c3 ( x − a) + ... + n( n − 1) cn ( x − a) n− 2 ⇒ c 2 = f ′′( a) 2 Pn′′′(a) = f ′′′( a) 1 Pn′′′(x ) = 3⋅ 2 c3 + ... + n (n − 1)(n − 2) cn ( x − a )n −3 ⇒ c3 = f ′′′ ( a) 3!

•

•

Procediendo de modo análogo hasta la derivada n-ésima, se obtiene cn =

1 f n!

( n)

( a) , por

lo que el polinomio tiene la expresión Pn ( x) = f ( a) + f ′( a)( x − a) +

f ′′( a) f (n ) ( a) (x − a ) 2 + + ( x − a) n n! 2!

Esta aproximación se denomina polinomio de Taylor de grado n para la función f (x) alrededor del punto x = a. Ejemplo: Sea la función f ( x ) = e x . Hallar el polinomio de Taylor de grado n de la función f ( x ) = e x alrededor de x = 0 . La función exponencial tiene derivadas de cualquier orden en todo R. Además, f ( x ) = f ′( x ) = f ′′( x) = ... = f (n ) ( x) = e x , ∀x ∈ R , y por tanto,

f (0) = f ′ (0 ) = f ′′ (0) = ... = f Así pues, Pn ( x) = 1 + x +

n)

(0) = 1

1 2 1 3 1 x + x  + xn . n! 2! 3!

En la Fig. 6.1 se ha representado la función f ( x ) = e x y los polinomios de Taylor de 1º y 2º grado centrados en x = 0.

80

Tema 6 . Fórmula de Taylor

y f(x) = ex

7

P2(x) = 1 + x+ x2/2

6

5

4

P1(x) = 1 + x

3

2

1

x

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1

-2

-3

x

Fig. 6.1. Polinomios de Taylor de grado 1 y 2 de la función f ( x) = e alrededor de x = 0.

Hasta el momento se ha obtenido la fórmula para hallar aproximaciones polinómicas de una función. Sin embargo, una aproximación de poco sirve si no se puede cuantificar el error de aproximación. El siguiente teorema nos va a dar información sobre la diferencia entre los valores que toma la función y el Polinomio de Taylor de grado n.

6.2. Fórmula de Taylor Teorema: Sea una función f (x) derivable hasta orden (n + 1) en E (a, δ) . Entonces, ∀b ∈ E (a ,δ ) se verifica que

f (b) = f ( a) + f ′( a)( b − a) + +

f ′′(a ) f ′′′( a) f ( n ) ( a) (b − a) n (b − a)3 +  + (b− a)2 + n! 3! 2!

f (n + 1) (c ) (b − a )n + 1 (n +1)!

donde c es un punto intermedio entre a y b. Demostración Sea A el número real que verifica que f ( b) = Pn ( b) + A( b − a) n+1 . Si demostramos que ∃c , punto intermedio entre a y b tal que A =

f (n +1)( c) , habremos demostrado el teorema. ( n +1)!

Definimos ahora una función ϕ (x) ,

81

Funciones de una variable

ϕ ( x ) = f ( x) + f ′( x)(b − x) +

f ′′( x) f (n )( x) (b − x )n + A(b − x )n+1 (b − x )2 +  + n! 2!

que cumple las siguientes condiciones: ϕ( a) = Pn (b) + A(b − a) n +1 = f (b)   , es decir, ϕ( a) = ϕ(b) . ϕ (b ) = f (b ) 

Supongamos que b > a . Como, además, ϕ(x) es continua en [a, b] y derivable en ( a, b ) , se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Rolle. Luego ∃ c ∈( a, b) / ϕ′( c) = 0 . Evidentemente el razonamiento es idéntico si a > b , en cuyo caso utilizaríamos los intervalos [b,a] y (b,a). Si calculamos la derivada de ϕ(x) obtenemos: f ′′′( x) (b − x) 2 − f ′′( x)(b − x) 2! ′ ′ ′ f iv ( x ) f x f ( n+1) ( x ) ( ) (b − x )3 − (b − x ) 2 + + + ( b − x) n n! 3! 2! (n ) f ( x) − (b − x )n −1 − A(n + 1)(b − x )n ( n − 1)!

ϕ′( x) = f ′( x) + f ′′( x)(b − x) − f ′ ( x) +

y, simplificando,  f ( n+ 1) ( x )  ϕ′ (x ) =  − A( n + 1) ( b − x) n  n! 

luego   f ( n+1) (c ) ϕ′( c) =  − A( n + 1) (b − c) n = 0   n!

Y, como c ≠ b , se debe cumplir que A =

f (n +1) (c ) . ( n +1)!

6.3. Consecuencias de la fórmula de Taylor 6.3.1. Fórmula de Taylor y error de aproximación Obsérvese que la fórmula del teorema puede expresarse, f ( x ) − Pn ( x ) =

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f (n +1) (c ) ( x − a) n +1 , ∀x ∈ E( a, δ ) ( n +1)!

Tema 6 . Fórmula de Taylor

donde Pn (x) representa el polinomio de Taylor de grado n de la función f alrededor del f ( n+ 1) ( c) n 1 ( x − a ) + puede interpretarse como el error (n + 1)! cometido al aproximar f (x) por el polinomio de Taylor Pn (x) . Recibe el nombre de término complementario (y se representa Tn ), residuo o resto ( Rn +1 ). punto x = a . Por tanto, el término

Así pues, el teorema de Taylor se podría expresar del siguiente modo: Dada una función f (x) derivable hasta orden (n + 1) en E( a, δ), el error cometido al aproximar f (b) mediante el polinomio de Taylor de grado n centrado en x = a es Tn =

f

(n +1)

( c) 1 (b − a)n + para cierto c entre a y b. (n + 1)!

6.3.2. Acotación del error de aproximación Supongamos que

f (n+1) ( x) está acotada en

∀ x ∈ E( a, δ) se cumple que

Rn +1 =

f

(n +1)

E( a, δ), es decir, ∃M > 0 tal que

(x ) < M .

f (n +1) (c ) M n +1 b −a , (b − a )n +1 < (n + 1)! (n + 1)!

∀b ∈ E (a ,δ ) .

Esta expresión permite acotar el error cometido al aproximar f (x) por el polinomio de Taylor de grado n.

6.3.3. Grado del polinomio de Taylor y error de aproximación En el caso de que ∃M > 0 tal que ∀n ∈ N f

(n +1)

(x ) < M en E( a, δ) , fácilmente se

puede ver que lim n→ ∞

M (b − a )n +1 = 0 , (n + 1)!

es decir, cuanto mayor sea el grado del polinomio de Taylor, menor es el error cometido y mejor es la aproximación. En otras palabras, la aproximación puede ser tan buena como se desee, sin más que utilizar un polinomio de grado suficientemente elevado.

6.4. Fórmula de Taylor de algunas funciones

83

Funciones de una variable

Se presentan aquí las fórmulas de Taylor alrededor de x = 0 de algunas funciones, que el lector puede comprobar fácilmente. En estos desarrollos, se considera que 0 < c < x , si x > 0   x < c < 0 , si x < 0

ex = 1 +

x x 2 x3 xn xn +1 + + + ⋅⋅⋅ + + ec n! 1! 2! 3! ( n +1)!

ln (1+ x )= x−

n x2 x3 x4 (−1)n + 2 x n+ 1 n 1 x + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (− 1) + + ⋅ n (1 + c) n+1 n + 1 2 3 4

π  π   sen (n + 1) + c  sen n  x x x 2  2  xn +   x n+1 sen x = x − + − + ⋅⋅⋅ + n! (n + 1)! 3! 5! 7! 3

5

7

π π cos ( n + 1) + c  cos  n  x x x 2   x n+1  2 xn + cos x = 1 − + − + ⋅⋅⋅ + n! (n + 1)! 2! 4! 6! 2

4

6

 x3 x5 x7 x 2k − 1 ch c x x 2 k +1 + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +  3! 5! 7! (2 k − 1)! ( 2k + 1)!  sh x =  3 5 7 x x x x2 k +1 sh c x + x 2k + 2 + + + ⋅⋅⋅ + +  3! 5! 7! ( 2 k + 1)! (2k + 2)!  x2 x4 x6 x2k sh c + + + ⋅⋅⋅ + + x 2 k +1  1+  2! 4! 6! ( 2 k )! ( 2 k + 1)! ch x =  2 4 6 2k x x x x ch c 1 + + + + ⋅⋅⋅ + + x 2k + 2  2! 4! 6! ( 2 k)! (2 k + 2)!

si n es par, n = 2k si n es impar, n = 2k + 1

si n es par, n = 2k si n es impar, n = 2k + 1

1 1 x n +1 = 1+ x + x2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n + n+ 2 1−x (1− c ) (1 + x) α = 1 + α x +

α (α − 1) 2!

x2 + ⋅⋅⋅ +

α (α − 1)...(α − n + 1) n!

xn +

α (α − 1)...(α − n) (n + 1)!

(1 + c)α − n−1 x n+ 1

con α ∈ R .

6.5. Aplicación de la fórmula de Taylor al estudio local de funciones Teorema 1: Supongamos una función f (x) que admite derivadas continuas hasta orden p en x = a y se verifica f ′(a ) = f ′′(a ) = f ′′′ (a ) =  = f ( p −1) (a ) = 0 ; f ( p ) (a ) ≠ 0 .

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Tema 6 . Fórmula de Taylor

Entonces,  f ( p ) ( a) > 0 mínimo - Si p es par y  ( p ) ⇒ f (x) tiene un   f ( a) < 0 máximo ( p)  f ( a) > 0 ⇒ f (x) es estrictamente - Si p es impar y  ( p )  f ( a ) < 0

relativo estricto en x = a . creciente en x = a .  decreciente

Demostración Como f ( p ) ( x) es continua en x = a , entonces ∃E( a, δ) tal que ∀x ∈ E( a, δ) se cumple que sgn f ( p ) ( x ) = sgn f ( p ) ( a ) . Utilizando la fórmula de Taylor, se tiene que ∀x ∈ E( a, δ) se cumple f ( x) = f ( a) + f ′( a)( x − a) + + = f ( a) + •

Si p es par y f

(p)

f

f ( p −1) ( a) f ( p ) (c ) (x − a ) p −1 + (x − a ) p p! ( p − 1)!

( p)

(c ) ( x − a) p p!

(a ) > 0 ,

 f ( p) (c )  ( x − a ) p > 0 ⇒ f ( x ) > f (a ) , ⇒  ( p) ( p) p! f (a ) > 0 ⇒ f (c ) > 0  

( x − a) p > 0

Luego f (x) tiene un mínimo relativo estricto en x = a . La demostración es análoga para f ( p ) (a ) < 0 . •

Si p es impar y f

(p )

(a ) > 0 ⇒ f f

( p)

Si x < a, ( x − a) p < 0 ⇒

( p)

Si x > a, ( x− a) > 0 ⇒

f

p

(p )

(c ) > 0 . Entonces,

(c ) ( x − a) p < 0 ⇒ f ( x) < f ( a) p!

(c ) (x − a ) p > 0 ⇒ f (x ) > f (a ) p!

Luego f (x) es estrictamente creciente en x = a . La demostración es análoga para f ( p ) (a ) < 0 . Teorema 2: Sea una función f (x) que admite derivadas continuas hasta orden p en x = a y se verifica f ′′ ( a) = f ′′′ (a ) =  = f ( p− 1) (a ) = 0 ; f Entonces,

( p)

(a ) ≠ 0 .

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Funciones de una variable

 f ( p ) ( a) > 0 convexa - Si p es par y  ( p ) en x = a . ⇒ f (x) es estrictamente   f ( a) < 0 cóncava - Si p es impar ⇒ f (x) tiene un punto de inflexión en x = a . (Observe que, en este caso, no importa el valor de f ′(a ) ).

Demostración En este caso, la fórmula de Taylor proporciona, ∀ x ∈ E( a, δ) , la siguiente expresión: f ( x) = f ( a) + f ′( a)( x − a) + + = f (a )+ f ′ (a )(x − a )+

f

f ( p −1) ( a) f ( p ) (c ) (x − a ) p −1 + (x − a ) p p! ( p − 1)!

(p )

(c ) ( x − a) p p!

que podemos escribir como

f ( x) − [ f ( a) + f ′(a )(x − a ) ] = •

Si p es par y f

(p)

f

( p)

(c ) ( x − a) p p!

(a ) > 0 ,

( p)  f (c )  (x −a) p > 0 ⇒  p ! f ( p) (a ) > 0 ⇒ f ( p ) (c ) > 0   ⇒ f ( x) − [ f ( a) + f ′( a)( x − a) ]> 0 ⇒ f ( x) > [f ( a ) + f ′(a )( x − a ) ]

( x − a) p > 0

Luego f (x) es estrictamente convexa en x = a . La demostración es análoga si f ( p ) (a ) < 0 . •

Si p es impar, ( x − a) p cambia de signo al pasar de la izquierda de a a la derecha de a. Luego la función pasa de estar por encima a estar por debajo de la recta tangente (o al revés) en x = a . Es decir, f (x) tiene un punto de inflexión en x = a .

Observación: Los teoremas vistos en el capítulo anterior que relacionan el comportamiento local de una función en un punto con sus derivadas en dicho punto son compatibles con estos teoremas. En la siguiente tabla se relaciona cada una de las propiedades con el teorema correspondiente, dando los valores de p adecuados.

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Tema 6 . Fórmula de Taylor

Propiedad  f ′( a) > 0 creciente → f (x) estrictamente  en x = a .   f ′( a) < 0 decreciente f ′( a) = 0  f ′′ (a ) > 0 mínimo → f (x) tiene un  relativo en en x = a .   f ′′ (a ) < 0 máximo  f ′′ (a ) > 0 convexa → f (x) es estrictamente  en x = a .  ′′  f (a ) < 0 cóncava f ′′( a) = 0 y f ′′′ (a ) ≠ 0 → f (x) tiene un punto de inflexión en x=a

Teorema Teorema 1 (p = 1)

Teorema 1 (p = 2)

Teorema 2 (p = 2) Teorema 2 (p = 3)

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Funciones de una variable

Ejercicios 1. Obtener los polinomios de Taylor que se indican a continuación: Función

grado

centrado en

a) f ( x ) = sen x

n=5

x=0

b) f (x ) = tan x

n=4

x=

c) f ( x) = 3 x

n=3

x =1

π 4

2. Obtener los polinomios de Taylor de grado n que se indican a continuación, (demostrando por inducción la expresión para la derivada n-ésima de la función). a) f ( x) = ln x

centrado en x = 1.

b) f ( x ) = (1 + x )− m , con m ∈ N , centrado en x = 0 . c) f ( x) = 1 /(1 − x) d) f ( x) = senh ( x / 3)

centrado en x = 0 . centrado en x = 0 .

3. Calcular una aproximación de senh (2) mediante el polinomio de Taylor de tercer grado de la función f ( x ) = senh x centrado en x = 0 . Dar una cota del porcentaje de error cometido. ¿Qué puede afirmar acerca de la validez de la aproximación? 4. Calcular una aproximación del número 5 mediante el polinomio de Taylor de segundo grado de la función f ( x ) = x centrado en x = 4 . Dar una cota del error cometido. 1 mediante el polinomio de Taylor de cuarto 5. Calcular una aproximación del número e grado de una función adecuada. Dar una cota del error cometido. 6. Hallar valores aproximados, utilizando la fórmula de Taylor para funciones convenientes a) sen 20º con un error inferior a 10 −3 . b) ln(1.1) con un error inferior a 10 −4 c) cosh(1) con un error inferior a 10 −3 . 7. ¿Para qué valores de x la fórmula de aproximación cos x ≈ 1 − x 2 / 2 da un error menor que 0.01? ¿y menor que 0.0001? Nota: Puede ser útil utilizar la desigualdad sen x ≤ x . 8. Aplicando la fórmula de Taylor, demostrar las siguientes desigualdades para x > 0 : a) ln(1 + x) > x − x 2 / 2 b) tan x > x + x 3 / 3 para 0 < x < π 2

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Tema 6 . Fórmula de Taylor

c) ex > 1 + x + x 2 / 2 9. Demostrar, mediante la fórmula de Taylor, las siguientes equivalencias asintóticas de infinitésimos cuando x → 0 . a) sen x ~ x b) 1− cos x ~ x 2 / 2 c) ln(1 + x ) ~ x 10. En física, el movimiento uniformemente acelerado (MUA) es aquel movimiento en el que la aceleración que experimenta un cuerpo permanece constante en el transcurso del tiempo. La posición de un objeto en un tiempo dado se puede calcular de la siguiente manera: a s (t ) = s 0 + v 0t + t 2 2 donde t es el tiempo transcurrido, s 0 es la posición inicial del objeto, v0 es la velocidad inicial, y a es su aceleración. Relacionar esta expresión con la fórmula de Taylor. 11. La ley de gravitación universal establece que la fuerza de gravedad entre dos cuerpos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos. Calcule, en primera aproximación(*), en qué porcentaje varía la fuerza de gravedad a la que es sometido un alpinista a 8000 m de altura sobre el nivel del mar en comparación con la que sufre a nivel del mar. Radio de la Tierra promedio a nivel del mar: R = 6.400 km. (*)

Tomando el polinomio de Taylor de primer grado de la función gravedad.

Aplicación al estudio local de funciones 12. Dada la función f ( x ) = x 5 − x 7 + x 14 , estudiar la posición relativa con respecto a la recta tangente en el punto x = 0 . 13. Dada las funciones que se designan a continuación, marcar la respuesta correcta a) f ( x ) = x 10 + 4 x 7 − x 6 1. El punto x = 0 es un mínimo relativo de la función. 2. La función es estrictamente cóncava en x = 0 . 3. El punto x = 0 es un punto de inflexión. 4. Todas las respuestas anteriores son falsas. b). f ( x ) = 2x 12 − 5x 4 − 6 x 3 1. Tiene un máximo relativo en x = 0 . 2. Es estrictamente creciente en x = 0 . 3. Tiene un punto de inflexión en x = 0 . 4. Todas las anteriores son falsas.

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Funciones de una variable

c) f ( x) = x 8 − x 7 1. El punto x = 0 es un mínimo relativo de la función. 2. La función es estrictamente cóncava en x = 0 . 3. El punto x = 0 es un punto de inflexión. 4. Todas las respuestas anteriores son falsas.

Soluciones 1. a) P5 (x ) = x −

x3 x5 + 3! 5!

π  π  b) P2 ( x) = 1 + 2 x −  + 2 x −  4 4   c) P3 ( x) = 1 +

2

1 1 5 ( x − 1) − (x −1)2 + (x − 1)3 3 9 81

2. a) Pn ( x ) = ( x − 1) − b) Pn ( x) = 1 − m x +

( x −1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 ( x − 1) n n + − + ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) + 1 n 2 3 4

m ( m +1) 2 m (m + 1)(m + 2) 3 ( m + n −1)! n x x − x + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) n n! ( m − 1)! 2! 3!

c) Pn ( x ) = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n d) Los polinomios de Taylor de la función sólo tienen monomios de grado impar. Si 3 5 n = 2k − 1 , Pn ( x) = x + 3x + 3x + + ⋅ ⋅ ⋅ +

3 ⋅3!

3. senh(2) ≅

4.

5 ≅

3 ⋅ 5!

x2 k −1 . 32 k−1 ⋅ (2 k − 1)!

200 10 . %E ≤ % (la cota del error no es única) 3 3

143 1 . E ≤ 64 512

5. La solución no es única. Tomando el polinomio de Taylor de la función f ( x) = e x 1 233 1 centrado en x = 0 , con E ≤ . ≅ 3840 384 e 6. Las soluciones no son únicas. Se ofrecen a continuación una posible solución de cada ejercicio. a) Utilizando la fórmula de Taylor de la función f ( x ) = sen x centrada en x = 0 y la 3

 π π 1 π  acotación sen x ≤ 1 se obtiene sen 20º = sen  ≅ −    9  9 3!  9 

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Tema 6 . Fórmula de Taylor

b) Utilizando la fórmula de Taylor de la función f ( x) = ln(1 + x) centrada en x = 0 ,  143 se obtiene ln(1.1) ≅ = 0,...