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Demostración del método de Taylor, con sus requisitos preliminares y casos especiales....

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CONO NOCI CIMIEN MIENTO: ANÁLISI SIS FUNCI CION ONAL AREA DE CO NO CI MIEN TO: ANÁLI SI S FUN CI ON AL

2537 NRC: 253 7

Unidad I (Programas para Edición de Textos Científicos y Cálculo Científico, Aproximaciones y Errore s de Redondeo, Raíces de Errores Ecua cione s) Ecuacione ciones)

Ver si ón 1. 1 Versi sión 1.1

GRU GRUPO PO PO06 06 06::

Correa, F., Recalde, G., Tipán, A.

EMAI EMAIL: L:

[email protected], [email protected], [email protected].

1. Tema: Errores de Truncamiento y la Serie de Taylor 2. Nombre del Archivo Ejecutable: fstl 3. Programación: Diagrama de Flujo • Programa principal: fstl Inicio

FUNCION DE TAYLOR Grupo 6 Integrantes: Correa,Recalde,Tipán

h=diff(f,100); matriz{1,1}='i'; matriz{1,2}='Funcion'; matriz{1,3}='Pn'; matriz{1,4}='c'; matriz{1,5}='tc'; matriz{1,6}='Ea'; matriz{1,7}='Er'; matriz{1,8}='Rn'; matriz{1,9}='N';

h==0

Error, ingrese una función trascendental

Rn==0 && N==0 && ep==0

z=1

n==0 && N==0

z=2

Z=4

z

Serie de Taylor por: orden del polinomio, centro(c), aproximacion en (x)

x=sym('x'); a=c-3; b=c+3; d=x1; p=0; g=subs(f,c); p=num2str(double(vpa(g))) ;

Serie de Taylor por: orden del polinomio, centro(c), aproximacion en (x)

a=c-3; b=c+3; d=x1; p=0; g=subs(f,c)*(x-c)^0; p=g; n=0; E=(subs((diff(f,N)),c)*(ep)*((dc)^N))/(factorial(N));

i=1(n+1)

tic g=diff(f,i); E1=(subs((diff(f,i)),c)*((dc)^i))/(factorial(i)); F=num2str(double(vpa(subs(g,c)))); h=double((d-c)^i); p=p+(F*(x-c)^i)/factorial(i); tc=toc;

matriz{i+1,1}=i; matriz{i+1,2}=char(f); matriz{i+1,3}=char(p); et=abs(subs(f,d)-subs(p,d)); er=abs((subs(f,d)-subs(p,d))/ ((subs(f,d)))); a=double(et); Er=double(er);

matriz{i+1,4}=num2str(c); matriz{i+1,5}=num2str(tc); matriz{i+1,6}=num2str(a); matriz{i+1,7}=num2str(Er); matriz{i+1,8}=num2str(double(E1)); matriz{i+1,9}=num2str(i);

graficar (a,b,n,matriz,f); matriz

Serie de Taylor por centro(c), aproximacion en (x),ep ingresada por el usuario y Rn error residual

Opcion Incorrecta

x=sym('x');

a=c-3; b=c+3; d=x1; p=0; g=subs(f,c)*(x-c)^0; p=g; n=0; Rn1=Rn+1;

E=(subs((dif f(f,(N+1))), c)*(ep)*((dc)^(N+1)))/ (factorial(N +1));

E==0

E1=E+1; FF=1000000;

abs(E1)>abs(E) || FF==0 || E1==0

n=n+1; FF=E-E1; E1=(subs((diff(f,n)),c)*(ep)*((dc)^n))/(factorial(n)) tic g=diff(f,n); h=double((d-c)^n); F=num2str(double(vpa(subs(g,c)))); p=p+(F*(x-c)^n)/factorial(n); tc=toc;

matriz{n+1,1}=n; matriz{n+1,2}= char(f); matriz{n+1,3}= char(p); et=abs(subs(f,d)-subs(p,d)); er=abs((subs(f,d)-subs(p,d))/ ((subs(f,d)))); a=double(et); Er=double(er);

matriz{n+1,4}=num2str(c); matriz{n+1,5}=num2str(tc); matriz{n+1,6}=num2str(a); matriz{n+1,7}=num2str(Er); matriz{n+1,8}=num2str(double(E1)); matriz{n+1,9}=num2str(n);

graficar(a,b,n,matriz,f); matriz

abs(Rn1)>abs(Rn ) || abs(Rn)abs(Rn1)==0 || Rn1==0

n=n+1; Rn1=(subs((diff(f,n)),c )*(ep)*(

(d-c)^n ))/(factorial(n)); Rn1=double(Rn 1); tic g=diff(f,n); h=double((d-c)^n); F=num2str(double(vpa(subs(g,c)) )); p=p+(F*(x-c)^n)/ factorial(n); tc=toc;

matriz{n+1,1}=n; matriz{n+1,2}=char(f); matriz{n+1,3}=char(p); et=abs(subs(f,d)subs(p,d)); er=abs((subs(f,d)subs(p,d))/((subs(f,d)))); a=double(et); Er=double(er); matriz{n+1,4}=num2str(c);

matriz{n+1,5}=num2str(tc); matriz{n+1,6}=num2str(a); matriz{n+1,7}=num2str(Er); matriz{n+1,8}=num2str(doub le(Rn1)); matriz{n+1,9}=num2str(n);

graficar(a,b,n,matriz,f); matriz

Fin

•

Programa secundario: graficar

Inicio

m=0; x= sym ('x');

i=1:n

n ? 𝑐>) 𝑐>* 𝑐>>

Sea c elemento del conjunto de las matrices cuadradas de orden 3x3.

𝑐)) 𝑐)* 𝑐)> 1 0 0 (𝐶 − 𝑥𝐼) = =𝑐*) 𝑐** 𝑐*> ? − 𝑥 =0 1 0? 𝑐>) 𝑐>* 𝑐>> 0 0 1 𝑐)) − 𝑥 𝑐)* 𝑐)> 𝑐** − 𝑥 𝑐*> ? (𝐶 − 𝑥𝐼) = = 𝑐*) 𝑐>) 𝑐>* 𝑐>> − 𝑥

Donde la matriz I es la matriz identidad cuadrada (3x3) y “x” un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de “C”.

𝑃4 = 𝑑𝑒𝑡|𝐶 − 𝑥𝐼| = 0

𝑐)) − 𝑥 𝑐)* 𝑐 𝑐 𝑃4 = 𝑑𝑒𝑡 @ *) ** − 𝑥 𝑐>) 𝑐>*

𝑐)> 𝑐*> @ = 0 𝑐>> − 𝑥

Sea su determinante 𝑑𝑒𝑡| 𝐶 − 𝑥𝐼 | que es un polinomio en “x”, recibe el nombre de polinomio característico de “C”, 𝑃4 .

𝑃4 = [(𝑐)) − 𝑥)(𝑐** − 𝑥 )(𝑐>> − 𝑥 ) + 𝑐*) 𝑐>* 𝑐)> + 𝑐>) 𝑐)* 𝑐*> ] − [𝑐>) 𝑐)> (𝑐** − 𝑥) + 𝑐>* 𝑐*> (𝑐)) − 𝑥) + 𝑐*) 𝑐)* (𝑐>> − 𝑥)]

𝑃4 = −𝑥> + (𝑐)) + 𝑐** + 𝑐>> )𝑥* + (𝑐>) 𝑐*> − 𝑐>> 𝑐)) − 𝑐** 𝑐)) − 𝑐*) 𝑐)* − 𝑐** 𝑐>> − 𝑐*> 𝑐>* )𝑥 + (𝑐)) 𝑐** 𝑐>> + 𝑐)) 𝑐*> 𝑐>* − 𝑐)* 𝑐*) 𝑐>> + 𝑐)* 𝑐*> 𝑐>) + 𝑐*) 𝑐*> 𝑐>* − 𝑐** 𝑐*> 𝑐>) ) 𝑐)) 𝑐 𝐶"𝜖"𝑀% = A *) : 𝑐%)

𝑐)) 𝑐*) (𝐶 − 𝑥𝐼) = A : 𝑐%)

𝑐*) 𝑐** : 𝑐%*

𝑐*) 𝑐** : 𝑐%*

𝐶 = G𝑐HI J%

⋯ 𝑐)% ⋯ 𝑐*% ⋱ ⋮ F ⋯ 𝑐%%

⋯ 𝑐)% 1 0 ⋯ 0 ⋯ 𝑐*% 0 1 ⋯ 0 ⋱ ⋮ F − 𝑥 A : : ⋱ ⋮F ⋯ 𝑐%% 0 0 ⋯ 1

𝑐)) − 𝑥 𝑐*) 𝑐*) 𝑐** − 𝑥 (𝐶 − 𝑥𝐼) = A : : 𝑐%) 𝑐%*

⋯ 𝑐)% ⋯ 𝑐*% ⋱ ⋮ F ⋯ 𝑐%% − 𝑥

𝑃4 = 𝑑𝑒𝑡|𝐶 − 𝑥𝐼| = 0

𝑐)) − 𝑥 𝑐*) 𝑃4 = 𝑑𝑒𝑡 K : 𝑐%)

𝑐*) ⋯ 𝑐)% 𝑐** − 𝑥 ⋯ 𝑐*% K : ⋱ ⋮ 𝑐%* ⋯ 𝑐%% − 𝑥

𝑃4 = (−1)% 𝑥% + (−1)%L) (𝑐)) 𝑐** 𝑐>> + ⋯ 𝑐%% )%L) + 𝑑𝑒𝑡|𝐶|

𝑓(𝑥) = (−1)% 𝑥% + (−1)%L) (𝑐)) 𝑐** 𝑐>> + ⋯ 𝑐%% )%L) + 𝑑𝑒𝑡 |𝐶 |

En general: sea “c” elemento del conjunto de las matrices cuadradas de orden n.

Donde la matriz I es la matriz identidad ncuadrada y “c” un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de “C”.

Sea su determinante 𝑑𝑒𝑡| 𝐶 − 𝑥𝐼 | que es un polinomio en “x”, recibe el nombre de polinomio característico de “C”, 𝑃4 .

Como Pc está en función de “x”, entonces se puede escribir

Fig 1. Polinomio característico de varios grados

Preliminar 2: Polinomio de Taylor AFIRMACIÓN 𝑓(𝑥) = (−1)% 𝑥% + (−1)%L) (𝑐)) 𝑐** 𝑐>> + ⋯ 𝑐%% )%L) + 𝑑𝑒𝑡|𝐶| 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑐) = 𝑡

𝑃N(O) = 𝑓N (𝑐) = 𝑞 𝑃(x)=f(𝑐) = 2𝑠

JUSTIFICACIÓN

Sea f(x) un polinomio característico

Primera derivada: Inclinación Segunda derivada: Concavidad

𝑡 = 𝑓(𝑐)

𝑞 = 𝑓′(𝑐) 𝑓"(𝑐) 𝑠= 2

Se puede concluir despejando las ecuaciones anteriores, y formando el polinomio:

𝑃(𝑥) = 𝑡 + 𝑞(𝑥 − 𝑐) + 𝑠(𝑥 − 𝑐)* + ⋯.

𝑓(𝑐) 𝑓 N (𝑐) 𝑓′′(𝑐) (𝑥 − 𝑐) + (𝑥 − 𝑐)* + 2! 1! 0! 𝑓′′′(𝑐) (𝑥 − 𝑐)> + ⋯ + 3!

𝑃(𝑥 ) = 𝑓(𝑥) =

Reemplazando los datos se obtiene

Fig 2. Polinomio de Taylor de orden 5

Preliminar 3: Serie de potencias AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑛 (𝑥 − 𝑐)% "𝑐𝑜𝑛"𝑟 > 0"

Sea f(x) una función continua y derivable que posee un radio r>0.

|𝑥 − 𝑐 | < 𝑟

Sea el valor absoluto de “x” menos “c” que es el desplazamiento, menor que su radio de convergencia “r”.

𝑠𝑖"𝑛 = 0" ∴ 𝑓 (𝑥) = 𝑘0

𝑠𝑖"𝑛 = 1" ∴ 𝑓 (𝑥) = 𝑘1 (𝑥 − 𝑐)

⋮

𝑠𝑖"𝑛 = 𝑛" ∴ 𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑛 (𝑥 − 𝑐)

𝑛

𝑓(𝑥 ) = 𝑘b + 𝑘) ( 𝑥 − 𝑐 )+ 𝑘* (𝑥 − 𝑐)* + 𝑘> (𝑥 − 𝑐)> + ⋯ + 𝑘% (𝑥 − 𝑐 )% d

𝑃% (𝑥) = c 𝑘𝑛(𝑥 − 𝑐) % %eb

Si f(x) puede convertirse en una sucesión, dando n-ésimos valores a n.

Entonces f(x) puede escribirse de forma sintetizada como una serie de potencias.

Fig 3. Serie de potencias

Preliminar 4: Radio de convergencia AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

d

𝑓(𝑥 ) = c 𝑘% (𝑥 − 𝑐)% lim @

%→d

%eb

𝑘%j) (𝑥 − 𝑐)

𝑛+1

𝑘% (𝑥 − 𝑐)

𝑛

@= 𝐿

𝑠𝑖" 𝐿 < 1""𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒" 𝑠𝑖"𝐿 > 1 ""𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Sea f(x) una función en términos de serie de potencia.

Se puede aplicar el teorema de D’Alembert o teorema del cociente.

𝑠𝑖"𝐿 = 1""𝐸𝑙"𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜"𝑛𝑜"𝑒𝑠" 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒 d

𝑓(𝑥) = c %eb

(−1)% (𝑥 − 2)%j) 2%j)

Sea f(x) una función en términos de serie de potencia.

2 %j* lim (−1)%j) (𝑥−−2) 2)%j) (−1)% (𝑥 K=𝐿 K %→d 2%j) 𝑥−2 s lim |0| = 𝐿 s 2 %→d %j*

Se aplica el teorema de D’Alembert

𝐿 < 1""𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑥−2 s s (𝑥 − 𝑐)* + ⋯ + 𝑛𝑘% (𝑥 − 𝑐)%L) 𝑓 N ′(𝑥 ) = 2𝑘* + 3 ∙ 2𝑘> (𝑥 − 𝑐) + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)𝑘% (𝑥 − 𝑐 )%L*

Sea f(x) una función expresada en serie de potencias, n veces derivable, con centro en c y (x=c).

Si f(x) se expresa como un polinomio

Como f(x) es n veces derivable

𝑓 N ′′(𝑥 ) = 3 ∙ 2𝑘> + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑘% (𝑥 − 𝑐)%L> 𝑓 (%) (𝑥 ) = 𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2 )(𝑛 − 3) … 3 ∙ 2 ∙ 1𝑘% + ⋯ 𝑓(𝑐 ) = 𝑘b

𝑓 N(𝑐 )= 𝑘)

𝑓 N ′( 𝑐 ) = 2𝑘*

𝑓 N ′′( 𝑐 ) = 3 ∙ 2𝑘>

Como para f(x), x=c, entonces

𝑓 †‡ (𝑐)= 4 ∙ 3 ∙ 2𝑘ˆ 𝑓 (%)(𝑐)= 𝑘% "∙ 𝑛!

(𝑥 − 𝑐 ) * (𝑥 − 𝑐) N + 𝑓 ′(𝑐) 2! 1! > (𝑥 − 𝑐)ˆ (𝑥 − 𝑐) +⋯ + " 𝑓 †‡ (𝑐) + 𝑓 N ′′(𝑐) 4! 3! (𝑥 − 𝑐)% " + 𝑓 (%) (𝑐 ) 𝑛!

𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 N (𝑐 )

d

𝑃(𝑥 ) = c 𝑓 (%) (𝑐 ) %eb

(𝑥 − 𝑐)% 𝑛!

Reemplazando las derivadas con x=c, anteriores en (1)

Expresando en serie de potencias se obtiene la serie de Taylor

Fig 7. Serie de Taylor

4.1.3 Demostración específica Demostración 1: Serie de Maclaurin AFIRMACIÓN d

𝑓(𝑥 ) = c 𝑘% (𝑥)% %eb

𝑓(𝑥 ) = 𝑘b + 𝑘) (𝑥 ) + 𝑘* (𝑥)* + 𝑘> (𝑥)> + ⋯ + 𝑘% (𝑥 )% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""(1) 𝑓 N (𝑥 ) = 𝑘) + 2𝑘* (𝑥 ) + 3𝑘> (𝑥)* + ⋯ + 𝑛𝑘% (𝑥 )%L)

𝑓 N ′(𝑥 ) = 2𝑘* + 3 ∙ 2𝑘> (𝑥) + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)𝑘% (𝑥 )%L* 𝑓 N ′′(𝑥 ) = 3 ∙ 2𝑘> + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑘% (𝑥 )%L>

JUSTIFICACIÓN Sea f(x) una función expresada en serie de potencias, n veces derivable, con centro en 0.

Si f(x) se expresa como un polinomio

Como f(x) es n veces derivable

𝑓 (%) (𝑥 ) = 𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2 )(𝑛 − 3) … 3 ∙ 2 ∙ 1𝑘% + ⋯ 𝑓 (0 ) = 𝑘 b

𝑓 N (0) = 𝑘)

Si se evalúa en x=0

𝑓 N ′(0) = 2𝑘* 𝑓 N ′′(0) = 3 ∙ 2𝑘>

𝑓 (%) (0) = 𝑘% " ∙ 𝑛!

𝑥> 𝑥 𝑥* 𝑓(0) N (0) + 𝑓 + 𝑓′′′(0) + 𝑓′′(0) 𝑓(𝑥) = +⋯ 0! 2! 1! 3! % 𝑥 + 𝑓 (%) (0) 𝑛! d

𝑃(𝑥) = c 𝑓 %eb

𝑥% 𝑛!

(%) (0)

Si los valores de las derivadas evaluadas en 0 se reemplazan en (1)

Si f(x) se escribe como serie de potencias entonces se obtiene la serie de McLaurin

Fig 8. Serie de Maclaurin

4.1.4 Teoría de errores Error 1: Error Residual AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

u 𝑓 N (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑐)

Sea I un intervalo abierto que contenga 𝐼: [𝑐, 𝑥]. un intervalo cerrado Consideramos una función de clase 𝐶 (%j)) 𝐼, entonces

O

4

O

𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑐) + u 𝑓 N 4

O

(𝑡)𝑑𝑡""""""""""(1)

𝑢 = 𝑓 N (𝑡) → 𝑢N = 𝑓′′(𝑡) 𝑣 N = 1 → 𝑣 = (𝑡 − 𝑥) O

u 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡)(𝑥 − 𝑡 |O‰+ u (𝑥 − 𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 O

4

N

N(

)O

O

4

NN

Si se integra por partes la última expresión

u 𝑓 N (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 N (𝑐)(𝑥 − 𝑐) + u (𝑥 − 𝑡)𝑓 NN(𝑡)𝑑𝑡"""""(2) 4

4

O

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓N (𝑐)(𝑥 − 𝑐) + u (𝑥 − 𝑡)𝑓 NN (𝑡)𝑑𝑡""""(3) 4

Reemplazando (2) en (1)

𝑢 = 𝑓 N ′(𝑡) → 𝑢N = 𝑓′′′(𝑡)

𝑣 N = (𝑥 − 𝑡) → 𝑣 = −

O

u (𝑥 − 𝑡)𝑓 NN (𝑡)𝑑𝑡 = 4

O

2

𝑓′′(𝑡)(𝑥 − 𝑡) O 1 |4 + u (𝑥 − 𝑡)* 𝑓 NN ′(𝑡)𝑑𝑡 2 2 4

u (𝑥 − 𝑡)𝑓 NN(𝑡)𝑑𝑡 = 4

(𝑥 − 𝑡)2

*

O

𝑓′′(𝑐)(𝑥 − 𝑐)* 1 O + u (𝑥 − 𝑡)* 𝑓 NN′ (𝑡)𝑑𝑡 2 4 2

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 N (𝑐)(𝑥 − 𝑐 )+

𝑓′′(𝑐)(𝑥 − 𝑐)* 2

1 O + u (𝑥 − 𝑡)* 𝑓 NN ′( 𝑡)𝑑𝑡 2 4

𝑓(𝑥) = 𝑃% (𝑥) + 𝑅% (𝑥) =

Si se integra por partes la expresión anterior

1 O (%j)) u 𝑓 (𝑡)(𝑥 − 𝑡)% 𝑑𝑡 𝑛! 4

1 O (%j)) u 𝑓 (𝑡)(𝑥 − 𝑡)% 𝑑𝑡 𝑛! 4

𝑓(𝑥 ) = 𝑓 (%j)) (𝜉 )""" y

Se reemplaza la última expresión en (3)

Si se continúa integrando por partes n veces se obtiene

Donde Rn es el resto integral del desarrollo de Taylor

Si se aplican los dos teoremas del valor medio para integrales y se obtiene Rn

𝑔 (𝑥 ) =

1

O

%j) (𝑛 − )𝑛! + 1𝑐) 1)%j) ! (𝑥 (𝑥(𝑛−+𝑐) u (𝑥 − 𝑡)% 𝑑𝑡 = = 𝑛! 4 𝑓 (%j)) (𝜉)"(𝑥 − 𝑐) %j) 𝑅% (𝑥) = (𝑛 + 1)!

Fig 9. Error residual

Error 2: Error de truncamiento AFIRMACIÓN d

𝑃 (𝑥 ) = c 𝑓 (%) (𝑐 ) %eb

𝑅 ‹ = 𝑓 (%j)) (𝑐)

JUSTIFICACIÓN

(𝑥 − 𝑐)% 𝑛!

(𝑥 − 𝑐)%j) (𝑛 + 1)!

Sea P(x) una serie de Taylor

El error de truncamiento es un orden mayor al orden del polinomio.

Error 3: Error absoluto y relativo AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

𝐸Œ = |𝑉Ž•z• − 𝑉z‘Ž’OH“z”’ |

Teóricamente el error absoluto es

𝐸Œ = |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)|

En términos de la serie de Taylor

𝐸Œ 𝑉Ž•z•

Teóricamente el error relativo es

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| 𝑓(𝑥)

En términos de la serie de Taylor

𝐸• = 𝐸• =

4.2. Enunciado del Problema Para calcular las coordenadas espaciales de un planeta se tiene que resolver la función: ˜ 𝑓 (𝑥 )= 𝑥 − 1 − 0.5 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ). Sea 𝑐 = * el punto base. Determine la expansión de la serie de Taylor de orden superior que presente un error máximo de 0.015 y determine el intervalo de convergencia. 4.3. Resolución del Problema Propuesto mediante el Programa Implementado.: •

Argumentos

Argumento 1: f Argumento 2: c Argumento 3: ep Argumento 4: Rn •

Sintaxis fstl(x-1-0.5*sin(x), 0, pi/2, 0, 0, 0, 0.015)

•

Tabla de resultados:

•

Gráficas de los resultados

Fig 10. Convergencia para la función f(x)=x-1-0.5*sen(x) cuando Rn= 0.015

5. Ventajas y Desventajas Ventajas Ø Ø Ø

Cualquier función que sea una curva suave, trascendental puede adoptar la forma del polinomio de Taylor por lo que su resolución es más facil. La serie de Taylor permite hacer n iteraciones hasta encontrar un valor cercano al real. La serie permite el cálculo de distintos errores que permiten conocer el intervalo de aproximación del valor obtenido.

Desventajas Ø Ø Ø

Se aplica solamente cuando las derivadas de la función son continuas en un intervalo definido. La precisión del valor obtenido depende del número de términos empleados en el desarrollo de la serie. El grado de complejidad de la función dificulta la formación del polinomio y aumenta la incertidumbre.

6. Conclusiones y Recomendaciones Conclusiones Ø Ø Ø

La serie de Taylor permite aproximar localmente una función a un polinomio. En el polinomio de Taylor se incluye el error residual para considerar los términos desde el n+1 al infinito, dando una estimación exacta del error. La serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Recomendaciones Ø Ø

La función que se emplea debe ser convergente, tener límites y radio de convergencia. Se debe verificar que la función que se emplee sea continua en el radio de convergencia y que sea trascendental.

7. Referencias Bibliográficas UNIVERSIDAD DE CHILE. (2008). INTEGRAL DE RIEMANN. Obtenido de http://www.dim.uchile.cl/~calculo/2/material/sem08/tut_sem08_calcdiff.pdf Chapra, S., & Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros. México: McGrawHill Interamericana. Nakamura, S. (1992). METODOS NUMERICOS APLICADOS CON SOFTWARE. México: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Moore, H. (2007). MATLAB para HISPANOAMERICANA, S.A.

ingenieros.

México:

PRENTICE-HALL

Mathews, J., & Fink, K. (2000). Métodos Numéricos con MATLAB. España: PRENTICEHALL....