alcuni limiti con taylor PDF

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solo esercizi
per capire bene far riferimento alla teoria...

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ESERCIZI SUI LIMITI

Calcolare i seguenti limiti utilizzando il criterio del rapporto 2

3n ; n → ∞ nn+2 n3n ; (2) lim 2 n → ∞ n (3n)! n! 4n (3) lim al variare di α ∈ R. n → ∞ nαn (1) lim

Calcolare i seguenti limiti utilizzando la relazione di asintotico p 3 1 + sin2 x − 1 ; (4) lim log(cos x) x→0 1

(5) lim (1 + sin x) 1−cos x ; x → 0+

(6) lim+ x→0

esin x − 1 1 · α tan x 1 + log(1 + x)

al variare di α ∈ R.

Svolgimento n2

(1) Sia an =

3 . Utilizzando il criterio del rapporto abbiamo nn+2 2

2

3n +2n+1 nn+2 nn+2 an+1 3(n+1) · = · = 2 (n + 1)n+3 3n2 (n + 1)(n+1)+2 3n an 2

=

32n nn+2 3n 32n+1 nn+2 · · . = 3 (n + 1)n+2 (n + 1) (n + 1)n+2 (n + 1) 3n2

Osserviamo che n+2  2 n  n n n = · n+1 n+1 n+1 2 n −1   n 1 → e−1 · = 1+ n+1 n

nn+2 = (n + 1)n+2



e dalla gerarchia degli infiniti 9n → +∞. (n + 1) Pertanto

an+1 an

→ +∞ > 1, e la successione `e divergente. 1

2

(2) Sia an =

ESERCIZI SUI LIMITI

n3n n2 (3n)!

. Utilizzando il criterio del rapporto abbiamo

(n + 1)3(n+1) an+1 (n + 1)3n (n + 1)3 n2 (3n)! n2 (3n)! = . · = · n3n an (n + 1)2 (3(n + 1))! n3n (n + 1)2 (3n + 3)! Osserviamo che (3n + 3)! = (3n)!(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3), quindi n2 (3n)! (n + 1)3n (n + 1)3 an+1 · = (n + 1)2 (3n)!(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) n3n an 2 3n 3 n (3n)! (n + 1) (n + 1) · = 3 (n + 1) 3 (3n)!(3n + 1)(3n + 2) n3n 3n  n2 n+1 = · . n 3 (3n + 1)(3n + 2) Osservando che 

n+1 n

3n

→ e3

e

abbiamo che (3) Sia an =

n2 1 n2  → = 2 3 (3n + 1)(3n + 2) 33 3n 3 + n1 3 + 2n

 3 an+1 → 3e an n! 4n nαn

< 1, quindi la successione converge.

. Utilizzando il criterio del rapporto abbiamo n!(n + 1) 4n 4 nαn (n + 1)! 4n+1 nαn an+1 = · = · n αn α (n + 1) (n + 1) n! 4n an (n + 1)α(n+1) n! 4  αn αn n 4(n + 1)n 1 =4 = → ℓ. (n + 1)αn (n + 1)α n+1 (n + 1)α−1

A questo punto abbiamo che   se α − 1 > 0 se α − 1 = 0  se α − 1 < 0

allora ℓ = 0, allora ℓ = 4e , allora ℓ = +∞.

Pertanto la successione an `e convergente se α − 1 ≥ 0, ovvero α ≥ 1. (4) Utilizzando i seguenti limiti notevoli per x → 0 sin x ∼ x 1 1 − cos x ∼ x2 2 (1 + x)α − 1 ∼ αx log(1 + x) ∼ x abbiamo che p 3

1 + sin2 x − 1 ∼

1 1 sin2 x ∼ x2 3 3

ESERCIZI SUI LIMITI

3

e 1 log(cos x) = log (1 + (cos x − 1)) ∼ cos x − 1 = −(1 − cos x) ∼ − x2 . 2 Pertanto p 3

1 2 x 1 + sin2 x − 1 2 ∼ 31 2 = − . log(cos x) 3 −2 x

(5) Osserviamo innanzitutto che 1

1

lim (1 + sin x) 1−cos x = lim e 1−cos x log(1+sin x) = elimx → 0+

x → 0+

log(1+sin x) 1−cos x

x → 0+

quindi studiamo log(1 + sin x) . 1 − cos x Tenendo conto dei suddetti limiti notevoli abbiamo log(1 + sin x) 2 x ∼ 1 2 = → +∞ per x → 0+ . x 1 − cos x 2x lim

x → 0+

Allora deduciamo che 1

lim + (1 + sin x) 1−cos x = elimx → 0+

log(1+sin x) 1−cos x

x→0

= +∞

(6) Osserviamo innanzitutto che 1 → 1 per x → 0. 1 + log(1 + x) Dai seguenti limiti notevoli (per x → 0) ex − 1 ∼ x tan x ∼ x, deduciamo che

Pertanto

  +∞ esin x − 1 1 x 1 → ℓ = = ∼  0 xα−1 xα tanα x

se α − 1 > 0, se α − 1 = 0, se α − 1 < 0.

  +∞ 1 e −1 = lim 1 · α 1 + log(1 + x)  x → 0+ tan x 0 sin x

se α > 1, se α = 1, se α < 1....