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Operazioni sui limiti Per eseguire il calcolo di limiti si può procedere per sostituzione in quanto sussistono i teoremi seguenti: se lim f  x  l e lim g  x  m allora x c

 f  x  g  x  l m 1. lim x c

x c

f  x g x  l m 2. lim x c

3. lim x c

f x l  gx m

con m 0

k f  x  k l 4. lim x c 5.

lim f  x  l n n

x c

1 1  6. lim x c f  x  l

con k  R con n  N con l 0

f  x  l 7. lim x c

a f ( x) a l con a>0 8. lim x c

 f (x ) 9. lim x c

g( x)

l m con l>0

log a x  log a l 10. lim x c

con l>0 ; a>0 ; a≠1

Tutti i teoremi precedenti valgono anche per x    ,   . Tutti i teoremi precedenti valgono anche se al posto di l o m abbiamo   ,   .

 f  x  g x o per lim  f  x  g x  (supponiamo l  0 ) In particolare per lim x c x  lim f x 

lim g  x 

l l

 

lim f  x  g  x  











In particolare per

  lim f  x  g  x  x c



l  =  l   =                ?

Forma indeterminata f  x  g  x  (supponiamo l  0 ) o per xlim 

lim f x 

lim g  x 

lim f  x g x

l





l

 

 

l





l











  







0



Forma indeterminata

 l       l          l         l                             0   ?

In particolare per lim x c lim f x 

f  x f  x o per lim x  g  x  g  x

lim g  x 

(supponiamo l  0 ed m  0 ) lim

f  x g  x

l m

l



0



m





m





0





0





0



l

0



l 0  l 0 

l

0

l

0

 

0

l

0

0

 

 0



0

 f  x  In particolare per lim x c

g ( x)

 f x   o per xlim 

 l   0    m      m     0     0      0     l  0  0  l  0 0  0

0 Forma indeterminata Forma indeterminata g (x )

  ? 0 0 ?

(supponiamo l  0 ed m  0 )



Ricordiamo che una potenza con esponente pari è sempre positiva e una potenza con esponente dispari ha sempre lo stesso segno della base g(x) lim f x  lim g  x  lim  f  x   l m lm m +∞ m      m

+∞

-m

0

 

1     0  0

0...