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I limiti con spiegazioni ed esercitazioni....

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LIMITI DI FUNZIONI

1. CONCETTO DI LIMITE Esula dallo scopo del presente capitolo la trattazione della teoria sui limiti. Tuttavia, pensando di fare cosa gradita allo studente, che deve possedere questa nozione come background, ritengo più utile presentare, come richiamo, le interpretazioni grafiche di tale concetto.

Sia data, a tal proposito, una funzione reale y = f (x ) definita su un insieme E

¡ e sia

x0 ,

appartenente o no all’insieme, un punto di accumulazione di E. In generale quando si pensa al concetto di limite si fa riferimento alla scrittura

lim f (x ) = l

x

x0

In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x ) tendere ad un elemento dell’insieme x0 ovvero l ,

,+ ,

, dove con

si indica tutta la retta reale (

, + ).

Così si potrebbero presentare ben sedici casi con scritture quali: x

lim f (x ) = l

lim f ( x ) = l

lim f ( x) =

x

x

lim f (x) =

x

x0

che si possono racchiudere nella seguente espressione

l

limx f ( x ) = 0

x

A volte, però, il limite non esiste ed allora occorre studiare il comportamento in un sottoinsieme di un intorno completo di x0 avendosi casi come i seguenti:

lim f (x )

x

x0

lim f (x )

x

x0

lim f ( x)

x x0 su E

essendo E un sottoinsieme di ¡ ed x0 un suo punto di accumulazione; la situazione tende a complicarsi maggiormente in termini di casistica.

1

Siano x0 ed l due numeri reali finiti. Elenchiamo qui di seguito i vari casi possibili:

1) limite finito quando x tende ad un numero finito

lim f (x ) = l

x

x0

y l x0

O

x

ESEMPIO

lim (x

3

2) = 3

1

x

y l =3

P(1, 3) il limite è rappresentato proprio dal punto P

O x0 = 1

x

2) limite finito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi

a)

b) y

y

y l+

l O

x

lim f ( x ) = l

x

y

O

x

x

lim f ( x ) = l

2

Notasi che scrivere formalmente l ed l fornisce un’informazione aggiuntiva sulla tendenza dall’alto e dal basso della nostra funzione f ( x) verso la retta y = l .

c)

d) y

y y l+ O

l O

x

lim f ( x) = l

x

x

ESEMPI

x

y

lim f (x ) = l

b) + c)

La funzione y =

1 x

è definita su tutta la retta reale tranne che nel punto x = 0. Segue allora che: x

lim

1 = 0 x

e

x

lim

1 = 0 x

y

y=0 O

x

3

a) + d) x

lim

1 x

e

= 0

x

lim

1 x

= 0

y

y=0 x

O

3) limite infinito quando x tende ad un numero finito comprendente i seguenti due casi a) limite destro e sinistro coincidenti

lim f ( x) =

x

o

lim f (x ) =

x

x0

y

x0

y

x

O

x = x0

O

x

x = x0

4

ESEMPIO lim x

0

1 x

2

o

=

lim

x

0

y

0

1 x2

=

y

x

x

y=0

0

x = x0

y=0

x = x0

b) limite destro e sinistro differenti b1 ) lim f (x ) = x

lim f (x ) =

e

x0

x

x0

y

0

x x = x0

ESEMPIO lim x

0

1 x

=

e

lim x

0

1 x

=

y

0

x

x = x0

5

b2 ) lim f ( x) = x

lim f ( x ) = l

e

x0

x

x0

y

y=l 0

x x = x0

ESEMPIO 1

1

lim a x =

x

lim a x = 0

e

0

x

a

1

x

0

0

y

y=l =1

O

x

x = x0 N.B 1 x

lim a x = 1

4) limite infinito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi a) xlim f ( x) =

e

x

lim f ( x ) =

y (

,+ )

(+ , + )

O

x

6

ESEMPIO x

lim x

2

e

=

x

lim x 2 =

o più in generale x

lim x

2n

=

e

x

lim x 2n =

y

O

b) lim f ( x ) =

x

e

x

x

lim f ( x ) =

y

O (

,

)

x (+ ,

)

lim

x2

lim

x2 n =

ESEMPIO x

lim

x2 =

e

x

=

o più in generale x

lim

x 2n

=

e

x

y

O

x

7

c) lim f (x ) =

e

x

lim f ( x) =

x

y

x

O

ESEMPIO x

3 lim x =

e

x

lim x 3 =

o più in generale x

lim x

2n 1

=

e

x

lim x 2n

1

=

y

O

d) lim f ( x ) =

e

x

x

x

lim f ( x ) =

y

O

x

8

ESEMPIO x

lim

x3

e

=

x3 =

lim

x

y

O

x

ESEMPIO Sia f (x ) = sin

Si dimostra che lim x 0

sin

1 x

1 non esiste o meglio oscilla tra x

E= x

1 e +1. Si consideri allora l’insieme

1 n

con n

N

= lim

sin n

= 0

: x

Risulta pertanto:

lim

x 0 su E

sin

1 x

n n N

y y=1 O

x y=

1

In ogni intorno di zero la curva compie infinite oscillazioni che vanno via via infittendosi a mano a mano che ci si avvicina a zero.

9

2. TEOREMI SUI LIMITI In questo paragrafo verranno enunciati i più importanti teoremi che regolano le operazioni sui limiti di funzione. Teorema dell’unicità del limite: il limite di una funzione, se esiste, è unico. Teorema della permanenza del segno: se, al tendere di x ad x 0 , la funzione y = f (x ) tende al limite

l

0, esiste un intorno di x0 in cui, escluso tutt’al più x 0 , la funzione assume lo stesso segno del suo

limite.

3. OPERAZIONI SUI LIMITI Limite della somma (o differenza) di due (o più) funzioni.

Primo caso Date due funzioni y = f (x) ed y = g ( x ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F

lim f (x ) g ( x) = lim f (x) x

x0

x

x0

G, risulta:

lim g ( x) = l 1 l 2

x

x0

posto

lim f ( x ) = l1

x

lim g (x ) = l 2

e

x0

x

x0

Quindi il limite della somma di due o più funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni.

ESEMPIO Siano f ( x) = x 3 4 x 2 x 6

e

g ( x ) = x4

3 x2

2

Si ha: f (x) = 0 lim x 2

e

lim g (x ) = 6

x

2

da cui lim f ( x) x

2

g ( x) = lim f ( x ) lim g ( x ) = 0 6 = x

2

x

2

6

10

Secondo caso Ci si pone adesso il problema se il teorema di cui sopra continui a valere anche quando la x tenda a valori infiniti. La risposta a tale quesito è affermativa.

ESEMPIO Siano f ( x) = x 3 4 x 2 x 6

e

g ( x ) = x4

3 x2

2

Si ha: f (x) = lim x

lim g ( x) =

e

x

da cui lim f ( x ) g ( x ) x

= lim f (x ) lim g (x ) = x

x

Terzo caso Ci si pone ora nel caso generale in cui il valore del limite può essere anche infinito e si afferma che la regola, indipendentemente da dove tende x, vale secondo i risultati riportati nella seguente

TABELLA DELLA SOMMA

+

l'

l

l + l'

l , l'

0

? ?

? indica che il teorema generale della somma in questi casi (uno

e l’altro

) non porta a

conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso indeterminato o di indecisione.

11

ESEMPIO Siano f ( x ) = 3 x4

5 x3

1

g ( x ) = 2 x3

e

4 x2

3

Risulta: x

lim f (x ) =

e

x

lim g ( x ) =

da cui x

lim

f ( x ) g (x ) =

che, come è evidente dalla tabella, è un caso di indecisione.

Limite del prodotto di due (o più) funzioni. Date due (o più) funzioni y = f (x ) ed y = g ( x ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con x 0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F

G, risulta:

lim f (x ) g ( x) = lim f (x) lim g ( x) = l1l 2

x

x0

x

x0

x

x0

posto

lim f ( x ) = l1

x

lim g (x ) = l 2

e

x

x0

x0

cioè il limite del prodotto di due (o più) funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni.

ESEMPIO Siano f ( x) = x 3

4 x2 x

5

e

g ( x ) = x4

3 x2

2

Risulta: lim f (x ) = x

2

1

e

lim g( x) = 6 x

2

da cui lim f ( x) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = ( x

2

x

2

x

2

1) 6 =

6

12

Quanto sopra detto si può riassumere nella seguente

TABELLA DEL PRODOTTO

0 l l

0

l'

l'

0 0

0 ll' ll '

0 ll' ll '

0

?

?

l , l'

+

0

? ?

+

? indica che il teorema generale del prodotto in questi casi (uno 0 e l’altro +

o

) non porta a

conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o di indeterminazione.

ESEMPIO Siano f ( x) = x3

x

e

lim f ( x ) = 0

e

g( x) =

2 x3 + 3 3 x2

Risulta: x

0

lim g (x ) =

x

0

Segue che: lim f ( x ) g ( x ) = 0 x

0

(

)

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.

13

Limite del quoziente di due funzioni Date due funzioni y = f (x) ed y = g(x ) , con g (x )

0, definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed

indicato con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F lim

x

x0

G, risulta:

lim f (x ) l f ( x) = x x0 = 1 lim g (x ) g (x ) l2 x

x0

posto

lim f (x ) = l 1

x

lim g ( x ) = l 2

e

x0

x

x0

0

cioè il limite del quoziente di due funzioni è uguale al rapporto tra i limiti delle singole funzioni considerate.

ESEMPIO Siano f ( x) = x 3

4 x2 x 5

e

g ( x ) = x4

3 x2

2

Risulta: lim f (x ) = x

1

2

e

lim g ( x) = 6 x

2

Segue che: lim

x

2

f ( x) g (x )

=

1 6

Quanto sopra enunciato si può riassumere nella seguente

TABELLA DEL QUOZIENTE

0

l

+

l +

0

l'

l'

?

0 l

0 l l' l l'

l' l l'

0

0

0

0

0

0

?

?

?

?

14

? indica che il teorema generale del quoziente in questi casi (entrambi 0 oppure entrambi

) non porta a

conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o di indeterminazione.

ESEMPI 1) Siano f ( x ) = x3

x 2

g( x) = x3

e

x2

x 1

Risulta: f (x ) = 0 lim x 1

e

lim g (x ) = 0 x

1

Segue che: lim

x

1

f ( x) g (x )

0 0

=

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione. 2) Siano f ( x) = x3

x

e

g( x) = x 4

3 x2 1

Risulta: x

lim f (x ) = +

e

x

lim g ( x ) =

Segue che:

x

lim

f (x ) g( x)

=

che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.

Limite della potenza di una funzione Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y = f (x ) tende ad un numero finito l

0, indicando con n un

intero qualsiasi, risulta:

lim f ( x) x

n

x0

= ln

cioè il limite di una potenza è uguale alla potenza del limite.

15

ESEMPIO Siano f (x ) = 3 x

2

e

5x

n = 3

Risulta: lim f (x ) = 2 x

e

2

lim f ( x ) x

3

= 23 = 8

2

Quanto detto si può riassumere nella seguente

TABELLA DELL’ELEVAMENTO A POTENZA

lim f ( x )

lim g ( x )

x0

x

x

f ( x)

lim

x0

x0

x

l

l'

ll'

0

0

?

l

+

+

l'

+

l

+ 0

l'

se l ' è pari se l ' è dispari

0

?

1 +

g( x)

? +

+

? indica che il teorema generale della potenza in questi casi (uno 1 e l’altro uno

oppure entrambi 0 oppure

e l’altro 0) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un

caso di indecisione o di indeterminazione.

16

ESEMPI 1) Siano f ( x) =

1 x

1

g(x) = x2

e

Risulta: x

lim f (x ) = 1

e

x

lim g (x ) = +

da cui si ha x

lim

f (x )

g (x )

= 1

che è una forma indeterminata. 2) Siano f ( x ) = 3 x3

2 x2

x

e

g ( x) = x

Risulta: lim f ( x ) = 0 x

e

0

lim g (x ) = 0

x

0

da cui segue lim f ( x) x

g( x)

0

= 00

che è un’altra forma di indecisione. 3) Siano f (x ) = 3 x

2

e

2

g (x ) = 1 x

Risulta: x

lim f (x ) =

e

x

lim g ( x ) = 0

da cui si ottiene x

lim

f (x )

g ( x)

= (

)0

che è ancora un caso di indecisione.

17

Limite della radice n-esima di una funzione Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y = f ( x ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicando con n un intero positivo, risulta: lim

x

n

x0

f (x ) =

n

l

con la sola ipotesi restrittiva che x0 , punto di accumulazione dell’insieme di definizione della y, deve essere anche un punto di accumulazione dell’insieme di definizione della

n

f (x ) . Quindi il limite della radice n-

esima di una data funzione è uguale alla radice n-esima del limite della funzione stessa. Osservazione: la tabella della radice si può ricavare da quella dell’elevamento a potenza ricordando che n

f (x )

m

m

= f (x )

n

con m, n interi positivi.

ESEMPI 1) Sia 2

f ( x) = 3 x

e

2x

n=3

Allora

lim x

n

f ( x) = lim

2

x

3

2

3x

2

2x =

3

8 = 2

2) Sia 2

f ( x) = 3 x

e

2x

n=3

Allora x

lim

n

f ( x) = lim

3

x

2

3x

2x =

3) Sia 3

f ( x) = 3 x

e

2x

n=3

Allora x

lim

n

f ( x) = xlim

3

3

3x

2x =

18

Limite di funz...