Radici e radicali con operazioni ed espressioni 1 PDF

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appunti ed esercitazioni radici con espressioni...

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ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. • L’esponente della potenza è l’indice della radice che può essere: quadrata (=2); cubica (=3); quarta (=4); ecc. • La base della potenza è il radicale, ovvero il risultato dell’operazione di radice • La potenza è il radicando, ovvero il numero da cui estrarre la radice

LA RADICE QUADRATA L a r a d i c e q uad r a t a d i u n nu m e r o (r a d i c a n do ) è q ue l nu m e r o c h e el e va t o all a sec o n d a c i da c o m e ri s ul ta t o il r a di c a n d o ( n um er o d i p a rt en z a ) Per comodità l’indice di radice, con le radici quadrate viene sottointeso 4 2 = 16 16 = 4 perché Le radici quadrate possono essere: • PERFETTE – Il radicale (risultato) è un numero intero o decimale finito • APPROSSIMATE - Il radicale (risultato) è un numero decimale periodico o illimitato non periodico (irrazionale)

METODI DI CALCOLO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI 1. RADICI PERFETTE  Scomporre il radicando in fattori primi;  Separo ciascun numero con il suo segno di radice applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro;  Divido a metà tutti gli esponenti (cioè è possibile togliere il segno di radice): La radice quadrata perfetta è un numero ottenuto dal prodotto degli stessi fattori primi del radicando ma con l’esponente dimezzato. 400 = 2 4 × 5 2 = 2 2 × 5 = 20

2. RADICI APPROSSIMATE  Scomporre il radicando in fattori primi  Separo ciascun numero con il suo segno di radice applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro;  I fattori con esponente pari vengono dimezzati  I fattori con esponente dispari vengono scomposti con le proprietà inverse delle potenze di uguale base, lasciando sotto radice i fattori con esponente uguale a 1. 36000 = 2 5 × 32 × 5 3 = 2 4 × 21 × 32 × 5 2 × 51 = 2 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 4 × 3 × 5 × 2 × 5 = 60 10

CALCOLO CON L’USO DELLE TAVOLE

1. RADICI PERFETTE N U M E R I I N F E R I O R I A 1000 Si cerca il radicando nella colonna di n, la sua radice (radicale) sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di n che, se non è perfetto, dovrà essere approssimato per eccesso o difetto. 110 = 10, 4881 = 10, 49

N U M E R I S U P E R I O R I A 1000 F I N O A 1000000 Si cerca il radicando nella colonna di n2. Si trova la radice in n. • NUMERI INTERI Es: 82944 = cerco82944 = trovo82944 = 288

DECIMALI LIMITATI - si deve riposizionare la virgola successivamente al calcolo, in modo tale che le cifre decimali nel risultato siano la metà di quelle sotto radice. Per cui sotto radice avremo sempre un numero pari di cifre decimali (2, 4 o 6 cifre che danno decimali rispettivamente a 1, 2 o 3 cifre) Es: 1246, 09 = cerco124609 = trovo124609 = 353 = 35, 3 •

2. RADICI APPROSSIMATE N U M E R I S U P E R I O R I A 1000 F I N O A 1000000 Si cerca il radicando nella colonna di n2, ma non lo si trova. Allora si osservano i due numeri che lo contengono (il precedente ed il successivo). Si sceglie quello più vicino e si guarda la sua radice (radicale) che sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di n. A seconda del numero scelto avremo la radice approssimata per difetto (se abbiamo scelto il precedente) o per eccesso (se abbiamo scelto il successivo) all’unità richiesta:

•

NUMERI INTERI - se devono essere approssimati ai decimali, si deve aggiungere la virgola al radicando e un numero doppio di zeri in base a quante cifre decimali richiede la radice. 0,1

Es: 1043 = 1043, 00

•

0,1

= cerco 104300 = trovo 104329 = 323 = 32, 3

DECIMALI LIMITATI - si devono aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando gli zeri nei posti mancanti.

Es:

344, 7

0,1

= 344, 70 = cerco 34470 = trovo 34596 = 186 = 18, 6

Con le proprietà delle radici - Si trasforma il decimale nella frazione generatrice corrispondente e si trovano le radici separate del numeratore e del denominatore. 0,01 327000 572 Es: 8,9 0,1 = 8,90 = 890 = 29 = 2,9 oppure = 5, 72 = 32,7 = 32, 7000 = 10000 100 100 10

• ES:

PERIODICI - si deve aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando le cifre del periodo. 0,1

278, 8

= 278, 88 = cerco 27888 = trovo 27889 = 167 = 16, 7

OPERAZIONI CON I RADICALI • SOMMA E SOTTRAZIONE La somma è possibile solo con i radicali simili. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando. Possono differire soltanto per il coefficiente, cioè per quel fattore che moltiplica, eventualmente, il radicale. Es.:

;

;

sono radicali simili.

La somma di due o più radicali simili è il radicale, simile ai dati, che ha come coefficiente la somma dei coefficienti. Es.:

3 2−

11 4 4⎞ ⎛ 15 − 4 ⎞ ⎛ 2 2 =⎜ 3− ⎟ 2 = ⎜ ⎟⎠ 2 = ⎝ ⎠ ⎝ 5 5 5 5

IMP: il coefficiente 1 può essere sottointeso, ma nella somma è importante considerarlo.

Es: 5 + 5 = 2 5

• MOLTIPLICAZIONE Il prodotto di due o più radicali è un radicale che ha per radicando il prodotto dei radicandi e per coefficiente il prodotto dei coefficienti. Es.:

3 7 ⋅ 4 2 = (3 ⋅ 4 ) 7 ⋅ 2 = 12 14

3 3 ⎛ 3 ⎞ 25 5 ⋅ 2 5 = ⎜ ⋅ 2⎟ 5 ⋅ 5 = ⎝4 ⎠ 2 4

Proprietà inversa delle radici moltiplicate - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numero scomposto in fattori, separandoli ciascuno in una radice

Es:

30 = 3 ⋅10 = 3 ⋅ 10

• DIVISIONE Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) è un radicale che ha per radicando il quoziente dei radicandi e per coefficiente il quoziente dei coefficienti. Es.:

15 36 : 5 3 = (15 : 5 ) 36 : 3 = 5 12

8 4 :7 3 =

8 4 7 3

Proprietà inversa delle radici divise - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numeratore e del denominatore separatamente

Es: 16 25

=

16 25

=

4 5

NOTA BENE: In generale, la moltiplicazione e la divisione possono essere eseguite solo tra radicali aventi lo stesso indice. Non applicare tali proprietà quando c’è una somma o sottrazione tra le radici perché il risultato non è lo stesso. Es: 9 + 16 ≠ 9 + 16 3 + 4 ≠ 25 7≠5

• POTENZA Per elevare a potenza un radicale basta elevare a quella potenza il radicando e il coefficiente Es.:

( 2 5)

3

= 2 3 5 3 = 8 125

Proprietà importante:

( a)

2

=a

Es:

( 5)

⎛

2

=5

⎞

2

5

5 oppure ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 3

ESPRESSIONI CON LE RADICI 1. UNA SOLA RADICE •

Intera Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare separatamente il numeratore e il denominatore con la proprietà inversa delle radici divise. ⎛ 3 2 ⎞ 15 : 1 +1 = ⎜⎝ 4 − ⎟⎠ : 3 28 5

Es:

⎛ 9 − 8⎞ 28 5 ⋅ ⋅ +1 = = ⎜ ⎝ 12 ⎟⎠ 15 1

•

=

1 28 ⋅5 +1 = ⋅ 12 15

=

7 16 16 4 +1 = = = 9 9 9 3

Da Approssimare Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare anche il valore della frazione e successivamente calcolare la radice con l’approssimazione richiesta. 1⎞ 2 1, 32 + ⎛⎜ 0, 15 − ⎟ : ⎝ 11 ⎠ 33

Es:

0,01

= 0,01

2

⎛ 13 − 1⎞ + ⎛15 1 ⎞ 2 = ⎜ ⎜⎝ 99 − 11 ⎟⎠ : 33 ⎝ 9 ⎟⎠ 2

⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 − 9 ⎞ 2 : = ⎜ ⎟ +⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 99 ⎟⎠ 33 =

16 6 33 ⋅ + 9 99 2 0,01

=

16 +1 9

=

=

0,01

=

0,01

= 16 + 9 9

0,01

=

25 9

0,01 0,01

= 2, 7

= 2, 7777 = cerco27777 = trovo27889 = 1, 67

2. DUE O PIU ’ RADICALI •

Semplice Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni. Poi calcolo le somme. I r a d i c a n d i s o n o g i à r i d o t t i a i m i n i m i t e r m i n i . Infine devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili intervallandoli con i segni più.

Es:

1 1 30 : 6 + 3 5 + 5 2 = 3 3 2 3 + 4 10 + 3 10 + 2 2 + 5 + 3 5 + 5 2 = 2 3 + 4 5 ⋅ 2 + 3 10 + 2 2 +

( 2 + 5)

2 + (4 + 3) 10 + ( 3 + 1) 5 + 2 3 =

= 7 2 + 7 10 + 4 5 + 2 3

•

Complessa Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni Poi opero con i r a d i c a n d i c h e d e v o n o e s s e r e r i d o t t i a i m i n i m i t e r m i n i , s c o m p o n e n d o l i i n f a t t o r i p r i m i e portando fuori radice gli esponenti maggiori o uguali a 2. Infine devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili ottenuti intervallando le varie somme dai segni più.

Es:

2 5 + 147 + 3 72 ⋅

1 10 − 160 : 2 = 3

2 5 + 3 ⋅ 7 2 + 720 − 80 = 2 5 + 7 3 + 26 ⋅ 5 − 24 ⋅ 5 = 2 5 + 7 3 + 23 5 − 22 5 = 2 5+7 3+8 5−4 5 =

( 2 + 8 − 4) 6 5+7 3

5+7 3=

ESERCIZI:

1 11 3 7+ 3 7− 3 7 = 2 1. 4 2. −4 3 +

1 7 5+ 3− 5= 8 2

! 3. −

15 4

2 4 2 +6 2 − 2 −8 = 3 5 3

4. 3 6 + 6 −

3+5 3− 5 +7 5 + 5 −2 3=

5. 5 18 − 7 12 + 6.

75 − 98 =

75 + 3 18 − 2 12 − 2 50 =

7. 3 128 − 2 72 − 2 50 − 8 = 8. 7 5 −

45 + 125 =

3 2 + 27 − 18 + 5 = 2

9.

32 + 98 − 12 + 75 −

10.

363 + 2 5 − 147 + 720 − 80 =

11.

4 6 12 2 63 + 28 + 245 − 20 = 3 5 7 5

12.

7 2 4 8− 2+ 75 − 27 + 98 + 192 = 5 9 3...