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Regra da Cadeia Professor Rafael Rig˜ao Souza - DMPA / UFRGS (Observa¸c˜ao: Este ´e um texto em constru¸c˜ao.)

Regra da Cadeia A regra da cadeia vai nos permitir derivar a composta de duas ou mais fun¸c˜oes. Por exemplo, se f (x) = sen(x) e g(x) = x2 + 3x + 1, ent˜ ao a composta de f com g aplicada em x ´e a fun¸c˜ao denotada por f ◦ g dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = sen(g(x)) = sen(x2 + 3x + 1). Outro exemplo: se f (x) =

√ x e g(x) = 4 + x2 , ent˜ ao (f ◦ g)(x) = f (g (x)) =

p

g(x) =

p

4 + x2 .

Ainda, se f (x) = x2 e g(x) = cos(x), ent˜ ao (f ◦ g)(x) = f (g (x)) = (g(x))2 = (cos(x))2 = cos2 (x). Os exemplos acima nos mostram que, se soubermos derivar a composta de duas fun¸co˜es, poderemos derivar uma grande variedade de novas fun¸c˜oes. Teorema 1 (Regra da Cadeia). Se g for diferenci´avel em x e f for diferenci´ avel em g(x), ent˜ ao a composta f ◦ g ´e diferenci´ avel em x, e sua derivada vale d [f (g (x))] = f ′ (g (x)) · g ′ (x). dx Ou seja a derivada da composta f ◦ g avaliada em x ´e dada pela derivada da fun¸c˜ao f , avaliada no ponto g(x), multiplicada pela derivada de g avaliada em x. Ao final desta se¸c˜ao vamos provar a regra da cadeia. Antes, vamos aplic´a-la nos exemplos acima. Exemplo 1. Se f (x) = sen(x) e g(x) = x2 + 3x + 1, ent˜ ao f (g(x)) = sen(x2 + 3x + 1) e, dado que f ′ (x) = cos(x), temos  d d  [f (g (x))] = f ′ (g (x)) · g ′ (x) sen(x2 + 3x + 1) = dx dx = cos(g(x)) · g ′ (x)

= cos(x2 + 3x + 1) · (2x + 3)

= (2x + 3) · cos(x2 + 3x + 1). Observa¸ca ˜o 1. Toda vez que multiplicamos uma fun¸ca˜o polinomial por uma trigonom´etrica, costumamos denotar o produto colocando o polinˆ omio `a frente da fun¸ca˜o trigonom´etrica. Este costume facilita a leitura e deixa bem claro quem ´e o argumento da fun¸c˜ao trigonom´etrica. Esta observa¸ca˜o tamb´em ´e v´alida quando multiplicamos uma fun¸c˜ao polinomial por uma exponencial ou por uma logar´ıtmica.

Clculo Diferencial e Integral

Professor Rafael Rigo Souza - DMPA / UFRGS

Antes de aplicarmos a regra da cadeia nos dois outros exemplos, vamos introduzir uma nota¸ca˜o bastante u ´ til. Trocamos, no enunciado da regra da cadeia, a fun¸c˜ao g(x) pela fun¸ca˜o u, que apesar de ser tamb´em uma fun¸c˜ao de x, costuma ser escrita sem a depˆencia expl´ıcita em x. Isto simplifica a nota¸ca˜o e nos a juda a calcular derivadas mais elaboradas. Assim, a regra da cadeia pode ser escrita da seguinte maneira: d du [f (u)] = f ′ (u) · dx dx

d [f (u)] = f ′ (u) · u′ dx

ou

(1)

Exemplo 2. Se f (x) = x2 e u = cos(x), ent˜ ao f (u) = u2 = cos2 (x), e, dado que f ′ (x) = 2x, temos d  2 d d  2  cos (x) = u = [f (u)] = f ′ (u) · u′ dx dx dx = 2u · u′

= 2cos(x) · (−sen(x)) = −2cos(x)sen(x).

Observa¸ca ˜o 2. Podemos eliminar alguns dos passos intermedi´ arios para evitar um texto muito repetitivo. Ou ´ ltimo exemplo pode ser escrito como d  2  d  2 u = 2u · u′ = −2cos(x)sen(x). cos (x) = dx dx Exemplo 3. Vamos calcular

i d hp 4 + x2 . dx

Solu¸c˜ao: Neste caso temos a raiz quadrada aplicada em um polinˆ omio. Ent˜ ao, lembrando que 1 d √  x = √ , dx 2 x temos que i x d hp d √  1 1 · 2x = √ . 4 + x2 = u = √ · u′ = √ dx dx 2 u 2 4 + x2 4 + x2 ´ E interessante notar que as regras de deriva¸c˜ao podem ser escritas de uma maneira mais geral, contemplando o uso da regra da cadeia. Por exemplo, nossa primeira regra de deriva¸c˜ao pode ser escrita da seguinte forma: d α [u ] = αuα−1 · u′ dx Note que no exemplo 2 podemos usar a f´ormula acima com u = cos(x) e α = 2, enquanto no exemplo 3 podemos usar a f´ormula acima com u = 4 + x2 e α = 1/2. Temos ainda o teorema a seguir onde apresentamos a vers˜ao generalizada das regras de deriva¸ca˜o das fun¸c˜oes trigonom´etricas: Teorema 2 (F´ormulas generalizadas para derivadas). As seguintes f´ ormulas generalizadas para derivadas s˜ ao v´ alidas: a)

d dx

[sen(u)] = cos(u) · u′ ;

c)

d dx

[tg (u)] = sec2 (u) · u′ ;

b)

d dx

[cos(u)] = −sen(u) · u′ ;

d)

d dx

[cotg (u)] = −cosec2 (u) · u′ ;

2

Clculo Diferencial e Integral e)

d dx

Professor Rafael Rigo Souza - DMPA / UFRGS

[sec(u)] = sec(u) · tg (u) · u′ ;

f)

d dx

[cosec(u)] = −cosec(u) · cotg (u) · u′ .

Por exemplo, fazendo u = 3x + 7 abaixo, temos que d d [sen(u)] = cos(u) · u′ = 3cos(3x + 7). [sen(3x + 7)] = dx dx Vamos passar agora a uma situa¸c˜ao nova, onde ser´a necess´ario aplicar a regra da cadeia duas vezes: Exemplo 4. Calcule a derivada da fun¸ca˜o f (x) = sen3 (4x + 7). Solu¸c˜ao: vocˆe pode notar que este exemplo lembra o exemplo 2, pois temos o cubo de uma fun¸c˜ao trigonom´etrica. Por´em a fun¸ca˜o seno ´e aplicada em 4x + 7, portanto temos duas composi¸co˜es: x → 4x + 7 → sen(4x + 7) → sen3 (4x + 7) Vamos derivar chamando f (x) = x3 e u = sen(4x + 7). Teremos  d  3 d  sen3 (4x + 7) = u = 3u2 · u′ dx dx Agora a regra da cadeia ´e usada mais uma vez para calcular u′ =

d [sen(4x + 7)] = 4cos(4x + 7). dx

Sendo assim, temos  d  sen3 (4x + 7) = 3u2 · u′ dx = 3sen2 (4x + 7) · 4cos(4x + 7)

= 12sen2 (4x + 7) · cos(4x + 7).

A regra da cadeia ser´a muito importante no futuro. Gra¸cas a ela, veremos na pr´ oxima se¸ca˜o como deduzir a derivada do logaritmo a partir da derivada da fun¸ca˜o exponencial. E tamb´em como calcular derivadas de fun¸c˜oes como f (x) = esen(x)

,

g(x) = ln(x2 + 8)

ou

2

h(x) = e−(x−3) .

Finalizamos esta se¸c˜ao com a demonstra¸ca˜o da regra da cadeia 1 . Para isto, partimos da defini¸ca˜o de derivada e vamos usar o artif´ıcio de multiplicar e dividir por g(x + h) − g(x), de maneira a fazer aparecer a derivada de g : f (g (x + h)) − f (g (x)) d [f (g (x))] = lim dx h h→0 f (g (x + h)) − f (g (x)) g(x + h) − g(x) = lim h g(x + h) − g(x) h→0 f (g (x + h)) − f (g (x)) g(x + h) − g(x) = lim h→0 g(x + h) − g(x) h ′ ′ = f (g (x)) · g (x). onde a u ´ ltima igualdade vem do fato de g ser diferenci´ avel em x, o que faz com que g seja cont´ınua em x, e portanto quando h → 0 temos g(x + h) → g(x) e fazendo z = g(x + h) e z0 = g(x) conclu´ımos, usando a defini¸c˜ao alternativa para derivada (ver observa¸ca˜o ap´os a defini¸ca˜o da derivada), que diz que lim

h→0

f (z) − f (z0 ) f (g(x + h)) − f (g(x)) = f ′ (z0 ) = f ′ (g (x)). = lim z→z0 g(x + h) − g(x) z − z0

1

se vocˆ e est´ a mais interessado em aplica¸co˜es do c´ a lculo, vocˆ e pode pular a demonstra¸c˜a o da regra da cadeia. Mas se vocˆ e ´e curioso e quer entender mais a fundo a teoria por tr´a s do c´ a lculo diferencial e integral, vocˆ e e´ convidado a entender esta demonstra¸ca˜o.

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