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EJERCICIOS DE MATÉMATICA...

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Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2

PRÁCTICA 2 SISTEMAS LINEALES Y MATRICES Ejercicio 1.- Dado el sistema lineal ⎧ −x1 + 2x 2 ⎪ S ⎨ x1 + 3x 2 ⎪ 2x ⎩ 1

+

=

x3 − x4 + x4

+ 3x3

2

=

0 = −1

¿Cuáles de las siguientes 4-uplas son soluciones de S? ¿y del sistema homogéneo asociado?

x = (2,2,1,0) u = (−2,

y = (1,1,1,4)

− 5 10 3

,

3

1 1

,−7)

v = (−1, ,

3 3

z = (0,0,0,0) w = (−1, −2,3, −7)

,0)

Ejercicio 2.- Determinar, si existen, a y b para que (2, −2,1) sea solución de ⎧ x1 + 2 ax 2 ⎪ ax2 ⎨ ⎪bx + x2 ⎩ 1

+

x3

− bx3 + (2 a − b) x3

=

−1 = −4 = 3

Ejercicio 3.- Obtener un sistema equivalente al dado, cuya matriz ampliada sea escalonada en las filas reducida.

⎧ x1 + 2 x 2 ⎪ a) ⎨ 2x1 + 2x 2 ⎪− x + 2 x 2 ⎩ 1

+

x3 x3

+ + 2x3

=

2

= −1 = 0

x3 + ⎧ x1 + 2 x2 + ⎪ b) ⎨ x1 + 3 x2 + 3 x3 + ⎪− 2 x − 2 x + 2 x − 1 2 3 ⎩

3 x4 + 5 x4 + 2 x4

−

2 x5 = − 1 3 x5 = 0 2 x5

=

2

1

Ejercicio 4.- Resolver por el método de eliminación de Gauss el sistema cuya matriz aumentada es ( A # b) . 3 − 1⎞ ⎛ 1 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ −3 ⎟ ⎜ a) A = ⎜ 1 −1 0 4⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝−1 1 − 3 3 ⎠

b = (1,2, − 1,0) b = (0,0,0,0)

⎛ 1 1 2 −1⎞ ⎜ 2 1 1 0⎟ ⎟ b) A = ⎜ ⎜ − 1 1 2 − 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 2 4 −2⎠ ⎛2 ⎜ c) A = ⎜ 1 ⎜1 ⎝

b = (1,2,1,2) b = (2,0, − 1,1) b = (0,0,0,0)

b = (5,3,2) b = ( − 1,1,2) b = (2,1,1)

−1 2 ⎞ ⎟ −3 2 ⎟ 2 0 ⎟⎠

b = (0,0,0)

b = (2,1,2) b = (0,0,0) b = (1,0,0)

⎛ 1 2 − 1 2⎞ d) A = ⎜⎜ 0 1 0 3 ⎟⎟ ⎜0 2 3 1 ⎟ ⎝ ⎠

b = (0,1,0) b = (3,1, − 1) b = (0, − 1, − 2) b = (0,0,0) b = (1,1,2)

⎛1 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ e) A = 1 1 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜1 0 1 − 2 ⎟ ⎝ ⎠

2 3 1 ⎛ 1 ⎜ 2 4 6 2 f) A = ⎜ ⎜ 0,1 0, 2 0, 3 3 ⎜ −2 −4 0 −2 ⎝

2

4⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ 1⎟⎠

b = (1,2,3,2) b = (1, − 3,0,3)

Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2 Ejercicio 5.- Determinar si el sistema tiene soluciones no triviales, sin resolverlo. ⎧ x + x2 a) ⎨ 1 ⎩− x1 − x 2

= 0

⎧2 x1 + x 2 − x 3 = 0 b) ⎨ x2 + x3 = 0 ⎩

= 0

⎧ 2x1 + x 2 + ⎪ x2 ⎪ c) ⎨ ⎪ ⎪⎩

x3 − x4 = 0 − x4 = 0 ⎧a x + d) ⎨ 11 1 x3 + x4 = 0 ⎩ a21 x1 + x4 = 0

a12x 2 + a22 x2 +

a13x 3 + a23 x3 +

a 14x 4 = 0 a24 x4 = 0

Ejercicio 6.- Mostrar tres elementos de cada uno de los conjuntos siguientes. a) S1 = { A ∈ R 3 3 / aij = a ji , 1 ≤ i , j ≤ 3} ×

(matrices simétricas)

× b) S2 = { A∈ R3 3 / aij + a ji = 1, 1 ≤ i, j ≤ 3}

c) S3 = { A ∈ R3×3 / aij = − a ji , 1 ≤ i , j ≤ 3} 4 ⎧ ⎫ d) S4 = ⎨ A ∈ R 4× 4 / ∑ aii = 0 ⎬ i=1 ⎩ ⎭

(matrices antisimétricas)

(matrices de traza nula)

e) S5 = { A ∈ R3× 4 / A tiene alguna fila nula} f) S6 = {A ∈ R 3× 3 / aij = 0, si i > j}

(matrices triangulares superiores)

Ejercicio 7.- Efectuar, cuando sea posible, los cálculos indicados. ⎛ 2 −2 ⎞ A = ⎜⎜ 1 3 ⎟⎟ , B = ⎜1 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 2 3 ⎞ ⎜2 0 0 ⎟, C = ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ 2 1 −1⎟ , D = ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠

1⎞ ⎛ 2 2 1⎞ ⎛2 ⎜ 0 −2 ⎟ , E = ⎜ 1 − 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i) BA

ii) BC

iii) CB

iv) AB

vi) ED

vii) DA

viii) EA + D

ix) AE + 3C

v) BA – C

3

⎛ 1 3 2⎞ Ejercicio 8.- Dadas A = ⎜⎜ 1 1 −1⎟⎟ y B = ⎜ 7 7 5⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 −1⎟ , hallar ⎜ 3 3 3⎟ ⎝ ⎠

a) la tercera fila de AB b) la tercera columna de BA c) el coeficiente c32 de C = BAB

Ejercicio 9.- Determinar todas las matrices B que verifican: ⎛ 1 2⎞ a) ⎜ ⎟B = ⎝ 0 1⎠ b)

⎛1 0⎞ ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠

1⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎟B = ⎝− −2 ⎠

⎛ 1 0⎞ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠

3⎞ ⎛ 1 2 ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) 5 6 ⎟ B = ⎜ 6⎟ ⎜ 4 ⎜ −1 −2 −3 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1 12 ⎞ ⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ d) ⎜⎜ −1 −1 −1 ⎟⎟ B = ⎜ −1 0 2⎟ ⎜ 0 2 3⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 0⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ e) ⎜ −1 −1 −1 ⎟ B = ⎜⎜ 3 0 ⎟⎟ ⎜ 0 2 3⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1⎞ 1⎞ ⎛−2 ⎛−2 Ejercicio 10.- Hallar todas las matrices A ∈ R 2× 2 tales que ⎜ A = A⎜ ⎟ ⎟ . ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 2 −1⎠ 4

Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2

Ejercicio 11.- Hallar todas las matrices X ∈ R 2× 2 tales que AX + B = BX + A. a)

⎛ 2 1⎞ A= ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1⎠

1⎞ ⎛ 2 b) A = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 5⎠

⎛ 1 0⎞ B= ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2⎠ ⎛ 1 0⎞ B= ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2⎠

Ejercicio 12.- Determinar cuáles de las siguientes matrices son inversibles; exhibir la inversa cuando exista.

⎛ 1 0⎞ A= ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠

⎛ 3 0⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ 0 3⎠

⎛ 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ E = ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 3 1 − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 2⎞ C =⎜ ⎟ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ F = ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 2 0 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 2⎞ D =⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 2⎠

⎛ 1 1⎞ G= ⎜ ⎟ ⎝ 0 2⎠

⎛ − 1 − 1⎞ H=⎜ ⎟ ⎝ 0 2⎠

G +H

⎛ 1 3 2⎞ Ejercicio 13.- Sea A = ⎜⎜ 0 1 1⎟⎟ . Decidir si A−1 es solución del sistema ⎜ − 1 0 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 5 4⎞ ⎛ 1 2 0⎞ ⎜ 1 1 0 ⎟ X = ⎜0 1 1 ⎟ . ⎝− ⎠ ⎝ ⎠

Ejercicio 14.- Sea A ∈ R 3× 3 . ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Si ⎜ 3 ⎟ y ⎜ 1 ⎟ son soluciones de Ax = ⎜ 4⎟ , hallar 4 soluciones de Ax = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . ⎜5⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5

Ejercicio 15.- Sean (1,3,1), (2,2,4) y (2,0,4) soluciones de un sistema lineal no homogéneo. a) Hallar dos rectas distintas tales que todos sus puntos sean soluciones del sistema homogéneo asociado. b) Econtrar un plano tal que todos sus puntos sean soluciones del sistema no homogéneo.

Ejercicio 16.- Sea A ∈ R 3× 3 . ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 2 ⎟ y ⎜ 1 ⎟ son soluciones de Ax = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ y ⎜ 1⎟ es solución deAx =⎜⎜ 0⎟⎟ . ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ Encontrar una recta de soluciones del sistema Ax = ⎜ 2⎟ + ⎜⎜ 0⎟⎟ . ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 1 − 1⎞ ⎛ −1 1 1 4 ⎞ ⎜ ⎟ Ejercicio 17.- Sean A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 2 1 1 0⎟ y S0 = ⎝ 0 1 2 3⎠ ⎜ 1 3 3 1⎟ ⎝ ⎠

{x ∈ R

4

/ Ax = 0} .

⎛2⎞ Encontrar todos los x ∈ S ฀0 tales que B x = ⎜ 3⎟ . ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 5 1 −2⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ejercicio 18.- Dadas A = ⎜ 2 − 1 − 3⎟ y c = ⎜ a − 3⎟ , determinar todos los valores de a ⎜3 2 1⎟ ⎜ a + 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ para los cuales el sistema Ax = c es compatible. Resolver el sistema para alguno de los valores de a hallados.

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Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2

Ejercicio 19.a) Encontrar todos los valores de k ∈ R para los cuales el sistema S tiene solución única.

⎧ (k 2 − 1)x1 + ⎪ S ⎨ ⎪ ⎩

x2 (k − 1) x2

kx 3 = 0 x3 = 0 ( k + 2) x3 = 0

+ +

b) Determinar todos los valores de k para los cuales el sistema S admite solución no trivial ⎧(k + 1)x1 ⎪ x1 ⎪ S ⎨ x1 ⎪ ⎪⎩ x1

2x2 − + ( k + 2) x2 − 2 x2 2 x2 −

+ kx3 + kx3 + kx3 + kx3

3x4 + + 4 x4 + ( k + 4) x4 3 x4 +

= 0 = 0 = 0 = 0

Ejercicio 20.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales los sistemas cuyas

matrices ampliadas se dan a continuación son compatibles. ⎛ 1 − 3 # 1⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝2 a # b ⎠

3 b ⎞ # ⎛ 1 −3 b) ⎜ ⎟ 2 ⎝ 0 a + 1 a − 1 # b + 2⎠

−3 # 3 2 ⎞ ⎛1 ⎜ c) ⎜ − 2 3 2 ⎟⎟ −3 # ⎜ ⎟ ⎝ 0 a +1 −a −1 # b + a ⎠

−1 2 + a # b ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ d) ⎜ 2 a − 4 −4 # 2⎟ ⎜a −2 0 12 # 1 ⎟⎠ ⎝

Ejercicio 21.- Resolver el sistema para todos los valores de b.

⎧ x1 + bx 2 ⎪ ⎨ x1 + bx 2 ⎪3x + 3bx 2 ⎩ 1

+

2x 3 − − 2x3 + 2x3 −

x4 2 x4

= b+2 = =

2 b

7

Ejercicio 22.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales (2,0,−1) es la única

⎧2 x1 − ax2 ⎪ solución del sistema ⎨ x1 + x2 ⎪ 2x2 ⎩

+ 2 x3 = 2 − bx3 = 3 − 3x3 = 3

Ejercicio 23.- Hallar todos los valores de k para los cuales

M = {λ(1,1,0,0)+(2,0,−1,0) ,λ ∈ R} es el conjunto de soluciones del sistema

x2 ⎧x1 − ⎪ 2 (k − 1)x 2 ⎨ ⎪ ⎩

+

=

2 x3 (k + 1)x3

+ +

0 2

2x 4 = −k + 1 4x4 = − k − 1

Ejercicio 24.- Determinar, para todos los valores reales de a y b, si el sistema cuya matriz

1 ⎞ −1 # a ⎛1 ⎜ ampliada es ⎜ −a −1 2 + a # 2 − a ⎟⎟ es compatible determinado, compatible ⎜ −1 − a a b ⎟⎠ # ⎝ indeterminado o incompatible.

Ejercicio 25.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales el sistema cuya matriz

a −1 # 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ampliada es ⎜ −a −1 1 # −1⎟ tiene como conjunto solución una recta. ⎜ −1 − a a # b ⎟ ⎝ ⎠

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Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2

EJERCICIOS SURTIDOS

1. Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + A + I = 0.

Demostrar que A−1 = −I – A. 2. Determinar a, b∈ R para que (1,− 1, 2,− 1) sea solución del sistema cuya matriz

⎛ 1 ⎜ aumentada es ⎜ − 2b ⎜ a ⎝

−2 −2 −4

1

a

0 −b

2 5

2⎞ ⎟ 2⎟ . 4⎟⎠

# # #

Para los valores hallados resolver el sistema.

⎧2ax1 ⎪ − ⎪ x 3. Se considera el sistema ⎨ 1 ⎪ x1 ⎪⎩ bx1

− +

x2 ax2 cx2

− − 2ax 2

− 3cx 3 + 2 bx3 ax3 +

− 3x 4 + cx4 + bx4

−

− 5x4

3cx3

= =

2 1

= 0 = −7

Hallar los valores de a, b, c ∈ R para los cuales X = (2,− 1,− 1, 2) es solución del sistema. 4. Encontrar una matriz X que satisfaga la ecuación

⎛ 0 1 − 1⎞ ⎛ − 2 − 1 0⎞ ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎛ 2 − 1 6⎞ ⎜ ⎟ X⎜ ⎟ − ⎜ 1 1 −2 ⎟ = X ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎠ ⎜ 0 3 −2 ⎟ ⎝ ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 5. Se sabe que −1 y ⎜ 1 ⎟ son soluciones del sistema Ax = b . Hallar alguna solución de ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ax = b que también sea solución de 2 x 1 − 2x 2 + x 3 = 9 .

9

6. Hallar todos los valores de k ∈ R para los cuales el conjunto de soluciones del sistema

z = 1 ⎧ x + 2 ky + ⎪ k ⎨kx + 2y + kz = ⎪ 2y + kz = k − 2 ⎩

es una recta contenida en el plano ฀ x−4 y +2z = 4 .

⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7. Se sabe que −1 es solución de 3Ax = 1 y que −2 es solución de 2 Ax = ⎜ 1 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ Encontrar cuatro soluciones distintas del sistema Ax = ⎜⎜ 1 ⎟⎟. ⎜ −2⎟ ⎝ ⎠

8. Hallar todos los valores de a ∈ R tales que {(2,0,−3)} es el conjunto de soluciones del

⎧ x1 + x2 ⎪ sistema ⎨ 3 x1 + ax2 ⎪− x + x2 ⎩ 1

−

x3

+ +

x3 ax3

=

5 = 3 = a2

⎛ 2 3 −6 ⎞ ⎜ 6 ⎟⎟ , B ∈ R3× 3 una matriz inversible y C ∈ R 3× 3 tales que BC=A. 9. Sean A = ⎜ 2 2 ⎜1 1 3⎟ ⎝ ⎠ Hallar las soluciones del sistema B2 Cx = 2Bx

( x ∈ R3 ) .

10. Hallar todos los valores de a, b∈ R para los cuales el sistema

⎧ x1 ⎪ S : ⎨ 2x1 ⎪ x ⎩ 1

+ 3 x2 + 2x2 − x2

+ ax3 − ax3 + 2x3

−

x4 x4

+ + 2x 4

= b = 1 = b

es compatible indeterminado.

Resolver el sistema para alguno de los valores hallados.

10

Álgebra 27 - CBC UBA - Práctica 2 ⎛ 0 0 3⎞ ⎛4 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 11. Sean A = 1 0 k y B = ⎜ 0 3 0⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 0 0⎟ ⎜0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hallar todos los valores de k ∈ R para los cuales el sistema A x = 2x − Bx tiene infinitas soluciones. Resolver el sistema para alguno de los valores de k hallados. 12. Se sabe que (1,2,0) y (3,0,−1) son soluciones de un sistema no homogéneo S. Hallar una

⎧ x1 + ⎪ solución de S que sea también solución del sistema ⎨ 2x1 + ⎪ 4x + ⎩ 1

x2 x2 + 3x 2 +

= x3 = x3 =

3 2 8

13. Sean en R4 los sistemas

⎧ x1 ⎪ S1 ⎨ − x1 ⎪−3x ⎩ 1

+ x2 + 2 x2 + 3x2

− 3 x4 − x3 − 2 x3

+ 3x4

= −1 = 2 = 5

⎧x + 2x 2 y S2 ⎨ 1 + ⎩x1

ax3

= 4 = b

Hallar todos los valores de a, b ∈ R para los cuales S1 y S2 tienen infinitas soluciones comunes. Para los valores hallados encontrar todas las soluciones comunes.

11...