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ejercicios resueltos de la practica 3 de algebra 2, autovalores y autovectores...

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Problemas resueltos Introducción El siguiente cuadernillo contiene la resolución de algunos problemas de la guía. La coyuntura actual que nos impide tener las habituales clases presenciales, nos desafía a encontrar maneras de contribuir al acompañamiento virtual que estamos realizando. Este trabajo forma parte de ese esfuerzo. Antes de empezar, nos gustaría mencionar tres aspectos relacionados con el uso del material: Todo problema de matemática admite más de una resolución. Es decir, la resolución que proponemos para cada problema no es la única que existe y, por lo tanto, no es la mejor ni la correcta. Sugerimos que la lectura de dichas resoluciones se realice después de haber batallado con el problema y no, como a veces resulta tentador, antes de encararlo o ante la mínima dificultad. Si el problema es bueno, no encontraremos rápido una resolución; todo lo contrario, nos llevará tiempo (y a veces, sangre, sudor y lágrimas). Pero ese tiempo de batalla creemos que es enriquecedor, es un tiempo en donde se producen aprendizajes. En algunos casos, además de la resolución, dejaremos planteadas algunas preguntas que se desprenden del problema. Lo hacemos con el objetivo que puedan seguir pensando sobre el problema. Muchas veces al intentar resolver un problema, nos encontramos con nuevas preguntas. Y eso, desde el punto de vista matemático, es muy saludable. Con el objetivo de que se entiendan la resolución del problema y los temas de la materia en general , muchas veces escribimos mucho más de lo que hace falta para resolver el problema. Cuando comparen con lo que hicieron, por favor tengan eso en cuenta.

Álgebra II - Ingeniería en Sonido

Problemas resueltos de la Práctica 3 

1 2 a

  1. (Corresponde al ejercicio 13) Sea A =  2 1 b  2 2 c



  . 

a) Calculá los valores de a, b, c ∈ R para que λ = 1 sea autovalor de A con el (1, 1, 1) como autovector asociado. b) Para los valores de a, b, c hallados en el item anterior calculá los autovectores y autovalores de A. Resolución: a) Para que 1 sea autovalor con (1, 1, 1) como autovector asociado se tiene que cumplir que:



1 2 a

  2 1 b  2 2 c

.

 

1





1



           .  1  = 1.  1       1 1

Haciendo el producto llegamos a las siguientes ecuaciones:    3+a =1   3+b=1     4+c =1

Despejando obtenemos los siguientes valores para a, b y c: a = −2. b = −2. c = −3. Preguntas ¿Podríamos haber planteado en este caso el polinomio característico para hallar los valores de a, b y c? ¿Convenía?

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



1 2 −2     b) Reemplazando por los valores obtenidos llegamos a que A =  2 1 −2  . Calcu  2 2 −3 lemos su polinomio característico:    1−λ 2 −2   χA (λ) = |A − λI| =  2 1−λ −2    2 2 −3 − λ

        

Desarrollamos el determinante usando el método de Laplace, utilizamos la primera fila: (1 − λ).[(1 − λ)(−3 − λ) + 4] − 2.[2(−3 − λ) + 4] − 2[4 − 2(1 − λ)] = (1 − λ)(1 + λ2 + 2λ) − 2(−2 − 2λ) − 2(2 + 2λ) = (1 − λ)(1 + λ2 + 2λ) = (1 − λ)(λ + 1)2 Con lo cual tenemos dos raíces: 1 es una raíz simple, es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico es 1. −1 es una raíz doble, es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico es 2.

Por el item anterior ya sabemos que (1, 1, 1) es un autovector asociado al autovalor λ = 1. Vamos a suponer entonces que E1 = gen{(1, 1, 1)} Preguntas ¿Podemos suponer eso? ¿Podría E1 tener dimensión mayor que 1? ¿Por qué?

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Calculemos ahora, el autoespacio asociado a λ = −1. Para eso, tenemos que reemplazar λ por −1 en la matriz A − λI y resolver el sistema lineal homogéneo asociado. Es decir:



2 2 −2

   2 2 −2  2 2 −2

 

x



      .  y  =    z



0



     0   0

Las tres ecuaciones son múltiplos y es por eso que podemos elegir descartar dos de ellas. Nos quedamos con la primera: 2x + 2y − 2z = 0, entonces z = x + y .

Por lo tanto, los vectores de E−1 son de la forma (x, y, x + y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1). En definitiva E−1 = gen{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Preguntas ¿Es B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una base de R3 ? ¿Hace falta hacer alguna cuenta para comprobarlo? ¿Es A una matriz diagonalizable?

2. (corresponde al ejercicio 18) Sea f una T.L definida por f (x, y, z) = (x, 3x+3y−4z, −2x+ y − 2z). Encontrá los valores de λ ∈ R que cumplan que: a) f (0, 1, 1) = λ(0, 1, 1). b) f (−2, 17, 7) = λ(−2, 17, 7). c) f (0, 4, 1) = λ(0, 4, 1). ¿Alcanza con la información obtenida para decir que la transformación lineal dada es diagonalizable? Resolución:

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En este caso tenemos, al menos, dos formas de encarar este ejercicio. La primera sería ir directamente a calcular el polinomio característico de f y ver si alguno de esos vectores que nos dan resulta autovector. En ese caso, los que resulten autovectores tendrán su autovalor correpondiente, y de esa manera, podremos dar los valores de λ que nos piden. La segunda sería usar directamente la fórmula de f y la definicion de autovector, es decir, que v ∈ R3 es autovector de f si f (v) = λv con λ ∈ R. Vamos a utilizar la segunda, porque sospechamos que nos va a ahorrar algunas cuentas, pero puden plantearlo de cualquiera de las dos.

a) Buscamos λ ∈ R tal que f (0, 1, 1) = λ(0, 1, 1). Reemplazando en la fórmula de f sabemos que f (0, 1, 1) = (0, −1, −1) = −1(0, 1, 1). Con lo cual el único valor de λ buscado es λ = −1. Preguntas ¿Es obvio que es el único valor de λ posible? ¿Por qué?

b) Buscamos λ ∈ R tal que f (−2, 17, 7) = λ(−2, 17, 7). Reemplazando en la fórmula de f sabemos que f (−2, 17, 7) = (−2, 17, 7) = 1(−2, 17, 7). Con lo cual el único valor de λ buscado es λ = 1. c) Buscamos λ ∈ R tal que f (0, 4, 1) = λ(0, 4, 1). Reemplazando en la fórmula de f sabemos que f (0, 4, 1) = (0, 8, 2) = 2(0, 4, 1). Con lo cual el único valor de λ buscado es λ = 2.

Con respecto a la pregunta final, para que una transformación lineal sea diagonalizable alcanza con encontrar una base de autovectores del dominio (en este caso R3 ). Con las cuentas que hicimos sabemos que (0, 1, 1) es autovector de autovalor λ = −1, (−2, 17, 7) es autovector de autovalor λ = 1 y (0, 4, 1) es autovector de autovalor λ = 1.

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Preguntas ¿Podemos afirmar sin hacer ninguna cuenta que B = {(0, 1, 1), (−2, 17, 7), (0, 4, 1)} es base de R3 ?

Bueno, en este caso, para no hacer ninguna cuenta tendríamos que apelar a un resultado teórico que a esta altura de la práctica todavía no trabajamos. Es por eso que vamos a hacer la cuenta para demostrar que los tres vectores son linealmente independientes, y por lo tanto, una base de R3 . Ponemos entonces los tres vectores en una matriz y calculamos el determinante de la matriz que nos queda:    0 −2 0    1 17 4    1 7 1

      = −2(1 − 4) = 6 6= 0   

Para hacer el determinante usamos el método de Laplace, desarrollando por la primera fila. Como el determinante dio distinto de cero, podemos concluir que los vectores columnas son linealmente independientes. Con lo cual, B es una base de R3 y f es diagonalizable. Vamos con alguna preguntas para cerrar: Preguntas ¿Qué fue lo que nos permitió, en este caso, no hacer tantas cuentas para llegar a la base de autovectores de R3 ? ¿Podríamos usar el método que usamos en este ejercicio si sólo tuviesemos la fórmula de la transformación lineal?

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