286991489 Paso 2 Procesamiento Digital de Senales PDF

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ejercicios resueltos fisica...

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INTRODUCCION

Procesamiento de Señales posee una larga y rica historia, se entronca con un inmenso conjunto de disciplinas entre las que se encuentran las telecomunicaciones, el control, la medicina, la exploración del espacio, por nombrar solo unas pocas. Cuando se refiere al procesado digital de señales, se refiere a la representación mediante secuencias de números de precisión finita y el procesado se realiza utilizando un computador digital.

El

Procesamiento de señales trata de la representación, transformación y manipulación de señales y de la importancia que contienen. En el presente trabajo colaborativo se pretende resumir las experiencias en el estudio de la unidad 2 del presente curso. Es por eso que con el desarrollo de cada punto se consigue sintetizar lo aprendido en esta unidad y así identificar conceptos y características de los filtros digitales.

También se trabaja en la etapa practica con la resolución de ejercicios con la herramienta Matlab, para profundizar y afianzar conocimientos, por medio de análisis de diseño y métodos para el desarrollo de ejercicios.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES TEORICAS 1.

Realice un cuadro comparativo entre los filtros de Respuesta Finita al Impulso (FIR) y los filtros de Respuesta Infinita al Impulso (IIR) teniendo en cuenta la ecuación en diferencias, las ventajas y desventajas y las estructuras de implementación. CARACTERÍSTICA

VENTAJAS

Filtros (FIR) Implementados de forma

Filtros (IIR) Requieren menores coeficientes

no

para hacer operaciones similares

recursiva

son

inherentemente estables.

de filtrado

Son ideales para filtros que

Se ejecutan más rápido y no

tienen muy poca o ninguna

requieren de memoria extra

distorsión de fase.

Un filtro analógico convencional

Tienen los polos en el

puede convertirse en un filtro

origen lo cual los hace

digital IIR

estables.

Son ideales para filtros con cortes

Tienen respuesta en fase

muy

lineal.

transmisión

Son de fácil diseño e

ideales.

implementación

parámetros,

abruptos

(bandas

ancha)

estos

Involucran

de son

menos

Involucran menos memoria Involucran menor

complejidad

computacional. Requieren

DESVENTAJAS

de

mayor

La

estabilidad

siempre

debe

complejidad computacional

comprobarse, ya que son sistemas

Un

realimentados.

filtro

analógico

convencional NO puede

La respuesta de fase es no lineal

convertirse en un filtro

Son más difíciles de diseñar e

digital IIR

implementar

Requieren

de

mayores

parámetros Requieren memoria

de

mayor

ESTRUCTURA DE IMPLEMENTACIÓN

La salida depende no solo

La salida solo depende de la

en la corriente y valores de

corriente y de los valores de

entrada pasados sino que

entrada pasados

también en los valores de

Se usan donde NO se desea

salida pasados.

desfase lineal con la frecuencia

Se usan donde se desea desfase

lineal

con

la

frecuencia

MÉTODO TÍPICO PARA LE DISEÑO DE FILTROS

COMPARACIÓN FUNCIÓN DE SISTEMA

COMPARACIÓN MEMORIA

COMPARACIÓN MÓDULO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA COMPARACIÓN FASE DE LA RESPUESTA EN

Ubicación directa de polos

Muestreo en frecuencia

y ceros

Óptimos

Óptimos.

Ventanas

Invariación al impulso

Bandas de transición suaves

Transformada bilineal Son del tipo sólo ceros, ya

Pueden tener sus polos y sus ceros

que todos los polos se

en cualquier punto finito del plano

encuentran en el origen,

z

(salvo

si

se

emplean

diseños de muestreo en frecuencia) Necesitan mucha memoria

Necesitan menos registros de

para almacenar la muestra

almacenamiento,

actual y las anteriores de la

número de coeficientes es menor

señal de entrada, así como

que el equivalente

los coeficientes del filtro Algunas características de

Los filtros paso-todo sólo se

amplitud,

pueden realizar con IIR

como

la

ya

que

el

requerida en los sistemas diferenciadores se realiza mejor con un FIR Pueden conseguir

una

sólo se pueden aproximar a una

característica

fase

característica de fase Lineal con

de

exactamente lineal

gran aumento de la complejidad

FRECUENCIA ∞

n−1

y [n ]=∑ h [ k ] x [ n− k] ,

y [n ]=∑ h [ k ] x [ n− k ] ,

k=0

k=0

ECUACIÓN EN n−1

DIFERENCIA

M

∑ bk z−k

Hfir(Z)=∑ h [ k ] z , −k

Hiir(Z)= k=o N

k=0

ak z−k ∑ k=0

Son COMPARACIÓN

intrínsecamente

estables

simultáneamente) si todos sus polos están en el interior de la

ESTABILIDAD COMPARACIÓN DIFICULTAD EN EL DISEÑO COMPARACIÓN ESTRUCTURAS COMPARACIÓN SENSIBILIDAD A LAS INTERFERENCIAS

Suelen

ERROR DE CUANTIFICACIÓN

exigir

circunferencia unidad Se diseñan con fórmulas cerradas

aproximaciones iterativas

y transformaciones sencillas como

Admiten

la bilineal Sólo pueden

realizaciones

realizarse

con

recursivas y no recursivas Puede verse afectada por

estructuras recursivas La perturbación puede afectar a la

su

o

señal de salida indefinidamente

estado

inicial

cualquier interferencia Los

COMPARACIÓN

Sólo serán estables (y causales

efectos

la

pueden producirse oscilaciones

pueden

indeseadas en la salida a causa del

hacerse irrelevantes si se

desbordamiento o de los ciclos

utilizan

límite

cuantificación

de

longitudes

de

palabra a partir de 12 bits.

2. Realice un breve mapa conceptual donde analice las técnicas de diseño para filtros de Respuesta Infinita al Impulso (IIR): Invarianza al impulso y transformación Bilineal, teniendo en cuenta definición y ventajas y desventajas de uno respecto a otro.

3. Realice un breve mapa conceptual donde analice las técnicas de diseño para filtros de Respuesta Finita al Impulso (FIR): Método de ventanas, Rizado Constante óptimo y Muestreo en frecuencia, teniendo en cuenta definición y ventajas y desventajas de uno respecto a otro.

TECNICAS DE DISEÑO PARA FILTROS DE RESPUESTA FINITA AL IMPULSO (FIR)

Estos métodos se basan en la teoría de la aproximación, imponiendo restricciones en cuanto a la desviación de la respuesta en frecuencia del filtro respecto del filtro ideal

METODO DE VENTANAS: Se basa en truncar la respuesta impulsional infinita de un filtro ideal.

RIZADO CONSTANTE ÓPTIMO: Reparte el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia ideal y la real.

METODO DE FRECUENCIAS: Con este método obtenemos un filtro cuya respuesta en frecuencia pasa por los puntos fijados.

Ventajas:

Ventajas:

Ventajas:

*Presenta menor rizado en las bandas de paso y de rechazo.

*Permite un control total de las características del filtro en cuanto a frecuencias ganadas y longitud.

*Procedimientos rápidos para el cálculo de los coeficientes.

Desventajas: *Altera respuesta frecuencial del filtro obtenido respecto a las especificaciones. *Alargamiento del periodo de muestreo si los cálculos son extensos. *Sin control sobre los

parámetros.

Desventajas: *El rizado no se distribuye uniformemente en las bandas. *Escaso control sobre las frecuencias criticas del corte. *No existe forma fácil de optimizar el diseño de los filtros.

*Se controla perfectamente la anchura de la zona de transición, ya que es igual a 2π/N. Desventajas: *Tiene un pobre control de la frecuencia fuera de los puntos de muestreo.

4. Convierta el filtro con la siguiente función de transferencia T ( s )=

16 2 ( s+4 )

a su equivalente discreto usando el método de la Transformación Bilineal. El filtro discreto se va a utilizar con una frecuencia de muestreo de 5Hz.

Resolviendo directamente la transformada inversa es: T ( s )=

s=

16 16 = 2 2 (s +4 ) s +8 s +16

{

2 1−Z−1 . Ts 1+Z−1

}

Reemplazando H ( z )=

16

[ { }] [ { }] −1

2 1−Z . Ts 1+ Z−1

H ( z )=

2

+8

−1 2 1−Z +16 . −1 Ts 1+ Z

16 2

−1

−1 4 ( 1−Z ) 16 (1−Z ) +16 + −1 2 2 Ts ( 1+ Z −1 ) Ts (1+ Z )

Sacando común divisor en el denominador H ( z )=

16 −1 −1 −1 −1 4 (1−Z ) +16 (1−Z ) ( Ts(1+Z )) +16 (Ts2 ( 1+ Z ) ) 2

2

−1 2

Ts2( 1+Z ) Aplicando la ley de la oreja

−1 2

H ( z )=

16(Ts2 ( 1+ Z ) ) −1 2

−1

2

4 ( 1−Z ) +16(1−Z ) ( Ts(1+Z−1 )) +16(Ts ( 1+Z −1) ) 2

Dividiendo los coeficientes de toda la expresión entre 4 y reemplazando el valor de Ts= 1/5 4 (( 1 /5 )2 ( 1+ Z ) ) 2 2 ( 1−Z −1 ) + 4(1−Z −1 ) 1 (1+Z−1 ) +4((1/5 )2 ( 1+ Z−1 ) ) 5 −1 2

H ( z )=

(

)

−1 2

H ( z )=

4 (0.04 ( 1+ Z ) )

( 1−Z −1 )2 + 4 (1 −Z −1 ) ( 0.2 ( 1+ Z−1) ) + 4 (0.04 ( 1+ Z−1 )2)

Multiplicando los coeficientes por el valor de Ts 0.16 (1 + Z−1 )

2

H ( z )=

2

2

( 1−Z −1 ) +0.8 (1−Z−1) ( 1+Z −1) + 0.16 ( 1+ Z−1)

Desarrollando y destruyendo paréntesis H ( z )=

0.16 ( 1+2 Z−1+ Z−2) ( 1−2 Z−1 +Z −2 )+(0.8−0.8 Z −1 ) ( 1+ Z−1) +0.16 ( 1+2 Z−1+ Z−2 )

H ( z )=

0.16+0.32 Z−1 +0.16 Z−2 −1 −1 −2 −1 −2 1−2 Z +Z +0.8+ 0.8 Z −0.8 Z −0.8 Z +0.16+0.32 Z +0.16 Z −1

−2

Sumando términos semejantes H ( z )=

0.16+0.32 Z−1 +0.16 Z−2 1.96−1.68 Z−1 +0.36 Z−2

Multiplicamos toda la expresión por H ( z )=

( 0.16+0.32 Z −1 +0.16 Z−2)∗( Z 2 ) ( 1.96−1.68 Z −1 +0.36 Z−2 )∗ ( Z 2 )

H ( z )=

0.16 Z 2+ 0.32 Z +0.16 2 1.96 Z −1.68 Z +0.36

Z

2

Dividimos todos los coeficientes en la expresión entre el primer termino del denominador

( 0.16 Z 2+ 0.32 Z+ 0.16 ) H ( z )=

( 1.96 )

( 1.96 Z −1.68 Z+ 0.36) 2

( 1.96 ) 2

H ( z )=

0.081 Z + 0.163 Z+0.081 2 Z −0.857 Z +0.183

Rta: H ( z ) =

0.081 Z2 +0.163 Z+ 0.081 Z 2−0.857 Z +0.183

DESARROLLO DE ACTIVIDADES PRÁCTICAS

1. Convierta el filtro con la siguiente función de transferencia: T ( s )=

6(s+1) (s +2)( s+ 3 )

A su equivalente discreto usando el método del impulso invariante. La frecuencia de muestreo de 20Hz.

Solución mediante MATLAB: % Método del Impulso Invariante clear all clc Fs=20 num=[6 6]; den=[1 5 6]; sys=tf(num,den) [r,p,k]=residue(num,den)

[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs) impulse(sys) hold on impz(Fs*numd,dend,[],Fs)

2. Diseñar un filtro pasa alto, por medio del método de muestreo en frecuencia que cumpla con las siguientes características.

Frecuencia en la banda de rechazo – fsb = 1.5kHz; Frecuencia en la banda de paso - fbp = 1.6kHz; Rizado en la banda de paso – Rp = 1dB; Máxima atenuación en la banda de rechazo - As = 60dB; Frecuencia de muestreo = 8000Hz; Para el diseño del filtro solicitado trabajamos en la herramienta fdatool en Matlab.

A continuación se presenta la información del filtro actual y la grafica a respuesta de magnitud del filtro solicitado.

O también mediante srcipt en Matlab, a continuación código de programación para el diseño del filtro solicitado.

%Metodo de muestreo en frecuencia.

clear all clc fs=8000 fpb=1600 fsb=1500 rp=1 as=60 dp=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1) ds=10^(-as/20) F=[fsb,fpb] A=[0,1] DEV=[ds,dp] [N,Fo,Ao,W]=firpmord(F,A,DEV,fs) B=firpm(N,Fo,Ao,W) freqz(B,1,512,fs)

CONCLUSIONES

En la actualidad existen diversos paquetes para simular sistemas y es necesario saber utilizar los más usados. Con este trabajo llegamos a la conclusión que Matlab es una herramienta poderosa para ver el comportamiento del filtro, es más, diríamos que es muy fácil diseñar filtros con este programa.

Una de las ventajas de los filtros IIR es que al tener ceros y polos es necesario un menor número de coeficientes para realizar un determinado filtrado. Dentro de los inconvenientes encontramos que la presencia de polos puede producir inestabilidades, ellos no garantizan que la fase de su función de transferencia sea lineal y además, la implementación hardwares más compleja que en el caso de filtros FIR.

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