Fourier Senales Discretas PDF

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Transformada de Fourier en tiempo discreto...

Description

Análisis y caracterización de sistemas de discretos mediante la transformada de Fourier 1.

Introducción.

2.

Respuesta de sistemas discretos LTI a señales exponenciales complejas.

3.

Representación de señales periódicas: la serie discreta de Fourier.

4.

Transformada de Fourier para secuencias no periódicas.

5.

Transformada de Fourier para secuencias periódicas.

6.

Respuesta en frecuencia de sistemas discretos.

7.

Estudio de señales y sistemas discretos en el dominio transformado Z.

8.

La función de sistema de sistemas discretos

9.

Sistemas de tiempo discreto descritos por ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes.

10. Introducción al filtrado.

1. Introducción 





El análisis de Fourier es una de las herramientas más útiles en procesado de señal. Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia). Señales continuas (analógicas):  



Periódicas: No periódicas:

Series de Fourier (CTFS). Transformada de Fourier (CTFT).

Señales discretas (digitales):  

Periódicas: No periódicas:

Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

1. Introducción: autovalores y autofunciones 

Para un sistema LTI con respuesta al impulso h[n] la respuesta a una exp. compleja es otra exp. compleja: x[n ] = z 0 n ∞

y[ n] = h[ n]* x[ n] =

∞

∞

∑ h[ k] x[ n − k] = ∑ h[ k] z

n −k

0

k =−∞

k =−∞

= z0

n

∑ h[ k] z

0

k =−∞

n

y[ n] = z0 H ( z0 ) 

Siendo:    

z0n = |z0|n ejΩ n Ξ AUTOFUNCIÓN o

H(z0) Ξ AUTOVALOR ∈ ¢ Por ser z0n autofunción, también lo es ejΩn (zn con |z|=1) Por ser H(z0) autovalor, también lo es H(ejΩ n) o

y[n]=H(ejΩn)· ejΩn

x[n]= ejΩn

h[n]

−k

2. Respuesta de sistemas LTI a señales exponenciales complejas 

Supongamos que la entrada es una combinación lineal de exponenciales: N

x[n ] = ∑ ak e jΩ k n ⇒ k =1

N

y[ n] = h[ n] ∗ x[ n ] = ∑ ak h[n ] ∗ e jΩ k n k =1

N

(

y[ n ] = ∑ a k H e k =1



 

j Ωk

)

e

jΩk n

N

= ∑ bk e jΩk n k =1

H(ejΩk) Ξ H(Ωk) ∈ ¢ ak, bk ∈ ¢

La respuesta es otra combinación lineal de las mismas exponenciales. Esto es considerablemente más sencillo que realizar la convolución. Por ello vamos a estudiar qué tipo de señales se pueden representar mediante combinación lineal de exponenciales complejas.

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas 

De forma más gráfica, y aplicando la propiedad de linealidad…

a1 e jΩ1n + a2 e jΩ2n + a3 e jΩ 3n a1 e jΩ 1n

a2 e jΩ 2n

a3 e jΩ3n

h[n]

h[n]

h[n]

y[n]

h[n]

b1 e jΩ1n

b2 e jΩ2 n

b3 e jΩ3 n

y[n]

Propiedades de las exponenciales complejas discretas 

Recordemos que en tiempo discreto y, más concretamente, en las exponenciales del tipo: x[n]=ejΩon 

Si Ω0 crece, la frecuencia NO siempre aumenta



Si Ω0 decrece, la frecuencia NO siempre disminuye



S

π 

=

πn

=e

n

Omega0 se puede interpretar como un angulo...

⇔ Ω0=2mπ/N

 

e

ej(Ω0 +

:

Si es periódica (Ω0=2mπ/N) ⇒    

va a ser nuestro Pulsación fundamental 2πf0=2 π/N0 Esto Omega0 Sólo existen N0 armónicos diferentes

3. Representación de señales periódicas: la serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) 



De modo análogo al tiempo continuo, para cualquier señal periódica es de esperar que se pueda obtener un desarrollo como combinación lineal de funciones armónicas. Como el número de armónicos en tiempo discreto es finito y coincide con el periodo fundamental de la señal, si tenemos una señal periódica: , œ n y N entero positivo, se espera que se pueda expresar de la forma:

]=

∑

e

siendo

=< > 



Sustituyendo el valor de Ω0 se obtiene:

x[ n] =

∑ k =< N >

ak e

jk

2π n N

Ω 0 = 2π

a_k periodico de periodo N

DTFS: Cálculo de los coeficientes (I) 



Para comprobar que cualquier secuencia periódica tiene desarrollo en serie de Fourier es necesario obtener el valor de los coeficientes ak. En la ecuación de síntesis, multiplicamos ambos lados por e-j2kπ n/N y obtenemos:

x[ n]e

−j

2π mn N

∑

=

ak e

j

2π kn N

j

2π ( k −m ) n N

e

−j

2π mn N

⇒

k =< N >

x[ n]e

−j

2π mn N

∑

=

ak e

. Sumamos N valores:

k =< N > N −1

−j

∑ x[n ]e

2π mn N

=∑

n= 0 N −1

2π (k− m)n N

∑

j

2π ( k − m) n N

ak e

n= 0 k=< N > −j

∑ x[n ]e n= 0

j

N −1

2π mn N

=

N −1

∑

ak ∑ e

k =< N >

n= 0

⇒

DTFS: Cálculo de los coeficientes (II) 

El último sumatorio es una progresión geométrica de N términos: N −1 N −1 1 −α N n α = α n = N si α = 1 , si α ≠ 1 y 1− α n= 0 n =0

∑





∑

Observamos que  Si k−m≠rN  r entero, Ö e− j2 π(k−m)n/N ≠ 1  Si k−m=rN  r entero, Ö e− j2π(k−m)n/N = 1

N −1

∑e

2π (k − m ) n j N

n= 0

N −1

∑e

=

1− e

j

1− e j

2π ( k − m) n N

n= 0

2π ( k − m) N N j

2π (k −m ) N

=0

N −1

= ∑ e j 2 π rn = N n= 0

Como este resultado (0 ó N) hay que sumarlo sobre N índices: N −1

∑ x[n ]e n= 0

−j

2π mn N

= Nam ⇒

1 ak = N

N −1

∑ x[n ]e n =0

− jk

2π n N

Ecuación de análisis

Propiedades



ak +N = ak 

ak = a*− k 

NO HAY PROBLEMAS DE CONVERGENCIAS

SECUENCIA PERIODICA!!!!

DTFS de las funciones seno y coseno e j Ω0 n e − j Ω0 n 1 jm2Nπ n 1 − jm2Nπ n + = e + e x[n ] = cos ( Ω 0n ) = 2 2 2 2 … Es "como" un tren de deltas...mirad transparencias despues

1 am = , 2

a− m = π

1 a2 = , 2

1 2

| ak |

1 j, 2

mirar...

−5

Êak

1 , 2j

5

k

5

k

⇒ a−2 =

1 2

−5

a−m = −

1 j 2

⇒ a1 =

Por ahora … mejor no

e jΩ 0n e− jΩ 0 n 1 jm 2Nπ n 1 − jm 2Nπ n − = − x[ n] = sen ( Ω 0 n) = e e 2j 2j 2j 2j … am =

1/2

a −1 = −

| ak |

1/2 …

−5 π/2

1 2j

−5

5

k

5

k

Êak

−π/2

Ejemplo

Representación gráfica de la DTFS N=4

seria a_k multiplicado por el correspondient exponencial

4. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) para secuencias no periódicas Realizamos una extensión periódica x%[ n] de una secuencia de duración finita x[n ] x%[n ]

x[n]

N1

N2

n

N1

N2

N

Expresamos la señal x%[ n] mediante su DTFS:

x%[n ] =

∑

ak e

jk

2π n N

k =< N >

1 con ak = N

En el intervalo N1 ≤ n ≤ N2, se cumple

1 ak = N

N2

∑ x[ n]e n = N1

− jk

2π n N

∑

x%[n ]e

− jk

n=< N >

x% [n ] = x [n ]

1 = N

∞

∑ x[ n]e n =−∞

− jk

2π n N

2π n N

n

DTFT para secuencias no periódicas (I) Si definimos:

Definimos otra cosa aqui: Transformada de Fourier para una señal discreta (no periodica)

jΩ

X ( e ) ≡ X (Ω ) ≡

∞

∑ x[ n]e

− jΩ n

⇒

n =−∞



Los coeficientes ak son muestras equiespaciadas de la señal X(Ω)

ak =



1 X ( Ω) Ω = k Ω0 N

donde Ω 0 =

2π N

Podemos sintetizar la expansión periódica de la señal como:

x%[n ] =

∑ k =< N >

1 1 X (k Ω 0 )e jk Ω0 n = N 2π

∑ k =< N >

X (k Ω 0 )e jk Ω0 nΩ 0

DTFT para secuencias no periódicas (II) 

Siendo que las pulsaciones diferentes estan en un intervalo de 2ì

Si hacemos N → ∞ ⇒  Ω0 → dΩ,  kΩ0 → Ω, 

x%[n ] ⇒ x[n ]

x%[n ] = x[n ] =

x[ n] =

1 2π

∫ π X ( Ω) e

j Ωn

2

∞

X (Ω ) =

1 2π

∑ x[n ]e n=−∞

∫π 2

dΩ

X (Ω )e jkΩ 0 n d Ω

Ecuación de síntesis de la DTFT

− j Ωn

Ecuación de análisis de la DTFT

Ejemplo x [ n]

−N1

N1

n

N

X ( Ω) =

N1

∑

− jΩ n

x[ n]e

=

n =− N1

=

e

jΩ N1

−Ω ( N1 +1)

−e 1 − e− j Ω

N1

∑ 1e

− jΩ n

n =− N1

e

−j

Ω 2

−j

Ω 2

e 1 ⎞ ⎛ sen ⎜ Ω( N1 + ) ⎟ 2 ⎠ ⎝ = Ω sen 2

=

Función sinc{·} discreta

periodica de periodo 2pi

DTFT de la función seno PERO AQUI YA ESTAMOS CONSIDERANDO

e jΩ0n e− j Ω0n UNA SEÑAL PERIODICA!!! AUN NO HEMOS x[n ] = sen (Ω0 n ) = − HABLADO de una TF de una señal periodica 2j 2j (en discreto)... ∞ Transformada π X (Ω) = ∑ [ δ (Ω − Ωo − 2kπ ) − δ (Ω + Ωo − 2kπ )] de Fourier j k =−∞ Generalizada |X(Ω)|

|X(Ω)|

π

π …

−2π

−Ω0

Ω0

ÊX(Ω) π/2

…

- 2π

2π Si 0 N1 senWn W ⎛ Wn ⎞ = sinc⎜ ⎟ πn π ⎝π ⎠ 0 

Aplicando la propiedad de linealidad de la DTFS se tiene: ∞ k 2πk ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X (Ω ) = ak 2π 2πak δ ⎜ Ω − 2π ⎛⎜ + l ⎟⎞ ⎟ ⇒ − 2πl ⎟ = δ ⎜Ω − N ⎠ l = −∞ k = ⎝N ⎠⎠ ⎝ k =< N > l =−∞ ⎝

∑

transformada Generalizada de Fourier

∞

∑

∑∑

2π l ⎞ ⎛ π δ Ω − a 2 ∑ l ⎜ N ⎟⎠ ⎝ l = −∞ ∞

X (Ω ) =

Pares transformados (señales periódicas) Secuencia

∑

ak e

Transformada ∞ 2πk ⎞ 2π ak δ ⎛⎜ Ω − ⎟ N ⎠ ⎝ k = −∞

2π jk n N

∑

k =< N >

∞

e

2π

jΩ 0 n

∑δ (Ω − Ω

0

− 2πl )

l = −∞

∞

π ∑ {δ (Ω − Ω 0 − 2πl ) + δ (Ω + Ω 0 − 2πl )}

cosΩ 0n

π

senΩ 0n

l= −∞ ∞

∑ {δ (Ω − Ω

j l = −∞

2π

x[ n] = 1

0

− 2πl ) − δ (Ω + Ω 0 − 2πl )} ∞

∑ δ (Ω − 2πl ) l = −∞

∞

2π N

∑δ [n − kN ]

k = −∞

⎧1, n ≤ N1 x[ n] = ⎨ ⎩ 0, resto x[ n + N ] = x[ n]

∞

∑δ ⎛⎜⎝ Ω −

k=− ∞

2πk ⎞ ⎟ N ⎠

⎧ak = ( 2 N1 + 1) N , si k = 0 ± lN ⎪ 2π k ⎞ ⎪ ⎡ 2π ⎛ 1⎞ ⎤ ⎛ 2π ∑ ak δ ⎜ Ω − sen ⎢ ⎜ N1 + ⎟ ⎥ ⎟ ⎨ N ⎠ ⎪ 2⎠ ⎦ ⎝ k =−∞ ⎣N ⎝ a = , resto ⎪⎩ k N sen [ 2π / N] ∞

6. Respuesta en frecuencia de sistemas discretos (I) 

Dado un sistema LTI con respuesta al impulso h[n], se define la respuesta en frecuencia del sistema H(Ω) como: ∞

H (Ω ) =

∑ h[ n]e

− jΩ n

n=−∞

x[n] X(Ω) 

h[n] H(Ω)

y[n]=x[n] ∗h[n] Y(Ω)=X(Ω)·H(Ω)

H (Ω ) =

Y (Ω ) X (Ω )

La respuesta en frecuencia representa el conjunto de autovalores del − jΩ n sistema para las autofunciones del tipo: x[n ] = e 0

x[n ] = e− j Ω0 n ⇒ y[n ] = H (Ω 0 ) e − j Ω0 n

Respuesta en frecuencia de sistemas discretos (II)



Dado que H(Ω) es una función compleja de variable real, es necesario conocer su módulo y su fase.

H ( Ω) = 





Y (Ω ) X ( Ω)

y

∠H (Ω) = ∠Y (Ω) − ∠X (Ω)

El módulo o amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud) representa la ganancia del sistema a cada pulsación Ω o componente espectral La fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase) representa el desfase introducido por el sistema a cada pulsación Ω o componente espectral La respuesta en frecuencia de un sistema LTI existirá si y solo si el sistema es estable....