Tarea 2, matematicas discretas PDF

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Desarrolle los cinco ejercicios de teoría de conteo dados a continuación. Cada ejercicio debe mostrar el paso a paso de manera lógica, se debe resolver gráfica y/o analíticamente cuando sea posible.1. En un establecimiento educativo, 30 estudiantes toman clases de física, 20 estudiantes toman clases...

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Desarrolle los cinco ejercicios de teoría de conteo dados a continuación. Cada ejercicio debe mostrar el paso a paso de manera lógica, se debe resolver gráfica y/o analíticamente cuando sea posible.

1. En un establecimiento educativo, 30 estudiantes toman clases de física, 20 estudiantes toman clases de química y 10 estudiantes toman ambas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes hay en total? Solución Sea F= física, Q= química F=30 estudiantes Q= 20 estudiantes F n Q=10 N= ¿

Q

F

20

Total de estudiantes= 20 + 10 + 10= 40 estudiantes

10

2. Se van a producir placas para automóvil con las siguientes condiciones: cada placa empieza con dos letras tomadas del siguiente conjunto {A, B, C, D, E, F, G, H} y debe terminar con tres dígitos. Si ninguna letra o dígito puede repetirse. ¿Cuántas placas diferentes son posibles con las anteriores condiciones? Solución: Opciones de letras: 8 Opciones de dígitos: 10 Condición: no se pueden repetir Ejemplo de placa: LETRA

LETRA

DIGITO

DIGITO

DIGITO

Por ejemplo la siguiente placa cumple con la condición: A M 1 0 8 En la primera casilla: 8 opciones de letras En la segunda: 7 opciones de letras En la tercera: 10 opciones de dígitos En la cuarta: 9 opciones de dígitos En la quinta: 8 opciones de dígitos Como no se pueden repetir elementos, corresponde a una PERMUTACION, ya que el orden SI importa. n=8∗7∗10∗9∗8=40320 placas

Rta/ se pueden formar 40320 placas con las condiciones dadas.

3. El menú de una cafetería consta de dos entradas, cuatro platos principales y tres bebidas de acuerdo con la siguiente tabla: ENTRADA Nachos N Ensalada E

PLATO PRINCIPAL Perro caliente P Hamburguesa H Arepa con queso A Tamal T

BEDIDA Gaseoso G Limonada L Cerveza C

Muestre gráfica y analíticamente cuantas posibles combinaciones diferentes de este menú existen que consten de una entrada, un plato principal y una bebida. Solución: Diagrama de árbol para las opciones de la primera entrada Nachos:

G L

P

C G L H C

N G L A C

G

T

L

C Para nachos N, existen 12 opciones diferentes. De igual forma para la opción de entrada ensalada E, existen también 12 opciones. Total de platos diferentes:

2 entradas x 4 platos principales x 3 bebidas Total= 2 x 4 x 3= 24 platos diferentes

4. a) De un grupo de 12 personas se deberá escoger un grupo conformado por un presidente, un secretario y un vocal. ¿De cuantas maneras se puede formar dicho comité? b) Determinar de cuántas maneras pueden formarse cuatro comités distintos de un grupo de 30 personas, si los comités deben tener 4, 5,8 y 6 personas, respectivamente.

Solución: a. n= 12 personas r= 3 personas (presidente, secretario, vocal) Como SI importa el orden, entonces es una permutación. nPr=

n! (n−r )!

Reemplazo valores: 12! 12 P 3= =1320 formas (12−3 )!

b. n= 30 personas r= 4, 5, 8 y 6 personas Como NO importa el orden es una combinación: n! nCr= (n−r)! r !

Reemplazo valores para n=30 y r=4

30 ! 30 C 4= =27405 formas (30−4 )! 4 !

Para n=30 y r=5

30 C 5=

30! =142506 formas (30−5)! 5 !

Para n=30 y r=8

30 ! 30 C 8= =5852925 formas (30−8)! 8 !

5. a) ¿De cuantas maneras distintas puede escogerse un comité de dos mujeres y cuatro hombres de un grupo de cinco mujeres y seis hombres? b) Determinar de cuantas maneras es posible seleccionar 15 canicas azules en cinco bolsas. Solución: a. mujeres= 5 y se escogen 2 Hombres= 6 y se escogen 4 Como no importa el orden es una combinación para hombres y mujeres: Mujeres:

n! (n−r )! r ! 5! 5 C 2= =10 formas (5−2 )! 2 ! nCr=

Hombres:

6! =15 formas 6 C 4= (6−4)! 4 ! Total de formas distintas= 10 x 15 = 150 formas de escoger el comité. b. Aplicamos el siguiente teorema: “Si X es un conjunto que contiene n elementos, entonces el número de selecciones de r elementos, no ordenadas, con repeticiones permitidas y tomando del conjunto X es:”

Para este caso n=15, r=5

1 = 15 +5−1 = 19 (15+5− ) ( 15−1 ) ( 14 ) 5

Es decir una combinación 19C14

19 C 14=

19 ! =11628 maneras posibles de seleccion (19−14)! 14 !...