Procesamiento Digital de Senales PDF

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Tecnológico de Costa Rica Escuela de Ingenierı́a Electrónica Notas de Clase Procesamiento Digital de Señales EL-5805 Dr. José Pablo Alvarado Moya Versión de 28 de julio de 2011 Prefacio Estas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una guı́a para el curso “EL-5805 Pro- cesamiento Digital...

Description

Tecnol´ogico de Costa Rica Escuela de Ingenier´ıa Electr´onica

Notas de Clase

Procesamiento Digital de Se˜ nales EL-5805

Dr. Jos´e Pablo Alvarado Moya

Versi´on de 28 de julio de 2011

Prefacio Estas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ıa para el curso “EL-5805 Procesamiento Digital de Se˜ nales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como fuente de informaci´on u ´nica. En cada cap´ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´aficas adicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayor detalle en su presentaci´on. El concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunas adiciones y principalmente res´ umenes de la materia considerados necesarios. M´as detalles de los temas tratados aqu´ı se podr´an entonces encontrar del cap´ıtulo 1 al cap´ıtulo 8 del mencionado libro de texto. Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ıficamente al curso “Procesamiento Digital de Se˜ nales” de la Escuela de Ingenier´ıa Electr´onica del Tecnol´ogico de Costa Rica, pero se ponen a disposici´on libre para que sean de provecho a quien las necesite.

Dr. Jos´e Pablo Alvarado Moya Cartago, 28 de julio de 2011

Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´onNoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ıe una carta a Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. c 2005-2011

Pablo Alvarado

Escuela de Electr´onica

Tecnol´ogico de Costa Rica

´Indice general ´Indice de tablas

v

´Indice de ejemplos

vii

Lista de s´ımbolos y abreviaciones

ix

1 Introducci´ on 1.1 Se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elementos de un sistema PDS . . 1.4 Ventajas del procesamiento digital 1.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . ´ 1.5.1 Areas de aplicaci´on . . . . 1.5.2 Algoritmos . . . . . . . . . 1.5.3 Implementaci´on . . . . . . 1.5.4 Casos . . . . . . . . . . . 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 4 5 7 7 8 9 10 12

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13 13 14 16 21 22 22 26 27 27 29 31 35 35 35 36

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2 Se˜ nales y Sistemas de Variable Discreta 2.1 Se˜ nales de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ nales de variable discreta 2.1.2 Clasificaci´on de se˜ nales de variable discreta . . . . . . . . . 2.2 Se˜ nales sinusoidales y el concepto de frecuencia . . . . . . . . . . 2.2.1 Se˜ nal sinusoidal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Se˜ nal sinusoidal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´onicamente . . . 2.3 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Descripci´on entrada-salida de sistemas . . . . . . . . . . . 2.3.2 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Clasificaci´on de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Interconexi´on de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . 2.4 An´alisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo . 2.4.1 T´ecnicas de an´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Descomposici´on de una se˜ nal en impulsos . . . . . . . . . . i

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´Indice general

ii

2.5

2.6

2.7

2.4.3 Convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Propiedades de la convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Sistemas LTI causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . 2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias . . . . . . 2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Soluci´on de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes . 2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . Correlaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Autocorrelaci´on y correlaci´on cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Propiedades de la correlaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Correlaci´on de secuencias peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Secuencias de correlaci´on de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 An´ alisis de sistemas LTI discretos con la transformada z 3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Localizaci´on de los polos y el comportamiento en el dominio para se˜ nales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 La funci´on de transferencia de un sistema LTI . . . . . . . . 3.3 An´alisis de sistemas LTI en el dominio z . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´on de transferencia racional . 3.3.2 Condiciones iniciales no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Respuesta transitoria y en r´egimen permanente . . . . . . . 3.3.4 Causalidad y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Cancelaci´on polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Polos de orden m´ ultiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 An´ alisis frecuencial 4.1 Espectro de se˜ nales continuas . . . . . . . . . . 4.1.1 Espectro de se˜ nales continuas peri´odicas 4.1.2 Espectro de se˜ nales continuas aperi´odicas 4.2 Espectro de se˜ nales en tiempo discreto . . . . . 4.2.1 Espectro de se˜ nales discretas peri´odicas . 4.2.2 Espectro de se˜ nales discretas aperi´odicas c

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37 42 43 43 45 46 46

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47 51 56 58 58 59 60 61 64

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67 67 67 70 70

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75 77 79 79 80 82 83 83 83 84 87

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91 91 91 93 96 97 99

´Indice general

4.3 4.4

4.5

4.6

4.7

iii

4.2.3 Relaci´on entre las transformadas de Fourier y z . . . . . . . . . . . 100 4.2.4 El teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ nales discretas . . . . . . . 109 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1 La funci´on de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.2 Respuesta transitoria y en r´egimen permanente a entradas sinusoidales113 4.4.3 Respuesta en r´egimen permanente a se˜ nales de entrada peri´odicas . 114 4.4.4 Respuesta a se˜ nales de entrada aperi´odicas . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4.5 Relaciones entre la funci´on de transferencia y la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.6 C´alculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.1 Filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.4 Filtros ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.7 Osciladores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.6.2 Sistemas de fase m´ınima, fase m´axima y fase mixta . . . . . . . . . 132 4.6.3 Identificaci´on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.2 La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Relaci´on de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . 141 4.7.4 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´on . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.7.7 An´alisis espectral de se˜ nales usando la DFT . . . . . . . . . . . . . 150

5 Conversi´ on anal´ ogica/digital y digital/anal´ ogica 5.1 Muestreo de se˜ nales anal´ogicas . . . . . . . . . . . 5.1.1 Muestreo de se˜ nales pasa-bajos . . . . . . 5.1.2 Muestreo de se˜ nales pasa-banda . . . . . . 5.2 Cuantificaci´on de se˜ nales de amplitud continua . . 5.3 Codificaci´on de los valores cuantificados . . . . . 5.3.1 N´ umeros codificados con coma fija . . . . 5.3.2 N´ umeros codificados con coma flotante . . 5.4 Circuitos de conversi´on anal´ogica digital . . . . . 5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´on . . . . . 5.4.2 Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . c

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153 . 154 . 156 . 156 . 160 . 162 . 162 . 164 . 167 . 167 . 168

´Indice general

iv

5.5

5.6

5.4.3 Aproximaciones sucesivas . . . . 5.4.4 Convertidor paralelo . . . . . . 5.4.5 Convertidor en subrangos . . . 5.4.6 Convertidor delta-sigma . . . . Conversi´on Digital/Anal´ogica . . . . . 5.5.1 Fuentes de tensi´on conmutadas 5.5.2 Resistencias conmutadas . . . . 5.5.3 Condensadores conmutados . . 5.5.4 Redes resistivas R − 2R . . . . 5.5.5 Conversi´on DAC delta-sigma . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Implementaci´ on de sistemas discretos 6.1 N´ umero de Condici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Estructuras directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´etricos 6.3 Grafos de flujo de se˜ nal y estructuras transpuestas . . . 6.4 Muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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169 170 171 171 178 178 178 179 180 181 182

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183 . 183 . 184 . 188 . 188 . 190 . 192 . 194

7 Introducci´ on al dise˜ no de filtros digitales 197 7.1 Causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.2.1 Dise˜ no de filtros FIR por el m´etodo de ventanas . . . . . . . . . . . 203 7.2.2 Dise˜ no de filtros o´ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.3 Dise˜ no de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´ogicos211 7.3.1 Dise˜ no por aproximaci´on de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.3.2 Dise˜ no por invarianza impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.3.3 La transformada z adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3.4 Dise˜ no por transformaci´on bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3.5 Filtros Anal´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.4 Transformaci´on de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Bibliograf´ıa

219

A Octave y Matlab

221

B Respuestas a Problemas

225

´Indice alfab´ etico

231

c

2005-2011 — P. Alvarado

´Indice de tablas 1.1

Caracter´ısticas de las se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4

Propiedades de se˜ nales de variable discreta. . . . . . . . Propiedades de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . Ejemplo de convoluci´on de dos secuencias finitas. . . . Forma general de la soluci´on particular para diversos entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . tipos . . .

. . . . . . de . .

. . . . . . . . . . . . . . . se˜ nal de . . . . .

2

. 16 . 31 . 38 . 55

3.1 3.2 3.3

Propiedades de la transformada z bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Transformada z de algunas funciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales . . 86

4.1 4.2 4.3

Propiedades de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1 5.2 5.3

Est´andar de coma flotante IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Algunos n´ umeros especiales en precisi´on simple . . . . . . . . . . . . . . . 166 Algunos n´ umeros especiales en precisi´on doble . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1

+b2 z 0 +b1 z M´odulos de segundo orden con funci´on de transferencia H(z) = b1+a −1 +a z −2 1z 2 para sistemas en tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Simetr´ıas en filtros FIR de fase lineal . . . . . . . . . . Funciones utilizadas como ventanas. . . . . . . . . . . . Descomposici´on de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). . . . . Caracter´ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´ogicos . . . . Transformaciones de frecuencia para filtros anal´ogicos. Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. . .

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203 204 210 215 216 217

´Indice de tablas

vi

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2005-2011 — P. Alvarado

´Indice de ejemplos 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 4.1 4.2

Escal´on unitario como suma de impulsos desplazados . . Operaciones b´asicas con se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . Se˜ nales de energ´ıa y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . Simetr´ıa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripci´on entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . Salida de sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descomposici´on en impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . Convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud de la convoluci´on de dos se˜ nales finitas . . . . . Reacci´on de sistemas con respuesta exponencial . . . . . . Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . Linealidad de sistema de primer orden . . . . . . . . . . . Soluci´on homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de entrada nula para sistema de segundo orden Respuesta de entrada nula con ra´ız de multiplicidad 2 . . Soluci´on particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´on total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . Serie de Fourier de pulso rectangular continuo peri´odico . Serie de Fourier de pulso rectangular continuo aperi´odico

vii

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