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CURSO DE GESTION DE CALIDAD DE LA CARRERA ADMINISTRACION INDUSTRIAL...

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GESTIÓN DE LA CALIDAD

C.F.P. Luis Cáceres Graziani

03. VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria es una variable (generalmente representada por x) que tiene un único valor numérico, determinado aleatoriamente, para cada resultado de un procedimiento. Una distribución de probabilidad es una descripción que da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria. A menudo se expresa en el formato de una tabla, fórmula o gráfica. Cada distribución de probabilidad debe satisfacer los siguientes tres requisitos. 1. Hay una variable aleatoria numérica (no categórica) x, y sus valores numéricos están asociados con probabilidades correspondientes. 2. ΣP(x) = 1 donde x asume todos los valores posibles. (La suma de todas las probabilidades debe ser 1, pero las sumas como 0.999 o 1.001 son aceptables porque resultan de errores de redondeo). 3. 0 ≤ P(x) ≤ 1 para cada valor individual de la variable aleatoria x. (Es decir, cada valor de probabilidad debe estar entre 0 y 1 inclusive).

DISTRIBUCIÓN NORMAL Si una variable aleatoria continua tiene una distribución con una gráfica simétrica y en forma de campana, como la de la figura, y puede expresarse por medio de la fórmula mostrada, decimos que tiene una distribución normal. Notación:

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√ La fórmula quizá resulte intimidante a nivel matemático, pero la incluimos para demostrar que cualquier distribución normal está determinada por dos parámetros: la media µ y la desviación estándar σ. La distribución normal estándar, tiene las siguientes tres propiedades: 1. Su gráfica tiene forma de campana (como se observa en la figura). 2. Posee una media igual a 0 (es decir, µ= 0). 3. Tiene una desviación estándar igual a 1 (es decir, σ=1). Por lo que  El área bajo la curva de una distribución de probabilidad es igual a 1.  Existe una correspondencia entre el área y la probabilidad (o frecuencia relativa), de manera que algunas probabilidades se pueden calcular al identificar las áreas correspondientes. Propiedades  Es una distribución simétrica. El valor de la media, la mediana y la moda coinciden. Matemáticamente, Media = Mediana = Moda  Distribución unimodal. Los valores que son más frecuentes o que tienen más probabilidad de aparecer están alrededor de la media. En otras palabras, cuando nos alejamos de la media, la probabilidad de aparición de los valores y su frecuencia descienden. Ecuación de Transformación:

Ing. Antonio Reyes Riquelme

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GESTIÓN DE LA CALIDAD

C.F.P. Luis Cáceres Graziani FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN Sintaxis: DISTR.NORM(x, media, Argumentos: X: Media: Desviación estándar: Acumulado:

NORMAL EN EXCEL desviación estándar, acumulado) Es el valor cuya distribución desea obtener. Es la media aritmética de la distribución. Obligatorio. Es la desviación estándar de la distribución. Es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, la función DISTR.NORM devuelve la función de distribución acumulativa; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad.

PRACTICA DIRIGIDA N° 02 1.

La puntualidad de los estudiantes sigue un comportamiento normal, en promedio llegan 35 minutos tarde, y su desviación estándar es 10 a) ¿Qué porcentaje llega entre 35 y 50 minutos? b) ¿Qué porcentaje llega entre 18 y 41 minutos? c) ¿Qué porcentaje llega con más de 28 minutos? d) ¿Qué porcentaje llega en más de 42.5 minutos? e) ¿Qué porcentaje llega entre 15.8 y 32.4 minutos? 2. La altura de unas cajas de cartón producidos por una fábrica papelera, tiene una media de 16 cm. y una desviación estándar de 0.8 cm. Se considera defectuoso si la altura de la caja supera los 17 cm., se solicita: a) Hallar el porcentaje de cajas de cartón defectuosos por altura. b) Si se fabricó 5,304 cajas de cartón por hora ¿Cuántos cajas defectuosas se fabricarán en ocho horas? 3. El diámetro de los tornillos producidos por una fábrica están distribuidos normalmente con una media de 0.58 cm y una desviación típica de 0,05cm. Se considera defectuoso un tornillo si su diámetro es menor que 0.46 o mayor de 0.65. Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos de esta fábrica. Si produce 3000 tonillos a la hora ¿Cuántos tornillos serán fabricados defectuosos en dos horas? 4. La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. En un lote de 10 000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses? b) ¿Cuántas lámparas se estropearán antes de 60 meses? 5. El consumo medio bimestral de energía eléctrica en una ciudad es de 59 Kwh., con una desviación típica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) ¿Cuántos Kwh. tendría que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la población que más consume? b) Si usted consume 45 Kwh. ¿qué % de la población consume menos que usted? 6. Una maquina produce recipientes cuyas capacidades están fijadas según una distribución normal N(10, 0,1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,9 y 10,1 ¿Qué probabilidad tiene un recipiente de ser considerado defectuoso? PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Cierto tipo de batería tiene una duración de 3 años con una desviación típica de 0,5 años. Suponiendo que la duración de las baterías sigue una distribución normal. a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años? b) Si una batería lleva funcionando 3 años cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5 años? 2. La cantidad de café depositada en cada bolsa por una maquina envasadora sigue una distribución normal con media u = 1040 gramos y desviación típica 50 gramos: a) Calcula el tanto por ciento de paquetes que contienen más de un kilo. b) Calcula sabiendo que el 97,5% de los paquetes contienen menos de gramos. c) Calcula el tanto por ciento de paquetes cuyo contenido tiene un peso comprendido entre 950 y 1050gramos. 3. La duración media de un televisor es de 8 años y su desviación típica es de 0.5 años. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente. Hallar la probabilidad de que al adquirir un televisor dure más de nueve años. 4. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta

Ing. Antonio Reyes Riquelme

compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C? 5. Las latas de gaseosa vendidas en Lima, tienen un promedio de 16.1 onzas con una desviación estándar de 1.2 onzas. Si se toma como muestra 200 latas de gaseosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea: a) Menor que 16.27 onzas b) Por lo menos 15.93 onzas c) Entre 15.9 y 16.3 onzas. 6. Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio? 7. Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0.21 cm?

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