4) Ajustes DE UNA Triangulacion PDF

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AJUSTES DE LA TRIANGULACIONAJUSTE DE ESTACION.- Se refiere a la compensación o corrección del error de cierre de horizonte en cada uno de los vértices de la triangulación. Este ajuste no tiene sólido rigor matemático y se efectúa en la libreta de campo. - AJUSTE DE FIGURAS.- Este ajuste se refiere a...

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AJUSTES DE LA TRIANGULACION AJUSTE DE ESTACION.- Se refiere a la compensación o corrección del error de cierre de horizonte en cada uno de los vértices de la triangulación. Este ajuste no tiene sólido rigor matemático y se efectúa en la libreta de campo. AJUSTE DE FIGURAS.- Este ajuste se refiere a la compensación de la figura de triangulación y se aplica a los ángulos de los triángulos después de haber efectuado la compensación por cierre de horizonte en cada vértice de la triangulación. La figura estará debidamente compensada cuando las correcciones que se aplican a cada uno de los ángulos finales de la libreta de campo satisfacen simultáneamente a las condiciones geométricas y trigonométricas de la figura. Los métodos más conocidos para la compensación de una figura de triangulación son: a) El método de los Mínimos Cuadrados.- Este es un método de gran rigor matemático. b) El método de aproximaciones sucesivas. c) El método de tanteos empíricos. Sin embargo cuando se trata de compensar una figura de triangulación es conveniente utilizar un método riguroso y no un método empírico.

COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS.- Es aquella por medio de la cual se calculan las correcciones que deben aplicarse a cada una de las magnitudes observadas de tal manera que la suma de los cuadrados de dichas correcciones sea mínima; pues de esta manera se eliminen los errores que tienen mayor probabilidad de producirse, ya que las correcciones son iguales a los errores pero con signo contrario. La probabilidad de aparición de un error X se determina con la ecuación de probabilidad: 2

2

Y = ( h ) . e –h . X  Siendo: X = Magnitud del error considerado e = Base de los logaritmos neperianos 2.71828 h = Medida de precisión de las observaciones; es constante en una serie de observaciones. Y = Probabilidad de producirse el error X. Debemos recordar que las medidas de precisión son: a) El error probable = E b) El error medio cuadrático =  c) h = 1 =  n ; valores grandes de h indican alta precisión y dan lugar a que la parte σ 2 2X2 superior de la curva sea más alta y estrecha. FORMULA: Error = CV2 ; C= constante correspondiente al porcentaje de error. n-1 Para Errores medios cuadráticos: C=1, que es el error cuya probabilidad es del 68.27%. Para Errores Probables: C=0.6745; E=0.6745 σ El error probable es el error cuya probabilidad es 0.5; o sea que si E representa el error probable, la probabilidad de que un error esté situado entre –E y +E es de 0.5. Consideremos los errores: X1, X2, X3

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Y las correspondientes probabilidades: Y1, Y2, Y3. Aplicando la ecuación de probabilidad tendremos que: Y1 = ( h ) . e –h  Y2 = ( h ) . e 

2 2 . X1

Sabemos que la probabilidad de que se produzcan simultáneamente un conjunto de medidas de la misma precisión, está dada por el producto de sus respectivas probabilidades.

2 2 –h . X2

Y3 = ( h ) . e –h 

2 2 . X3

Luego, multiplicando ambos miembros: 3

Y1.Y2.Y3 = ( h ) . e –h  n

2

2

2 2 2 2 ( X1+ X2+X3)

2

2

; Llamando: YS= probabilidad total y generalizando para n medidas o errores.

2

YS = ( h ) . e –h ( X1+ X2+X3+...Xm)  El valor de esta función es máxima cuando la expresión: (X12+ X22+ X32+....+ Xn2) es mínima.

O sea que el conjunto de errores que tienen mayor probabilidad de producirse es aquel para el cual la suma de sus cuadrados es mínima. La compensación por mínimos cuadrados se aplica a las medidas: Directas, a las medidas Indirectas y a las medidas Condicionales. MEDIDAS DIRECTAS.- Son aquellas que se ejecutan sobre la magnitud cuyo valor se desea obtener. Ejemplo, La medida de un ángulo, la medida del diámetro de un perno, la medida de una distancia, la medida de la diferencia de nivel entre dos puntos cercanos.

EJEMPLO.- En un terreno sensiblemente llano se ha determinado 2 veces la diferencia de nivel, con la misma precisión, entre los puntos A y B que distan entre sí 80 m aproximadamente, obteniéndose los resultados que se indican en el croquis. Determinar el valor compensado o valor más probable de la diferencia de nivel. TRAMO

DIF.NIVEL DIST.

AB BA

+6.364 -6.368

Llamaremos: D= Diferencia de nivel compensada o más probable. Tendremos: D= 6.364+V1  V1= D-6.364

68

80 m 80

CORRECCION

V1 V2

D= 6.368+V2  V2= D-6.368 Aplicando la función de mínimos cuadrados: F= V12+ V22 = mínimo. Reemplazando: F= (D-6.364)2 + (D-6.368)2 F= 2(D-6.364)+2(D-6.368) = 0 D D= 6.364+6.368 2 O sea que la media aritmética hace mínima la suma de los cuadrados de las correcciones. La media aritmética solamente se puede utilizar cuando las correcciones cumplan condiciones muy sencillas por ejemplo en la medida de los 3 ángulos de un triángulo. MEDIDAS U OBSERVACIONES INDIRECTAS .- Son aquellas que se calculan con los valores de las medidas directas. En las medidas indirectas las incógnitas de las ecuaciones que se plantean, son las medidas no las correcciones.

OBSERVACIONES O MEDIDAS CONDICIONALES.- Son aquellas que deben satisfacer estricta y simultáneamente determinadas condiciones impuestas por la figura geométrica de la cual forman parte; o sea que las observaciones directas están relacionadas entre sí por medio de ecuaciones llamadas ecuaciones condicionales que se deducen de la figura en la cual intervienen. Las incógnitas son las correcciones que debemos aplicar a las medidas directas.

EJEMPLOS DE FORMACIÓN DE ECUACIONES CONDICIONALES 1. Deducir la ecuación condicional que deben cumplir los ángulos de un triángulo.

Debe cumplirse que: 1+2+3= 180° ........................(A) Pero las observaciones dan: 1+2+3= 180°+E  E=(1+2+3)-180°; E= error angular de cierre Según (A): 1+V1+2+V2+3+V3 = 180; pasando al 1er miembro. (1+2+3)-180° + V1+V2+V3= 0 E O sea: V1+V2+V3+ E = 0  Ecuación Condicional Ejm.: Si 1+2+3 = 179°59’55”  E=179°59’55”-180° = -5” Luego la ecuación condicional será: V1 + V2 + V3 - 5” = 0 2. Deducir la forma que deben adoptar las condiciones independientes de ángulo y de lado para ser procesados en la compensación por mínimos cuadrados, de un Cuadrilátero con dos diagonales.

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CONDICIONES INDEPENDIENTES DE ANGULO

a) Debe cumplirse que: 1+2+3+4+ ... +8 = 360° ....................................(A) Pero las observaciones dan: 1+2+3+4+... +8 = 360°+E1 De donde: E1= (1+2+3+4+... +8) - 360° Según (A): 1+V1+2+V2+3+V3+4+V4+ ... +8+V8 = 360°

Pasando al 1er miembro:

(1+2+3+4+ ... +8) - 360° + V1+V2+V3+V4+ ... +V8 = 0 E1 O sea: V1+V2+V3+V4+ ... +V8 + E1 = 0  1ra Ecuación Condicional b) Debe cumplirse que: 1+2 = 5 + 6 ............................(A) Pero las observaciones dan: (1+2) = (5 + 6) + E2  E2 = (1+2) - (5+6) Según (A): 1+V1+2+V2=5+V5+6+V6

Pasando todo al 1er miembro:

(1+2) - (5+6) + V1+V2-V5-V6 = 0 E2 O sea: V1+V2-V5-V6 +E2 = 0  2da Ecuación Condicional c) Debe cumplirse que: 3+4 = 7+8 ............................(A) Pero las observaciones dan: (3+4) = (7+8) + E3  E3 = (3+4) - (7+8) Según (A): 3+V3+4+V4 = 7+V7+8+V8

Pasando todo al 1er miembro:

(3+4) - (7+8) + V3+V4-V7-V8 = 0 E3 O sea: V3+V4-V7-V8 +E3 = 0  3ra Ecuación Condicional CONDICION TRIGONOMETRICA INDEPENDIENTE:

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Logarítmicamente: log sen 1+log sen 3+log sen 5+log sen 7 – log sen 2+log sen 4+log sen 6+log sen 8 = 0……....(A) Pero las observaciones dan: log sen 1+log sen 3+log sen 5+log sen 7 – log sen 2+log sen 4+log sen 6+log sen 8 = E4 . . log sen s de # impar log sen s de # par Según (A): log sen(1+V1)+log sen(3+V3)+…+log sen(7+V7)–log sen(2+V2)+log sen(4+V4)+…+log sen(8+V8)=0 Llamando: d1, d2, d3, d4, ...., d8 a las diferencias tabulares para 1” de los logaritmos seno de los ángulos 1, 2, 3, 4, ... , 8 respectivamente, podemos poner: log sen1+d1V1+log sen3+d3V3+…+log sen7+d7V7–log sen2+d2V2+log sen4+d4V4+…+log sen8+d8V8= 0 Eliminando el corchete, ordenando y agrupando: log sen1+log sen3+…+log sen7 – log sen2+log sen4+…+log sen8 + d1V1+d3V3+…+d7V7-d2V2-d4V4-…E4 -d8V8= 0 Luego: d1V1+d3V3+d5V5+d7V7 - d2V2-d4V4-d6V6-d8V8+E4= 0  Ecuación Condicional Independiente de lado

Donde: E4 = error expresado en unidades del último orden decimal de los logaritmos utilizados en el cálculo. Ejemplo.- Si: log sen s de # impar = 38.9502247 log sen s de # par = 38.9503290 Diferencia = -0.0001043 x 106 Luego: E4 = -104.3 unidades del sexto orden decimal. Al observar las ecuaciones condicionales de los ejemplos propuestos, deducimos que estas ecuaciones tendrán la siguiente forma general: El número de incógnitas es siempre mayor que el número de ecuaciones; luego habrá infinito número de soluciones.

a1V1 + a2V2 + a3V3 +... +K1= 0 .......f 1 b1V1 + b2V2 + b3V3 +... +K2= 0 .......f 2 c1V1 + c2V2 + c3V3 +... +K3= 0 .......f 3 …

…

…

…

m1V1 + m2V2 + m3V3 +...+Kn= 0 .......fn

K1, K2, K3,…, Kn son los errores E1, E2, E3,..., En que constituyen el término independiente de las Ecuaciones Condicionales.

Para obtener una compensación matemática es necesario considerar la función F de los mínimos cuadrados: F= V12+ V22+ V32+....+ Vn2 = mínimo Por lo tanto para obtener las incógnitas o correcciones que satisfagan simultáneamente a todas estas condiciones, se aplica el “método de Lagrange” que consiste en establecer una función U tal que:

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U= F - 21f1 - 22f2 - 23f3 - ...- 2nfn Siendo: 1, 2, 3, ...,n = los coeficientes indeterminados de Lagrange. Al analizar las ecuaciones f1, f2, f3,... fn y la función F se deduce que todos los valores de las incógnitas (correcciones) que satisfagan a las ecuaciones condicionales f 1, f2, f3,... fn determinarán que U=F Luego, si estos valores de las incógnitas hacen mínima a la función U también harán mínima a la función F. Para que U sea mínima se tienen que hallar sus derivadas parciales con respecto a las incógnitas V1+ V2+ V3+....+ Vn e igualarlas a cero, obteniendo de esta manera unas ecuaciones que se llaman ECUACIONES CORRELATIVAS.

O sea: ECUACIONES CONDICIONALES:

a1V1 + a2V2 + a3V3 +... +K1= 0 .......f 1 b1V1 + b2V2 + b3V3 +... +K2= 0 .......f 2 c1V1 + c2V2 + c3V3 +... +K3= 0 .......f 3 …

…

…

…

m1V1 + m2V2 + m3V3 +...+Kn= 0 .......fn FUNCION F:

F = V12+ V22+ V32+....+ Vn2 = mínimo

FUNCION U:

U = F - 21f1 - 22f2 - 23f3 - ...- 2nfn

Reemplazando F, f1, f2, f3,... fn en U: U = V12+ V22+ V32+....+ Vn2 - 21(a1V1 + a2V2 + a3V3 +... +K1) - 22(b1V1 + b2V2 + b3V3 +... +K2) 23(c1V1 + c2V2 + c3V3 +... +K3) - … - 2n(m1V1 + m2V2 + m3V3 +...+Kn) ECUACIONES CORRELATIVAS:

∂U = 2V1 - 21a1- 22b1-23c1-… -2nm1 = 0 …………..(1) ∂V

1 V1 = a11+b12+c13+… + m1n

∂U = 2V2 - 21a2- 22b2-23c2-… -2nm2 = 0 …………..(2) ∂V

2 V2 = a21+ b22+ c23+… +m2n

ECUACIONES CORRELATIVAS

∂U = 2V3 - 21a3- 22b3-23c3-… -2nm3 = 0 …………..(3) ∂V

3

V3 = a31+ b32+ c33+… +m3n Y así sucesivamente.

Generalizando: Vi = ai1+ bi2+ ci3+… +min Esta expresión permite escribir directamente la fórmula para determinar una incógnita o corrección sin necesidad de hallar la derivada parcial respectiva. Las incógnitas V1, V2, V3, ... obtenidas de las Ecuaciones Correlativas las reemplazamos en las ecuaciones condicionales obteniendo unas ecuaciones en función de los parámetros 1, 2, 3, ... que

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se llaman ECUACIONES NORMALES. Resolviendo el sistema de ecuaciones Normales obtenemos los parámetros i cuyos valores se reemplazan en las fórmulas obtenidas de las correlativas obteniendo los valores de las incógnitas o correcciones con su respectivo signo. DEDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES NORMALES Las incógnitas V1, V2, V3, ... obtenidas de las Ecuaciones Correlativas las reemplazamos en las ecuaciones condicionales obteniendo unas ecuaciones en función de los parámetros 1, 2, 3, ... que se llaman ECUACIONES NORMALES. O sea: ECUACIONES CONDICIONALES

1) a1V1 + a2V2 + a3V3 +... +K1= 0 2) b1V1 + b2V2 + b3V3 +...+K2= 0 3) c1V1 + c2V2 + c3V3 +... +K3= 0 …

…

…

…

n) m1V1+ m2V2 + m3V3+...+Kn= 0 Incógnitas obtenidas de las Ecuaciones Correlativas: Vi = ai1+ bi2+ ci3+… V1 = a11+ b12+ c13+… + m1n Reemplazándolas en las V2 = a21+ b22+ c23+… +m2n Ecuaciones Condicionales V3 = a31+ b32+ c33+… +m3n ...

…

…

…

…

1’) a1 (a11+b12+c13+…+m1n) + a2 (a21+ b22+ c23+…+m2n) + a 3 (a31+ b32+ c33 +… +m3n) + ... + K1=0 Efectuando los productos y colocándolos en columnas y luego sumándolos: a1a11+ a1b12+ a1c13+… + a1m1n a2a21+ a2b22+ a2c23+… + a2m2n a3a31+ a3b32+ a3c33+… + a3m3n ¦

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¦

Empleando la notación de Gauss para representar sumas de productos binarios: [aa]= a1a1+ a2a2 + a3a3 +... [ab]= a1b1+ a2b2 + a3b3 +…

.

[aa]1+ [ab]2+ [ac]3+… + [am]n+...+K1=0  PRIMERA EC. NORMAL 2’)

b1 (a11+b12+c13+…+m1n) + b2 (a21+b22+c23+…+m2n) + b3 (a31+b32+c33+ … +m3n)+ ...+K2=0 Efectuando los productos y colocándolos en columnas y luego sumándolos: a1b11+ b1b12+ b1c13+… + b1m1n a2b21+ b2b22+ b2c23+… + b2m2n a3b31+ b3b32+ b3c33+… + b3m3n ¦

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¦

¦

Empleando la notación de Gauss para representar sumas de productos binarios: [ab]= a1b1+ a2b2 + a3b3 +... [bb]= b1b1+ b2b2 + b3b3 +…

.

[ab]1+ [bb]2+ [bc]3+… + [bm]n+...+K2=0  SEGUNDA EC. NORMAL 3’) c1 (a11+b12+c13+…+m1n) + c2 (a21+b22+c23+…+m2n) + c3 (a31+b32+c33+ … +m3n)+ ...+K3=0 Efectuando los productos y colocándolos en columnas y luego sumándolos: a1c11+ b1c12+ c1c13+… + c1m1n

Empleando la notación de Gauss para representar sumas de productos binarios: [ac]= a1c1+ a2c2 + a3c3 +... 73 [bc]= b1c1+ b2c2 + b3c3 +…

a2c21+ b2c22+ c2c23+… + c2m2n a3c31+ b3c32+ c3c33+… + c3m3n ¦

¦

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¦

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¦

.

[ac]1+ [bc]2+ [cc]3+… + [cm]n+...+K3=0  TERCERA EC. NORMAL Y así sucesivamente. RESUMEN DE LAS ECUACIONES NORMALES EN SU FORMA GENERAL [aa]1+ [ab]2+ [ac]3+… +K1=0 [ab]1+ [bb]2+ [bc]3+… +K2=0 [ac]1+ [bc]2+ [cc]3+… +K3=0

(1) (2) (3)

Como podemos observar, el sistema de Ecuaciones Normales es simétrico con respecto a la diagonal principal. Por lo tanto solo calcularemos los coeficientes que están situados encima de la diagonal principal, porque de esta manera habríamos calculado también los coeficientes simétricos que están debajo de la diagonal.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: FIGURAS SENCILLAS I) Compensar por el método de los mínimos cuadrados, los ángulos del siguiente triángulo medidos con la misma precisión. ángulos observados y corregidos por cierre de horizonte: 1 = 43°15’50”  V1 2 = 53°18’30”  V2 3 = 83°25’31”  V3 1+2+3= 179°59’51” Error = E= 179°59’51”-180° E= -9” 1)

Ecuación condicional: V1 + V2 + V3 + E = 0 V1 + V2 + V3 - 9” = 0  f1=0 2) F = V12+ V22+ V32 …. = mínimo. 3) U = F - 21f1 U = V12 + V22 + V32 - 21(V1 + V2 + V3 - 9”) 4) ∂U = 2V1 - 21 = 0 ………...…V1= 1 ∂V1 ECUACIONES ∂U = 2V2 - 21 = 0 ………….. V2= 1 CORRELATIVAS ∂V2 ∂U = 2V3 - 21 = 0 ………….. V3= 1 ∂V3 Reemplazando Vi en la Ecuación condicional; se obtiene la Ecuación Normal. 5) 1 + 1 + 1 - 9” = 0  31 = 9”  1 = +3” 6) Reemplazando 1 = +3” en las Ec. Correlativas: V1 = 1 = +3” V2 = 1 = +3” V3 = 1 = +3”

74

Luego los ángulos compensados serán:

II)

1 = 43°15’50” + 3” = 43°15’53” 2 = 53°18’30” + 3” = 53°18’33” 3 = 83°25’31” + 3 = 83°25’34” En la red de nivelación cuyo croquis se muestra, todos los lados o tramos son de igual longitud. Las diferencias de nivel entre cada par consecutivo de puntos de unión se han obtenido en el sentido de las flechas. Se pide compensar la red de nivelación empleando los mínimos cuadrados y calcular las cotas si cota de A=100. FORMULA: NUMERO DE ECUACIONES DE CONDICION INDEPENDIENTES(C). a) C= n-S+1 ; n= # de tramos = 5 S= # de puntos de unión = 4

C= 5-4+1=2 condiciones independientes. b) C= #L- #V+q;

#L=Lados; #V=vértices; q=#vértices que tienen cota

1. Ecuaciones condicionales: La ecuación correspondiente al circuito perimetral no es independiente porque resulta de la suma de los circuitos I y II. Circuito I: (a+V1)+(e+V5)+(d+V4) = 0 ; reemplazando valores: (+21.14+V1)+(-5.20+V5)+(-15.96+V4) = 0 ; Efectuando: V1 + V5 +V4 - 0.02 = 0 f1 = 0 Circuito II: (b+V2)+(c+V3)-(e+V5) = 0 ; reemplazando valores: (+5.08+V2)+(-10.27+V3)-(-5.20+V5) = 0 ; Efectuando: V2 + V3 - V5 + 0.01 = 0 f2 = 0 2. F = V12 + V22 +V32 + V42 + V52 3. U = F - 21f1 - 22f2 ; Reemplazando: U = V12 + V22 +V32 + V42 + V52 - 21(V1 + V5 +V4 -0.02) - 22(V2 + V3 - V5 + 0.01) 4. Ecuaciones Correlativas: ∂U = 2V1 - 21 = 0 ………...…V1= 1 ∂V1 ∂U = 2V2 - 22 = 0 ………….. V2= 2 ∂V2 ∂U = 2V3 - 22 = 0 ………….. V3= 2 ∂V3 ∂U = 2V4 - 21 = 0 ………….. V4= 1 ∂V4 ∂U = 2V5 - 21 + 22 = 0 ……. V5= 1 - 2 ∂V5 6. Reemplazando 1 y 2 en la Ecuaciones correlativas: V1 = 1 =+0.006 ; V4 = 1 = +0.006 V2 = 2 = -0.001 ; V5 = 1 - 2 V3 = 2 = -0.001; V5 =+0.00625-(-0.00125)=+0.0075

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5. Ecuaciones Normales: Reemplazando las Vi en las ecuaciones condicionales f1 y f2: 1 + 1 – 2 + 1 – 0.02 = 0 2 + 2 – 1 + 2 + 0.01 = 0 Reduciendo: 31 – 2 – 0.02 = 0 Ecuaciones -1 + 32 + 0.01 = 0 Normales Resolviendo el sistema: 1= +0.006252; 2= -0.00125 1= +0.006 ; 2= -0.001 8. Cálculo de las cotas de los vértices. Cota A= 100.000 Cota B= 121.146 +a = +21.146 +e = -5.192 Cota B= 121.146 Cota D= 115.954 +b = +5.079 +d = -15.954 Cota C= 126.225 Cota A= 100.000 +c = -10.271 Cota D= 115.954 +d = -15.954 C t A 100 000

V5 =+0.008 7. Diferencias de nivel compensadas: a = +21.14 +0.006 = +21.146 m b = + 5.08 – 0.001 = + 5.079 c = -10.27 – 0.001 = –10.271 d = -15.96 + 0.006 = –15.954 e = -5.20 + 0.008 = – 5.192

COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS DE FIGURAS COMPLEJAS En estos casos es necesario simplificar, ordenar y sistematizar el proceso de compensación; lo cual se consigue elaborando cuadros que son producto del análisis de la forma general de las Ecuaciones Correlativas y de las Ecuaciones Normales. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES En cada línea horizontal de este cuadro se inscriben los coeficientes de las incógnitas de las respectivas ecuaciones condicionales. La última línea horizontal (Si) estará formada por la suma de los coeficientes que cada incógnita tiene en cada ecuación condicional. ECUACIONES CONDICIONALES

a1V1 + a2V2 + a3V3 +... +K1= 0 b1V1 + b2V2 + b3V3 +...+K2= 0 c1V1 + c2V2 + c3V3 +... +K3= 0 d1V1 + d2V2 + d3V3 +... +K4= 0 …

…

…

…

m1V1 + m2V2 + m3V3 +...+Kn= 0

CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES 1 2 3 4 … n S

V1 a1 b1 c1 d1 … m1 S1

V2 a2 b2 c2 d2 … m2 S2

V3 a3 b3 c3 d3 … m3 S3

V4 a4 b4 c4 d4 … m4 S4

… …

… …

… …

… …

… …

… …

Vn an bn cn dn … mn Sn

+K1 = 0 +K2 = 0 +K3 = 0 +K4 = 0 … +Kn = 0

S1 = a1 + b1 + c1 + … + m1 S2 = a2 + b2 + c2 + … + m2 … … … … … …

CALCULO DE LAS CORRECCIONES V1, V2, V3 , ...Vn (ECUACIONES CORRELATIVAS) Las expresiones que permitirán calcular las correcciones Vi se obtienen directamente del Cuadro Resumen de las Ecuacio...