4) Gemischte Strategien PDF

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Kapitel 4 Gemischte Strategien...

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Angewandte Spieltheorie – Zusammenfassung Gemischte Strategien und Sicherheitsniveaus 1. Gemischte Strategien a) Definition - Mischen von Strategien mit Wahrscheinlichkeiten o A mischt mit Wahrscheinlichkeit p (bzw. 1 – p) o B mischt mit Wahrscheinlichkeit q (bzw. 1 – q) -

Extremwerte 0 bzw. 1 entspricht reinen Strategie

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Wenn B mischt, Erwartungswert für A ausrechnen (s. Folie 6)  miteinander vergleichen

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Wenn es ein q gibt, das A jeweils gleich hohe erwartete Payoffs für A1 und A2 (Indifferenz) liefert, dann ist es egal wie A seine Strategien mit p mischt  Payoffs immer gleich groß und bestmöglich.

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Menge aller besten Antworten von Spieler A auf beliebige Wahrscheinlichkeit des Gegenspielers heißt Beste-Antwort Korrespondenz von A

b) Nash-Gleichgewicht -

Wechselseitig beste Antworten sind Nash-Gleichgewichte

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Das Paar (p;q) stellt ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien dar, wenn es wechselseitig beste Antworten darstellt

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JEDES endliche NORMALFORMSPIEL besitzt mindestens ein NashGleichgewicht (reinen oder gemischten Strategien)

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Schnittmenge zweier beste-Antwort Korrespondenzen in einem endlichen Normalformspiel bildet die Menge aller Nash-Gleichgewichte.

c) 2x2 Spiele ohne dominante Strategien -

Differenzen-Trick:

o Schritt 1: Spaltenweise absolute Differenz der Payoffs von A und zeilenweise diejenigen von B

o Schritt 2: Teile Differenz durch die spalten- bzw. zeilenweise Summe der Differenz und erhalte Gleichgewichtswahrscheinlichkeit der jeweils anderen Strategie

d) Größeren Spielen -

Upper-Envelope Methode  Bestimmung Gleichgewichte gemischte Strategien

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Schritt 1: Zeichne erwartete Payoff desjenigen Spielers mit mehr als zwei Strategien

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Schritt 2: Zeichne oberen Rand und bestimme „Knickpunkte“  Kandidaten für NGG-Wahrscheinlichkeiten von B, weil Wahrscheinlichkeit beste Antwort von A eine gemischte Strategie ist.

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Schritt 3: Differenztrick (aus c) anwenden) in reduzierten Spielen  Nash-Gleichgewichte bestimmen

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Noch größeren Spielen  Computer  GAMBIT

2. Nullsummenspiele a) MaxiMin Strategie -

Maximiere kleinstmöglichen Payoffs

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Annahme: A weiß, dass B immer genau so spielt, dass A einen möglichst geringen Payoff bekommt  Pessimist in Entscheidungstheorie

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Erzielte Auszahlung m der Maximin Strategie heißt Sicherheitsniveau von A  Payoff Untergrenze unter die er nicht fallen kann

b) Minimax Strategie -

Minimiere größtmöglichen Payoff des Gegners

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m (Überstrich) Maximalauszahlung für Gegner wenn Spieler Minimax spielt (Payoff Obergrenze über die A nicht kommen kann)

c) Sattelpunkt und Wert des Spiels -

M (Überstrich) > m

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Wenn m (überstrich)= m  Wert des Spiels

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Diese Strategiekombination heißt Sattelpunkt

d) Nullsummenspiele -

Payoffs in einer Matrixzelle immer Null  Gewinn des einen Spielers ist Verlust des anderen und umgekehrt

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Neumanns´MiniMax Theorem

o x* und y* eine Strategie von A und B, dann sind für jedes Zwei-PersonenNullsummenspiel folgende Aussagen äuqivalent:



(x*,y*) NGG



(x*,y*) Sattelpunkt mit Wert m(überstrich)=m



x* MaxiMin Strategie und y* MiniMax Strategie...