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Leis de Newton e aplicações. ...

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Dinâmica 4 Introdução Nos estudos da cinemática analisamos os elementos que descrevem o movimento dos corpos sem dar atenção às causas que dão início ou fim a esses estados. A parte da física que se destina a estudar a relação entre movimento e causa é denominada dinâmica. A nossa noção intuitiva destas causas é que elas estão associadas à interação entre um corpo e outro. A queda de um objeto, por exemplo, é um resultado da sua interação com a Terra e o movimento da Terra em torno do Sol é um resultado da sua interação com essa estrela. As interações, de um modo geral, são descritas por um conceito matemático denominado força F e o papel da dinâmica, é relacioná-la com as alterações que ocorrem na velocidade de um corpo. Na mecânica clássica ou newtoniana, a dinâmica será estudada com base na simplificação de experimentos observáveis ou de situações ideais que, quando comparado a situações reais se obtém resultados com uma boa aproximação. Neste caso, a forma com que uma força se relaciona com os movimentos será regida por três leis estabelecidas pelo físico e matemático Isaac Newton. Vistas numa visão moderna, as Leis de Newton podem ser descritas como: I – Um corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa resultante. II – A aceleração de um corpo é inversamente proporcional á sua massa e diretamente proporcional à força externa resultante que atua sobre o ele. III – As forças sempre ocorrem aos pares, isto é, se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, então B também exercerá uma força sobre A de mesma intensidade, direção e sentido oposto. As leis estabelecidas são válidas somente quando analisadas mediante à referenciais inerciais, ou seja, referenciais em repouso ou com velocidade constante. 4.1 Força e massa Visto que o termo força é um conceito matemático destinado a estudar as interações que ocorrem na natureza, será necessário agregar a ela uma unidade de medida. No Sistema Internacional de Unidades ou SI, a unidade de força será o Newton, de modo que 1 N é a força necessária para causar uma aceleração de 1 m/s² em um corpo de 1 kg ou seja, 1 N  1kg 1m / s 2 . Sabemos, então, que a massa é uma propriedade da matéria cuja unidade no SI é o kg e, quando relacionada à definição de Newton, percebemos que se uma força constante atuar sobre objetos com massas diferentes, aquele cuja massa é relativamente pequena terá uma aceleração maior e aquele que tiver uma massa relativamente grande desenvolverá uma aceleração menor. Portanto, podemos considerar a massa de um objeto com uma propriedade relacionada à resistência á alteração dos estados de movimento ou repouso de um corpo. 4.2 Primeira Lei de Newton A primeira lei de Newton ou lei da Inércia diz respeito a uma partícula hipotética, chamada partícula livre. No entanto, tal partícula não existe, pois para ser considerada livre ela não poderia estar interagindo com nem um outro corpo no universo, ou seja, não deveria existir nada além dela. Por outro lado, podemos encontrar corpos que teriam um comportamento aproximado em situações

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em que eles encontram-se a uma distância suficientemente grande de modo que a interação entre eles seja desprezível ou em situações nas quais as interações com ele se anulam totalmente. Nestas condições, a lei de inércia estabelece que: Uma partícula livre deve sempre estar com velocidade constante, isto é, em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme. 4.3 Segunda Lei de Newton Para compreender a segunda lei de Newton, devemos conhecer uma grandeza associada o movimento de uma partícula, chamada de momento linear, p. Para uma partícula de massa m que se desloca com velocidade v, o momento linear é dado por 



P  mv

4.1

Essa grandeza, cuja unidade é o kg  m / s , nos dá uma noção da dificuldade que se tem de alterar o estado de movimento de uma partícula. Se, por exemplo, um carro e um caminhão se deslocam no mesmo sentido com velocidade v, o veículo que terá maior dificuldade em entrar em repouso será o de maior massa, pois ele terá um momento linear maior. De acordo com Newton, se uma partícula varia seu momento linear com o tempo, então essa  variação deve ser igual à força resultante, FR , que atua na partícula. Assim define-se, mediante a um referencial inercial, que a resultante das forças que atuam em uma partícula será dada por:   dp FR  dt

4.2

A equação 4.2 pode ser reformulada utilizando a definição 4.1, resultando em 



dv FR m dt   FR  ma

4.3

Desse modo, qualquer força resultante, FR não nula, que atua sobre a partícula, resultará em uma aceleração proporcional a ela, cujo sentido e direção serão o mesmo de FR (Figura 4.1) .

Figura 4.1

4.4 Terceira Lei de Newton e a conservação do momento linear De acordo coma terceira lei de Newton, quando um corpo interage com uma superfície através de uma força de contato, esta superfície “reage” aplicando-lhe uma força de mesmo módulo, direção e sentido oposto à força exercida pelo corpo.

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Desse modo, se considerarmoos um corpo A que interage com um corpo B (Figura 4.2), as forças exercidas por cada corpo terãão a seguinte relação:   | F A, B | | FB, A |

4.4

Figura 4.2

Dentre algumas propriedades da tercceira lei, podemos citar que: a) As forças que forma par ação e reeação atuam em corpos distintos. b) As forças de ação são simultâneas, isto é, ocorrem instantaneamente. c) A terceira lei pode ocorrer à diistância. Neste caso, podemos citar a ação gravitacional, onde corpos são atraídos devidos à sua massa, como por exemplo, a Terra atraindo a Lua. 4.8 Forças Peso e força normal A força peso, nada mais é qu e a força de natureza gravitacional que a Terraa exerce sobre os perfície. Assim eles são direcionados ao seu cenntro. A expressão corpos que estão próximos à sua sup matemática que permite seu cálculo é dada por:

  P  mg

4.4

em que m é a massa do objeto e g a aceleração da gravidade. Quando um objeto de massa m é posto em contato de uma superfície (Figgura 4.3), ele lhe aplica uma força N’. Pela terceira lei l de Newton, a superfície reage com uma força de módulo N, f peso, é devido a presença do planeta Terraa, a sua reação P’ denominada força normal. Como a força estará no centro do planeta.

Figura 4.3

4.9 Força de Tração Considere um bloco de massa m (Figura 4.4), o qual pode ser movido por um fio de massa desprezível e que não pode variar seu s comprimento. Quando se aplica uma força horizontal ao fio no sentido de puxar o bloco, o fio fica tencionado com uma força de tração T. Essa é uma força de contato que surge entre o bloco e o fio.

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Figura 4.4

No caso da força de tração, devemos tem em mente que por se tratar de um fio, não podemos empurrar o objeto com ele, portanto, a força de tração atua sempre no sentido de puxá-lo. _______________________________________________________________________________ Exemplo 4.1 – Um corpo de massa 2 m está sobre uma mesa plana sem atrito. Ligado a ele por um fio inextensível outro corpo de massa m conforme a figura 4.5. Considere a resistência do ar nula e que não há atrito na roldana por onde passa o fio. Determine a aceleração do Figura 4.4 sistema e a tensão no fio que liga os blocos. Para analisar separadamente como se comportam as forças em cada bloco, devemos adotar um sentido preferencial arbitrário para o movimento. Considerando que o bloco de massa m “puxa’’ o outro bloco, podemos representar para cada bloco a seguinte situação:

Assim, para cada bloco, a segunda lei de Newton pode ser escrita como segue: Para o bloco de massa 2 m: Para o bloco de massa m:

N-2mg + T= 2ma mg -T =ma

4.5 4.6

Como o fio é inextensível e sua massa é desprezível, os blocos devem ter mesma aceleração a. Para o bloco sobre a superfície, a força normal devido á superfície se cancela com o seu peso, logo, a resultante sobre ele é a força de tração. Juntando 4.5 com 4.6, temos a

g 3

2 T  mg 3

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Exemplo 4.2 – Em um plano inclinado cujo o ângulo com a superfície é θ, um bloco desliza sobre ele na ausência de atrito. Determine a aceleração adquirida pelo bloco e o módulo da força normal devido o plano. A figura 4.5a representa as forças que atuam sobre o corpo. Observando a figura, nota-se que a única força na direção do movimento é Fx , portanto, ela é a resultante. Utilizando a soma de vetores (Figura 4.5b) podemos determinar o seu módulo pela função seno. Assim, Fx  P sen  ma

ax  g sen ˆi Por outro lado, utilizando a função co-seno, podemos determinar o módulo de N por:

N  Pcos ˆj

(a)

(b) Figura 4.5

________________________________________________________________________________ Exemplo 4.3 – Um bloco está ligado a um sistema de duas roldanas, em que uma delas é fixa e a outra é móvel como mostra a figura 4.6. Considere os fios idéias e que não há atrito nas roldanas e determine a força mínima F que se deve fazer na extremidade do fio para manter o sistema em equilíbrio. Figura 4.6

Como mostra a figura, a força peso do bloco é dividida pela metade, sendo que uma parte estará na superfície superior e a outra, por meio de uma roldana fixa é desviada para baixo onde será aplicada a força F. Portanto,

F

mg 2

________________________________________________________________________________

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Exemplo 4.4 – Considere um sistema composto de dois blocos de massa m1 e m2 ligados por um sistema de polias. Considerando que uma da polias é móvel e que não há nenhum atrito e os fios são ideais, qual é a relação entre as acelerações de cada bloco?

Figura 4.7

O sistema é composto de duas partes isoladas e cada bloco deve se mover com uma aceleração. No entanto, para verificar a relação entre elas, devemos saber que experimentalmente, verifica-se que  y1=2  y2. Considerando que os blocos se movem de acordo com a função  y 

at ² , temos: 2

y1  2 y 2  a1t ²  a t²   2 2  2  2  Logo, a1  2a 2 Para esse sistema, podemos escrever a segunda lei de Newton para cada bloco como um sistema de duas incógnitas.

T  m1 g  m1 2 a2  m 2 g  2T  m 2a 2

_______________________________________________________________________________

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Problemas do Capítulo 4 SEÇÃO 4.1 – Força e massa 4.1 - Um corpo de massa m1, sob a ação de uma força F, tem uma aceleração de 4 m/s² . (a) Qual é a aceleração quando a força for duplicada? (b) Um segundo corpo de massa m2, sob a influência da mesma força, sofre uma aceleração de 8 m/s2. Qual e a razão entre m 2 e m1? (c) Quando os dois corpos estão ligados um ao outro, qual a aceleração provocada pela força F? 4.2 - Uma força constante atua em linha reta sobre um corpo apoiado numa superfície horizontal sem atrito. Em um intervalo de 10 s o aumento de velocidade é de 5 km/h. Quando uma segunda força é aplicada ao corpo, atuando na mesma direção e sentido da primeira e simultaneamente com ela, a velocidade do corpo aumenta de 15 km/h em de 10 s. Qual a razão entre os módulos da primeira força e da segunda? 4.3 – Uma força de módulo F0 provoca uma aceleração de 5 m/s2 quando atua sobre um corpo de massa m. Determinar a aceleração deste corpo quando duas forças F0 atuam sobre ele fazendo (a) um ângulo de 90º entre si. (b) Fazendo um ângulo de 45º entre si. 4.4 - Um campo elétrico atribui a um corpo carregado uma aceleração de 6,0 x 106 m/s². Um outro campo atribui ao mesmo corpo uma aceleração de 9,0 x 106 m/s2. (a) Se a força exercida pelo primeiro campo é F0, qual é a força exercida pelo segundo campo? Qual e a aceleração do corpo quando (b) os dois campos atuam sobre ele simultaneamente e na mesma direção e no mesmo sentido; (c) os dois campos são antiparalelos; e (d) os campos são normais entre si? 4.5 - Certa força, aplicada a uma partícula de massa m, atribui-lhe uma aceleração de 20 m/s2. A mesma força, quando aplicada ao segundo corpo, atribui-lhe uma aceleração de 10 m/s2. Determinar a aceleração quando a mesma força for aplicada às duas partículas ligadas uma à outra. 4.6 - Aplica-se uma força de 15 N sobre um corpo. A massa desloca-se em linha reta enquanto a sua velocidade aumenta 10 m/s em cada 2 s. Determinar a massa m do corpo. 4.7 - Uma força F = (6i - 3j + 8k) N atua sobre um corpo de 2 kg. Determine o vetor aceleração e calcule o seu módulo. 4.8 – Um veículo de massa 600 kg, partindo do repouso, atinge a velocidade de 100 km/h em 40 s. Desprezando os efeitos da resistência do ar, determine a o módulo da força exercida pelo motor do veículo durante esse intervalo de tempo. 4.9 – Uma bolinha de massa 0,4 kg se desloca é abandonada do alto de um plano inclinado sem atrito. O ângulo entre o plano e a superfície horizontal é de 60º. Determine a força resultante que atua sobre a bolinha durante a sua descida no plano. 4.10 – No vácuo, dois corpos m1 = 0,6 kg e m 2, movem-se um em direção ao outro devido à força gravitacional. As acelerações desenvolvidas por cada corpo são 4 m/s² e - 6 m/s², respectivamente. Determine o valor força de atração entre as massas e o valor da massa m2. 4.11 – No centro de massa de uma esfera de massa m= 1 kg atuam duas forças, de módulos 10 N e 15 N. Sabendo que os vetores força formam entre si um ângulo de 35º, determine o módulo a aceleração adquirida pelo corpo.

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3 4.12 - Duas partículas igualmente carregadas, mantidas auma distância de 3,2 10  mm uma da outra,

são largadas a partir do repouso. O módulo da aceleração inicial da primeira partícula é de 7,0 m / s² e o da segunda é de 9,0 m / s² . Sabendo-se que a massa da primeira partícula vale6,32  107 kg , qual é a massa da segunda partícula? 4.13 – Um móvel motorizado, com massa de 4 kg atinge a velocidade de 60 m/s em 5 s ao longo de uma pista horizontal. Considere o movimento do móvel em um sistema livre de forças dissipativas e determine a força resultante exercida pelo motor do carro. 5.14 – Um motorista, dirigindo na cidade, está se deslocando com uma velocidade constante de 45 km/h. Quando o motorista avista um pedestre atravessando a faixa de segurança a 5 m de sua posição, ele reduz a sua velocidade a uma taxa constante, atingindo o repouso a 40 cm da faixa de segurança. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante que atua no carro nesse deslocamento. Considera a massa do veículo igual a 500 kg. 5.15 - O mostrador de uma balança, quando um objeto é colocado sobre ela, indica 100 N, como esquematizado em A. Se tal balança estiver desnivelada, como se observa em B, seu mostrador deverá indicar, para esse mesmo objeto, o valor de:

5.16 - A posição de um objeto cujo peso tem intensidade igual a 2,45  102 N é dada por

 r  0,01t ³iˆ  2,2t jˆ  0,03t² kˆ , em que t está em segundos e r em metros. A força resultante que atua no objeto no instante 5,0 s, em Newtons é: 5.17 –

_______________________________________________________________________________ Respostas do capítulo 4 4.1) a) 8 m/s². b) 0,5. c) 2,66 m/s². 4.2) 0,46. 4.3) a) 7,07 m/s². b) 9,23 m/s². 4.4) a) 3F 0/2. b) 15,0 x 106 m/s². c) 3,0 x 106 m/s², no sentido da força maior. d) 10,81 x 106 m/s². 4.5) 6,66 m/s². 4.6) 3 kg. 4.7) (3i-1,5j + 4 k) m/s² e 5,22 m/s². 4.8) 416,66 N. 4.9) 8,49 m/s². 4.10) 4.11) 23,89 N e 23,89 m/s². 4.14) -8.491,84 N.

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5 Aplicação das Leis de Newton 5.1 Força de atrito Quando dois objetos estão em contato mútuo, cada um exerce sobre o outro uma força devido ás interações moleculares das superfícies em contato. Consideremos um bloco de massa m sobre uma superfície (Figura 5.1). A força peso do bloco força seu movimento vertical para baixo, no entanto, a alta resistência das moléculas da mesa às compressões, proporciona uma força N vertical que o mantém em equilíbrio nesta direção. Quando uma força F passa a atuar sobre o sistema, as superfícies em contato exercem uma sobre a outras, forças tangenciais paralelas á F. A



força tangencial exercida pela superfície sobre o bloco é denominada força de atrito f

a

.

Figura 5.1 – Movimento sob os efeitos da força de atrito.

Vamos supor que uma força horizontal F é aplicada sobre o corpo e ele permanece em repouso. Neste caso, dizemos que há entre as superfícies de contato uma força de atrito estático, cujo módulo máximo é dado por

  fe  N 

e

5.1

em que  e é uma grandeza sem dimensão, denominada coeficiente de atrito estático. O módulo de  e depende da natureza dos materiais em contato. Poderíamos esperar que a força de atrito máximo

fosse proporcional à área das superfícies em contato, no entanto verifica-se experimentalmente que ela é diretamente proporcional à força N. Por outro lado, quando a força aplicada ao bloco é suficiente para movê-lo, a força resistiva se torna menor do que o atrito estático máximo e recebe o nome de atrito cinético cf . Seu cálculo será semelhante ao da equação 5.1, porém o coeficiente de atrito será característico dessa força, ou seja, será necessário um coeficiente de atrito cinético  c para determinar o seu módulo.

  Fc  N  c

5.2

A figura 5.2 nos dá uma breve compreensão do comportamento das forças que atuam e um objeto.

Figura 4.8 – Variação da força de atrito conforme a força F aplicada a um corpo

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Após atingir seu limite, a força de atrito estático reduz sua intensidade até atingir um valor aproximadamente constante, de módulo Fc . 5.2 Força elástica A força elástica é uma força de tensão que surge em qualquer meio elástico submetido a uma força. Um sistema muito comum em estudos físicos é aquele composto de uma mola idealizada, que independente da força aplicada sobre ela, sempre voltará ao seu tamanho original quando livre de tensões. Considere um bloco suspenso a uma mola helicoidal (Fig. 5.3a). Ao analisar o comportamento da mola, percebe-se que sua elongação x varia linearmente com força peso dos objetos presos à sua extremidade livre. Para cada acréscimo de massa x aumentará proporcionalmente como mostra o gráfico (Fig. 5.3b).

(a)

(b)

Figura 5.3 – (a) Variação da elongação de uma mola ideal de acordo com a massa m presa em uma de suas extremidades. (b) Gráfico da força peso em função da elongação.

Resumindo, quando adicionamos um objeto de peso P à mola, ela sofre uma elongação x e para. Isso ocorre certamente por que a força peso do objeto entra em equilíbrio com a força exercida pela mola no sentido contrário. Essa força é denominada força elástica e seu módulo é dado pela lei de Hooke.

  Fel   k( x  x0 )

5.3

em que k é a constante elástica do material que compões a mola. O sinal de menos na equação significa que a força elástica é uma força restauradora, isto é, que age no sentido de restaurar a posição original da mola. ________________________________________________________________________________ Exemplo 5.1 - Um arranjo da figura 5.4 é composto de uma mola de K = 160 N/m, um fio ideal e dois blocos de massas m1=2 Kg e m2=10 kg. Determine a força elástica sobre a mola e a elongação mantida como sistema em equilíbrio. (Despreze o atrito entre a superfície e o bloco Figura 5.4 m 1). Como o sistema está em equilíbrio, o módulo da força elástica da mola deve ser igual ao módulo da força peso do bloco 2. Portanto, temos que:

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