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Definición de Espacio Muestral

Dentro de la estadística de probabilidades, el espacio muestral se define como el conjunto de todos los resultados posibles que se obtienen al realizar un experimento aleatorio (aquel del que no se puede predecir su resultado). La denotación más habitual del espacio muestral es mediante la letra griega omega: Ω. Entre los ejemplos más comunes de espacios muestrales podemos encontrar los resultados de lanzar una moneda al aire (cara y cruz) o de tirar un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6).

Espacios muestrales múltiples En muchos experimentos puede darse el caso de que coexistan varios espacios muestrales posibles, quedando a disposición de quién realiza el experimento elegir aquel que más le convenga según sus intereses. Un ejemplo de ello sería el experimento de sacar una carta de un mazo de póker estándar de 52 naipes. Así, uno de los espacios muestrales que podrían definirse sería el de los diferentes palos que componen la baraja (picas, tréboles, diamantes y corazones), mientras que otras opciones podrían ser un rango de cartas (entre el dos y el seis, por ejemplo) o las figuras de la baraja (jota, reina y rey).

Incluso se podría trabajar con una descripción más precisa de los posibles resultados del experimento combinando varios de estos espacios muestrales múltiples (sacar una figura del palo de corazones). En este caso se generaría un solo espacio muestral que sería un producto cartesiano de los dos espacios anteriores.

Espacio muestral y repartición de probabilidades Algunos acercamientos a la estadística de probabilidades dan por hecho que los diferentes resultados que se pueden obtener de un experimento están siempre definidos de forma que todos tengan la misma probabilidad de suceder. Sin embargo, hay experimentos en que esto es realmente complicado, siendo muy complejo construir un espacio muestral donde todos los resultados tengan la misma probabilidad. Un ejemplo paradigmático sería el de lanzar una chincheta al aire y observar cuantas veces cae con su punta hacia abajo o hacia arriba. Los resultados mostrarán una clara asimetría, por lo que sería imposible sugerir que ambos resultados tienen la misma probabilidad de suceder. La simetría de probabilidades es lo más habitual a la hora de analizar fenómenos aleatorios, pero eso no quita que sea de gran ayuda el hecho de poder construir un espacio muestral en el que los resultados son al menos aproximadamente parecidos, ya que esta condición es básica para poder simplificar el cálculo de probabilidades. Y es que, si todos los posibles resultados del experimento tienen la misma probabilidad de suceder, entonces el estudio de probabilidad se simplifica enormemente. Fotos: iStock - Moncherie

TIPOS DE EVENTOS

eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en el ejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos: Eventos no excluyentes Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas. Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos. Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles. Para los tres ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.

Eventos mutuamente excluyentes Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas. Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra. Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras. No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez. Eventos Independientes y Dependientes

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción. P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables. Por ejemplo, es muy sencillo la solución a este problema: imagínate que tu jefe te pide que cuentes los últimos productos que han llegado en la última hora. En este caso podrías ir y contar uno a uno los productos.

Sin embargo, imagina que el problema es este: tu jefe te pide que cuentes cuántos grupos de 5 productos del mismo tipo pueden formarse con los que

han llegado la última hora. En este caso, el cálculo se complica. Para este tipo de situaciones se utilizan las llamadas técnicas de conteo. Estas técnicas son varias, pero las más importantes se dividen en dos principios básicos, que son el multiplicativo y el aditivo; las permutaciones y las combinaciones. Índice [Ocultar] 1 Principio multiplicativo

 o

1.1 Aplicaciones

o

1.2 Ejemplo 2 Principio aditivo

 o

2.1 Aplicaciones

o

2.2 Ejemplo 3 Permutaciones

 o

3.1 Aplicaciones

o

3.2 Ejemplo 4 Combinaciones





o

4.1 Aplicaciones

o

4.2 Ejemplo 5 Referencias

Principio multiplicativo Aplicaciones El principio multiplicativo, junto con el aditivo, son básicos para entender el funcionamiento de las técnicas de conteo. En el caso del multiplicativo, consiste en lo siguiente: Imaginemos una actividad que conlleva un número concreto de pasos (el total lo marcamos como “r”), donde el primer paso puede hacerse de N1

formas, el segundo paso de N2, y el paso “r” de Nr formas. En este caso, la actividad podría realizarse del número de formas resultante de esta operación: N1 x N2 x……….x Nr formas Es por ello que este principio se llama multiplicativo, e implica que todos y cada uno de los pasos que se necesitan para llevar a cabo la actividad deben de realizarse uno tras otro.

Ejemplo Vamos a imaginar a una persona que quiere construir un colegio. Para ello, considera que la base del edificio puede construirse de dos maneras distintas, cemento o concreto. En cuanto a las paredes, pueden ser de adobe, cemento o ladrillo. En cuanto al techo, este

puede construirse de cemento o lámina

galvanizada. Finalmente, la pintura final sólo puede realizarse de una forma. La pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuántas formas tiene de construir el colegio? En primer lugar, consideramos el número de pasos, que serían la base, las paredes, el tejado y la pintura. En total, 4 pasos, por lo que r=4. Lo siguiente sería enumerar las N: N1= formas de construir la base=2 N2= formas de construir las paredes=3 N3= formas de hacer el tejado = 2 N4= formas de realizar pintura = 1

Por lo tanto, el número de formas posibles se calcularía mediante la fórmula antes descrita: N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 formas de realizar el colegio.

Principio aditivo Aplicaciones Este principio es muy simple, y consiste en que, en el caso de existir varias alternativas de realizar una misma actividad, las formas posibles consisten en la suma de las distintas formas posibles de realizar todas las alternativas. Dicho de otra forma, si queremos realizar una actividad con tres alternativas, donde la primera alternativa puede realizarse de M formas, la segunda de N formas y la última de W formas, la actividad puede realizarse de: M + N +………+ W formas.

Ejemplo Imaginemos esta vez a una persona que quiere comprar una raqueta de tenis. Para ello, tiene tres marcas a elegir: Wilson, Babolat o Head. Cuando va a la tienda ve que la raqueta Wilson puede comprarse con el mango de dos tamaños distintos, L2 o L3 en cuatro modelos distintos y puede ser encordada o sin encordar. La raqueta Babolat, en cambio, tiene tres mangos (L1, L2 y L3), hay dos modelos diferentes y puede también ser encordada o sin encordar.

La raqueta Head, por su parte, sólo está con un mango, el L2, en dos modelos diferentes y sólo sin encordar. La pregunta es: ¿Cuántas formas tiene esta persona de comprar su raqueta? M = Número de formas de seleccionar una raqueta Wilson N = Número de formas de seleccionar una raqueta Babolat W = Número de formas de seleccionar una raqueta Head Realizamos el principio multiplicador: M = 2 x 4 x 2 = 16 formas N = 3 x 2 x 2 = 12 formas W = 1 x 2 x 1 = 2 formas M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 formas de elegir una raqueta. Para saber en qué momento hay que utilizar el principio multiplicativo y el aditivo, únicamente hay que fijarse en si la actividad tiene una serie de pasos para realizarse, y si existen varias alternativas, el aditivo.

Permutaciones Aplicaciones Para comprender qué es una permutación, es importante explicar qué es una combinación para poder diferenciarlas y saber cuándo utilizarlas.

Una combinación sería un arreglo de elementos en los cuales no nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos. Una permutación, en cambio, sería un arreglo de elementos en los cuales sí nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos. Vamos a poner un ejemplo para entender mejor la diferencia.

Ejemplo Imaginemos una clase con 35 alumnos, y con las siguientes situaciones: 1. El profesor quiere que tres de sus alumnos le ayuden a mantener la clase limpia o entregar materiales a los otros alumnos cuando lo necesite. 2. El profesor quiere nombrar

a los delegados de clase (un

presidente, un asistente y un financiero). La solución sería la siguiente: 1. Imaginemos que por votación se elige a Juan, María y Lucía para limpiar la clase o entregar los materiales. Obviamente, podrían haberse formado otros grupos de tres personas, entre los 35 alumnos posibles. Debemos preguntarnos lo siguiente: ¿es importante el orden o la posición que ocupa cada uno de los alumnos a la hora de seleccionarlos? Si lo pensamos, vemos que realmente no es importante, ya que el grupo va a encargarse de las dos labores por igual. En este caso, se trata de una combinación, ya que no nos interesa la posición de los elementos. 2. Ahora imaginemos que se eligen a Juan como presidente, a María como asistente y a Lucía como financiera.

En este caso, ¿importaría el orden? La respuesta es sí, ya que si cambiamos los elementos, cambia el resultado. Es decir, si en vez de poner a Juan como presidente, le ponemos como asistente, y a María como presidente, el resultado final cambiaría. En este caso se trata de una permutación. Una vez comprendida la diferencia, vamos a obtener las fórmulas de las permutaciones y de las combinaciones. Sin embargo, antes hay que definir el término “n!” (ene factorial), ya que se utilizará en las distintas fórmulas. n!= al producto desde 1 hasta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x n Utilizándolo con números reales: 10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x 5=120 La fórmula de las permutaciones sería la siguiente: nPr=n!/(n-r)! Con ella podremos averiguar los arreglos donde el orden es importante, y donde los n elementos son distintos.

Combinaciones Aplicaciones

Como hemos comentado anteriormente,

las combinaciones son

los

arreglos en donde no nos importa el la posición de los elementos. Su fórmula es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r!

Ejemplo Si existen 14 alumnos que quieren ser voluntarios para limpiar el aula, ¿cuantos grupos de limpieza podrán formarse cada grupo ha de ser de 5 personas? La solución, por tanto, sería la siguiente: n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupos

Referencias 1. Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). 2. William Feller, “An Introduction to Probability Theory and Its Applications“, (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley 3. Finetti, Bruno de (1970). “Logical foundations and measurement of subjective probability”. Acta Psychologica. 4. Hogg,

Robert

V.;

Craig,

Allen;

McKean,

Joseph

W.

(2004). Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.). Upper Saddle River: Pearson. 5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal,Johns Hopkins University Press.

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